邸青， 周競燁， 方凱， 姚佳琪， 李家旺

(寧波大學 海運學院, 浙江 寧波 315211)

0 引言

自主水下航行器(AUV)作為一種智能化的運載平臺，憑借其隱蔽性強，搭載模塊靈活，可無人執(zhí)行危險任務等優(yōu)點，在掃雷反潛、海洋科學調(diào)查、搶險救災等領域獲得了廣泛的關(guān)注和應用[1-3]。其中，AUV的水平面鎮(zhèn)定控制問題一直是相關(guān)領域研究的熱點之一。欠驅(qū)動AUV屬于非完整系統(tǒng)和強非線性系統(tǒng)[4]，由Brocket定理知此類系統(tǒng)無法通過光滑連續(xù)時不變控制算法實現(xiàn)鎮(zhèn)定[5]，因此使得其控制器設計存在一定的困難。對此，國內(nèi)外學者作了大量研究。李曄等[6]和關(guān)海濱等[7]通過微分同胚變換將AUV模型轉(zhuǎn)換為級聯(lián)形式的非線性系統(tǒng)，實現(xiàn)全局鎮(zhèn)定控制器的設計。Fischer等[8]基于切換控制方法設計了時變光滑控制律以實現(xiàn)鎮(zhèn)定控制。

但需要指出的是，以上研究均未考慮模型參數(shù)不確定性及未知海洋環(huán)境干擾對AUV運動控制的影響。為此，Xie等[9]針對水面運載器鎮(zhèn)定控制存在的參數(shù)未知問題，通過李雅普諾夫函數(shù)遞推設計方法估計模型參數(shù)，并利用反步法實現(xiàn)了對虛擬輸入誤差的鎮(zhèn)定控制設計。Qiu等[10]通過構(gòu)造自適應滑?？刂坡蓪崿F(xiàn)了模型參數(shù)不確定情況下的軌跡跟蹤控制。Dong等[11]針對存在定向海流干擾因素的鎮(zhèn)定問題，利用反步法設計了全局反饋控制律，但其假定海流方向恒定且與目標點艏向角一致，存在一定的局限性。此外，AUV一般都具有一定的非對稱性，而上述研究均假設AUV前后和左右完全對稱，忽略了慣性力矩陣和阻尼矩陣中非對角項元素的影響以及由此引發(fā)的動力學耦合特性，存在一定的建模誤差和應用限制[12]。為此，Ma等[13]和陳功等[14]通過構(gòu)造級聯(lián)系統(tǒng)，使用反步法為非對稱運載器設計了非連續(xù)反饋控制律，該方法收斂速度緩慢，無法嚴格鎮(zhèn)定至平衡點。

在上述研究基礎上，本文針對考慮參數(shù)不確定性和時變海流干擾作用下的非對稱AUV水平面鎮(zhèn)定控制問題進行研究。首先，考慮模型不確定性因素對控制的影響，提出一種自適應控制律估計未知模型參數(shù)。在此基礎上，為消除非對稱作用項引起艏搖和橫蕩方向上的耦合影響，通過全局坐標變換，將系統(tǒng)解耦為推進子系統(tǒng)和偏航子系統(tǒng)并分別進行控制設計。針對偏航子系統(tǒng)，通過引入一個2階濾波器，使得偏航角速度在推進子系統(tǒng)狀態(tài)未收斂至零點狀態(tài)下始終具有持續(xù)激勵特征。針對推進子系統(tǒng)，通過坐標變換，將其轉(zhuǎn)換成較為簡單形式進行控制設計。最后，通過數(shù)值仿真對所提出的控制策略進行驗證。

1 AUV模型和問題描述

欠驅(qū)動AUV水平面運動包含艏搖、縱蕩和橫蕩3個方向上的運動，僅通過前進推力和偏航力矩兩個控制輸入實現(xiàn)AUV的控制，其模型如圖1所示。圖1中：OExEyE表示大地坐標系；OBxByB表示隨體坐標系，點OB通常取AUV重心或浮心的位置[15]。

圖1 欠驅(qū)動AUV水平面運動模型及坐標定義Fig.1 Horizontal plane motion model of underactuated AUV and definition of reference frames

因此，AUV的水平面運動方程[15]可表示為

(1)

為便于后續(xù)分析，(1)式可表示為

(2)

(3)

式中：

(4)

2 欠驅(qū)動AUV鎮(zhèn)定控制器設計

2.1 模型參數(shù)觀測器設計

考慮到在現(xiàn)實中，雖然AUV的模型參數(shù)難以精確可知，但其數(shù)值所在區(qū)間往往是確定的。因此，本文給出以下假設：

假設1未知AUV模型參數(shù)ζui、ζvi、ζri滿足ζhi∈[ζhimin,ζhimax]，其中ζhimin和ζhimax均為已知常數(shù)，h=u,v,r，i=1,2,…,5.

在此基礎上，建立如下狀態(tài)觀測器：

(5)

(6)

式中：ku、kv、kr和kxE、kyE、kψ均為正常數(shù)；hi表示ζhi的觀測值，其定義[16]為

(7)

Proj(αhi,hi)=

(8)

(9)

(10)

(11)

根據(jù)(10)式，對其求導可得

(12)

綜上，定義李雅普諾夫函數(shù)V3=V1+V2并求導，可得

(13)

(14)

(15)

需要指出的是，根據(jù)觀測誤差的收斂性和(9)式，為了簡化設計，(15)式中hi都可近似認為是常數(shù)。

2.2 模型轉(zhuǎn)換

為了消除由非對稱模型引起的艏搖方向和橫蕩方向的耦合影響，引入如下坐標變換：

(16)

(16)式代入(14)式和(15)式，此時，為了便于后續(xù)控制設計，可將(14)式和(15)式改寫為

(17)

(18)

定義鎮(zhèn)定誤差[17]為

(19)

式中：(xEd,yEd)為期望鎮(zhèn)定點坐標；ψd為期望艏向角。

結(jié)合(17)式，對(19)式求導，可得

(20)

引入矩陣變換

(21)

并代入(17)式，可得

(22)

2.3 鎮(zhèn)定控制器設計

基于上述分析，為方便控制器設計，本文將對兩個子系統(tǒng)：偏航子系統(tǒng)Σ1:[,]T和推進子系統(tǒng)分別進行設計。

2.3.1 偏航子系統(tǒng)設計

首先，考慮到通常情況下AUV的偏航角ψ∈[0 rad,2π rad)，因此可對其作歸一化處理[18]：

s=0.5π{1-sgn [cos]}sgn [sin]+

(23)

此時，偏航子系統(tǒng)Σ1運動模型(18)式可表示為

(24)

為了保證當推進子系統(tǒng)Σ2未實現(xiàn)鎮(zhèn)定時角速度r符合持續(xù)激勵條件，引入變量?ψ，并令其滿足以下2階濾波器形式：

(25)

式中：Γ、χ、k3和k4為正常數(shù)。定義j=s+?ψ，結(jié)合(24)式求導，可得

(26)

設計控制輸入τr：

(27)

式中：k1、k2均為正常數(shù)。將(27)式代入(26)式，則有

(28)

2.3.2 推進子系統(tǒng)設計

針對推進子系統(tǒng)Σ2：

(29)

結(jié)合(20)式和(22)式可得

(30)

令ρ=-σv2/σv1，有

則(30)式可展開，并簡化為

(31)

定義新的狀態(tài)變量：

(32)

式中：β=tanh(kε2)，kε為正常數(shù)。

(32)式代入(31)式，可得

(33)

設計控制輸入τu：

(34)

式中：kp為正常數(shù)。(34)式代入(33)式，可得

(35)

綜上可知V5≥0，結(jié)合(35)式對V5求導，可得

3 仿真結(jié)果及分析

為了對本文所提參數(shù)觀測器和鎮(zhèn)定控制算法的有效性進行驗證，采用如下模型數(shù)據(jù)進行數(shù)值仿真實驗[19]：m11=25.8 kg，m22=33.8 kg，m33=2.76 kg·m2，m23=6.2 kg·m，m32=6.2 kg，d11=0.925 7 kg/s，d22=2.890 9 kg/s，d23=0.2 kg·m/s，d32=0.2 kg/s，d33=0.5 kg·m2/s. 此外，不確定參數(shù)的界限值ζhimax、ζhimin分別定義為1.2ζhi和0.8ζhi. 設定AUV的初始狀態(tài)為η=[20 m,-20 m,0 rad]T和ν=[0 m/s,0 m/s,0 rad/s]T，期望鎮(zhèn)定狀態(tài)為ηd=[0 m,0 m,0 rad]T和νd=[0 m/s,0 m/s,0 rad/s]T.

模型觀測器參數(shù)設定為γu1=γv4=γr4=2 000,γu2=γu3=γu4=γv1=γv2=γv3=γr1=γr2=γr3=5，kxE=kyE=kψ=10,ku=kv=kr=1. 鎮(zhèn)定控制器參數(shù)設定為k1=0.7，k2=2，k3=20，k4=1，kp=1，kε=10，χ=8和Γ=10. 仿真時間t設為400 s. 作為對比，本文以文獻[9]中控制方法作為參照對象。無海流干擾情況下的AUV水平面鎮(zhèn)定仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 無海流干擾情況下AUV水平面鎮(zhèn)定控制仿真結(jié)果Fig.2 Simulated results of stabilization of AUVs on horizontal plane without current disturbance

由圖2可知：在無海流干擾情況下文獻[9]控制方法由于未考慮模型非對稱因素影響，偏航角度出現(xiàn)的大幅度抖振，難以收斂至零點的情況；而本文控制方法由于考慮了模型非對稱因素的影響，因此控制精度更高，鎮(zhèn)定誤差僅在100 s內(nèi)即可基本收斂到零點附近一個較小的區(qū)間內(nèi)；同時，本文方法的鎮(zhèn)定軌跡更為光滑，且控制輸入均較文獻[9]方法微小，有效地減小了實際工況中可能出現(xiàn)的輸入飽和情況的影響。

為了驗證本文所設計模型參數(shù)觀測器的性能，圖3給出了AUV的速度觀測誤差變化情況。

圖3 模型參數(shù)觀測器速度觀測誤差Fig.3 Velocity error of model parameter observer

由圖3可知，各方向速度估計誤差能夠較快地收斂至零附近一個很小的領域，說明本文設計的模型參數(shù)觀測器所獲取的模型參數(shù)估計值可較好地逼近其實際值，其有效性得到了驗證。

為了進一步驗證本文控制器對未知時變環(huán)境干擾的魯棒性，本文針對存在時變海流干擾情況進行了數(shù)值仿真。海流干擾下AUV的位置方程可改寫為

(36)

式中：vxE和vyE分別表示大地坐標系OExEyE中xE軸方向和yE軸方向上的海流速度，其具體數(shù)值設定為

(37)

仿真結(jié)果如圖4所示。由圖4可知，與文獻[9]方法相比，當存在時變海流干擾時，本文設計的控制方法依然可以在保持較快的鎮(zhèn)定誤差收斂速度，較好的控制精度和光滑的鎮(zhèn)定軌跡前提下，以較小的控制輸入實現(xiàn)鎮(zhèn)定控制目標，說明本文控制方法具有較好的抵抗外界干擾魯棒性能。

圖4 時變海流干擾作用下AUV水平面鎮(zhèn)定控制仿真結(jié)果Fig.4 Simulated results of stabilization of AUV on horizontal plane with time-varying current disturbance

4 結(jié)論

本文研究了模型參數(shù)不確定情況下欠驅(qū)動非對稱AUV的水平面鎮(zhèn)定控制問題。通過設計參數(shù)自適應律對未知參數(shù)進行估計，在考慮非對稱模型影響情況下，利用坐標變換將系統(tǒng)分為兩個級聯(lián)子系統(tǒng)分別進行控制設計。最后基于李雅普諾夫理論證明了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，通過與文獻[9]控制方法的仿真實驗對比，驗證了本文所提控制策略的有效性和可靠性。得出以下主要結(jié)論：

1)本文所設計的控制算法考慮了模型非對稱因素的影響，可實現(xiàn)欠驅(qū)動AUV水平面運動鎮(zhèn)定誤差的全局漸近穩(wěn)定，且與現(xiàn)有類似算法相比具有較好的控制性能。

2)基于參數(shù)自適應律的模型誤差觀測算法能夠有效地減小模型不確定對系統(tǒng)控制性能的影響。此外，本文控制器在考慮外界環(huán)境干擾情況下仍具有較好的控制精度和光滑的鎮(zhèn)定軌跡，說明該方法對環(huán)境干擾具有良好的魯棒性能。

后續(xù)工作包括探索將本文控制方法拓展至三維空間鎮(zhèn)定問題和進一步考慮諸如輸入飽和等限制條件下的控制問題。