江文豪，詹良通，楊策

(1.浙江大學(xué)巖土工程研究所，浙江杭州，310058；2.浙江大學(xué)軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室，浙江杭州，310058；3.杭州綠農(nóng)環(huán)境工程有限公司，浙江杭州，310000)

自20世紀(jì)20年代土體一維固結(jié)理論建立以來[1]，國內(nèi)外學(xué)者通過對其基本假定進(jìn)行修正，不斷發(fā)展和完善了一維固結(jié)理論。土體的一維大變形固結(jié)理論起始于20世紀(jì)中期，GIBSON等[2]以孔隙比為變量推導(dǎo)得到了土體一維大變形固結(jié)的控制方程，但由于控制方程的高度非線性，無法直接求得解析解。POSKITT[3]基于GIBSON大變形固結(jié)理論，孔隙比e與土體的有效應(yīng)力和滲透系數(shù)kv采用線性的e-lgσ'和e-lgkv關(guān)系描述土體固結(jié)過程中壓縮性和滲透性的變化，利用攝動法得到了土體一維大變形固結(jié)解析解。GIBSON等[4]假定GIBSON大變形固結(jié)理論控制方程中的固結(jié)系數(shù)與重力系數(shù)均為常數(shù)，采用有限差分法分析了不同條件下土體一維大變形固結(jié)性狀。MCVAY等[5]基于GIBSON大變形固結(jié)理論，并假定中土體固結(jié)過程壓縮性關(guān)系與滲透性關(guān)系均滿足指數(shù)變化規(guī)律，對土體的固結(jié)性狀進(jìn)行了討論。謝新宇等[6-7]基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本原理，建立了以位移為控制變量的一維大變形固結(jié)方程，并研究了滲透系數(shù)變化對土體一維大變形固結(jié)性狀的影響。張繼發(fā)等[8]根據(jù)混合物理論，推導(dǎo)了土體一維大應(yīng)變固結(jié)方程，并應(yīng)用李群變換的方法獲得了某些特定條件下控制方程的隱式解答。XIE等[9]通過假定體積壓縮系數(shù)為常數(shù)，滲透系數(shù)與孔隙比的平方成正比，得到了飽和軟土一維大變形固結(jié)的解析解。吳健等[10]基于GIBSON大變形理論的控制方程，考慮土體的滲透系數(shù)和孔隙比、有效應(yīng)力和孔隙比之間的非線性關(guān)系，分析了不同滲透指數(shù)與壓縮指數(shù)的比值下軟土的固結(jié)特性。李傳勛等[11-12]考慮非DARCY滲流定律，在拉格朗日坐標(biāo)系下建立了以超孔隙水壓力為變量的土體一維大應(yīng)變固結(jié)方程，并運用有限差分法進(jìn)行求解。但以上關(guān)于一維大變形固結(jié)理論的研究對象主要集中于土體壓縮特性和滲透特性，對土體排水邊界隨時間發(fā)展過程的研究還不夠深入。傳統(tǒng)排水邊界條件主要包括完全透水邊界和完全不透水邊界。此外，也有學(xué)者對半透水邊界條件進(jìn)行了研究。早在20世紀(jì)40年代，GRAY[13]對半透水邊界進(jìn)行了研究。SCHIFFMAN等[14]研究了半透水邊界條件下，滲透系數(shù)與體積壓縮系數(shù)變化對土體固結(jié)的影響。謝康和等[15-16]將半透水邊界的運用推廣到層狀地基，分析了層狀土在半透水邊界下的一維固結(jié)特性。李西斌等[17]研究了雙面半透水邊界飽和土體在循環(huán)荷載作用下的黏彈性固結(jié)問題，得到了半透水邊界下黏彈性地基的解析解。然而，傳統(tǒng)排水邊界與時間無關(guān)，存在孔壓突變?yōu)榱愕膯栴}，無法反映土體排水邊界隨著固結(jié)過程發(fā)展的變化情況。半透水邊界雖然體現(xiàn)了透水邊界的變化過程，但其物理意義并不明確，無法定量描述界面排水能力[18]。針對上述排水邊界問題存在的不足，梅國雄等[19-20]提出了考慮邊界孔壓隨時間指數(shù)衰減的連續(xù)排水邊界條件，并給出了相應(yīng)的瞬時加載條件下一維固結(jié)方程的理論解答。宗夢繁等[21]對連續(xù)排水邊界條件下土體非線性固結(jié)性狀進(jìn)行了研究；童立紅等[22]對連續(xù)排水邊界條件下黏彈性地基的固結(jié)性狀進(jìn)行了分析。但以上基于連續(xù)排水邊界的固結(jié)研究中均未對土體的大變形固結(jié)性狀進(jìn)行研究，而實際工程中常常會遇到土體的大變形固結(jié)問題?；诖耍疚淖髡呤紫然赬IE等[9]飽和軟土一維大變形固結(jié)的假設(shè)，通過引入連續(xù)排水邊界條件研究飽和軟土的一維大變形固結(jié)問題，并得到連續(xù)排水邊界下飽和軟土一維大變形固結(jié)的解析解。然后，通過退化解析解和有限差分?jǐn)?shù)值解對比分析，對該解析解的正確性進(jìn)行了驗證。最后，基于所得解析解，分析界面參數(shù)及荷載參數(shù)對土體一維大變形固結(jié)性狀的影響。

1 基本問題

本文采用XIE等[9]提出的飽和軟土一維大變形固結(jié)問題中的基本假定，飽和軟土的滲透系數(shù)kv與孔隙比e有如下關(guān)系式：

式中：kv0和e0分別為土體的初始滲透系數(shù)和初始孔隙比。

在飽和軟土固結(jié)過程中，假定土體的體積壓縮系數(shù)mv1保持不變[9]，即

式中：σ'為土體的有效應(yīng)力；C為常數(shù)。

根據(jù)上述假定，土體的固結(jié)系數(shù)Cv可表示為

式中：Cv0為土體的初始固結(jié)系數(shù)；γw為水的重度；mv為體積壓縮系數(shù)。

在大變形固結(jié)過程中，由于土體會產(chǎn)生較大的變形，因此通常采用拉格朗日坐標(biāo)系進(jìn)行度量。根據(jù)上述假定，可推導(dǎo)得到飽和軟土固結(jié)過程中以超孔隙水壓力u為變量在拉格朗日坐標(biāo)下的控制方程[9]為

式中：a為拉格朗日坐標(biāo)系下的豎向方向；t為時間；H為飽和土體的初始厚度。

根據(jù)梅國雄等[19-20]提出的連續(xù)排水條件，該一維大變形固結(jié)方程的求解條件如下。

初始條件：

式中：qu為瞬時施加的均布荷載。

邊界條件：

式中：α和β為反映土體頂面和底面排水性狀的界面參數(shù)；該值可以通過試驗?zāi)M或者實測邊界處孔壓隨時間的變化曲線反分析得到。

2 連續(xù)排水條件下飽和軟土大變形固結(jié)的量綱一的解答

將量綱一參數(shù)代入式(4)中可得固結(jié)方程的表達(dá)式為

初始條件為

邊界條件為

代入式(7)，則固結(jié)方程和求解條件可以改寫為

初始條件為

邊界條件為

其中：wξ(Tv)=exp(λqe-ξTv)-1。

為了進(jìn)一步將邊界條件齊次化，令

將式(14)代入式(10)可得

其中：

相應(yīng)的初始條件變?yōu)?/p>

相應(yīng)的邊界條件變?yōu)?/p>

對控制方程式(15)和初始條件式(18)采用有限正弦傅里葉變換，再根據(jù)邊界條件式(19)，有

式中：

其中：n=1,2,3,…。

根據(jù)正弦傅里葉級數(shù)可求得：

式(24)中對Tv取Laplace變換，則有

結(jié)合初始條件，可得

將式(25)～(27)代入式(20)，可得

由式(28)可得

對式(29)求Laplace逆變換，可得

其中：

將式(30)代入式(22)，可得

根據(jù)飽和軟土一維大變形固結(jié)理論，土體沉降量的表達(dá)式為

其中：

而土體的最終沉降量為

因此，按沉降定義的固結(jié)度Us可表達(dá)為

按孔壓定義的固結(jié)度Up可表達(dá)為

3 解的驗證

XIE等[9]求解出飽和軟土單面排水條件下一維大變形固結(jié)的解答。其求解得到的超孔隙水壓力u和按沉降定義的固結(jié)度Us的表達(dá)式分別為：

與經(jīng)典的Terzaghi一維固結(jié)理論相比，式(41)中超孔隙水壓力u不僅受時間因數(shù)Tv的影響，還與無量綱參數(shù)λq有關(guān)，因此，參數(shù)λq是反映土體大變形固結(jié)的參數(shù)。由定義可知λq=mv1qu，根據(jù)上述假定，土體的體積壓縮系數(shù)mv1在固結(jié)過程中保持不變，因此，λq主要受外荷載qu的影響。在這里，可稱參數(shù)λq為荷載參數(shù)。

實際上，只需用H2代替上面的H即可得到對應(yīng)的XIE等[9]雙面排水條件下的一維大變形固結(jié)解答，其表達(dá)式如下：

當(dāng)α→∞和β→∞時，基于連續(xù)排水邊界所得的解答將退化為XIE等[9]雙面排水解答，此時，

代入式(10)和式(14)可得

因此，

對比可知，退化后的超孔隙水壓力u的表達(dá)式與XIE等[9]得到的雙面排水一維大變形固結(jié)下超孔隙水壓力u的表達(dá)式一致。

同樣，將式(48)代入式(39)可求得按沉降定義的平均固結(jié)度Us的表達(dá)式如下：

與式(44)對比可知，退化后的沉降固結(jié)度與XIE等[9]得到的雙面排水條件下按沉降定義的固結(jié)度表達(dá)式一致。根據(jù)退化解析解，可以初步驗證連續(xù)排水邊界條件下飽和軟土一維大變形固結(jié)解析解的正確性。而根據(jù)式(42)和式(44)可知，XIE等[9]得到的單面及雙面排水下Us解答只與時間因數(shù)Tv有關(guān)。而式(39)中，基于連續(xù)排水邊界求解的Us不僅與Tv有關(guān)，而且與荷載參數(shù)λq及界面參數(shù)α和β有關(guān)。

為一步驗證上述解答的正確性，對式(7)展開有限差分，利用相應(yīng)的邊界條件和初始條件進(jìn)行有限差分求解，并將本文解答與有限差分?jǐn)?shù)值解進(jìn)行對比。假定軟土地基在自重及初始荷載q0=10 kPa作用下變形已穩(wěn)定，取與XIE等[9]研究相同的計算參數(shù)(λq=0.4)，其參數(shù)如表1所示。為使對比結(jié)果具有一般性，取界面參數(shù)α=2，β=1。圖1所示為2種方法下沉降固結(jié)度Us隨時間因數(shù)Tv的變化。從圖1可以看出：本文的解析解與有限差分?jǐn)?shù)值解吻合較好。

圖1 本文解析解與有限差分?jǐn)?shù)值解比較Fig.1 Comparison between analytical solution and finite difference fractional solutions

4 固結(jié)性狀分析

4.1 α和β取值對固結(jié)性狀的影響

界面參數(shù)α和β對土體的大變形固結(jié)過程有著重要影響。以表1中的地基參數(shù)為例，圖2和圖3所示為界面參數(shù)對土體孔壓的影響曲線。從圖2可以看出：界面參數(shù)α和β越大，排水邊界處的透水性越好，超孔隙水壓力消散越快，地基固結(jié)速率也越快；當(dāng)α/β=1時，超孔隙水壓力沿相對深度的分布于a/H=0.5處對稱。當(dāng)α/β逐漸增大時，超孔隙水壓力峰值逐漸下移，且超孔隙水壓力峰值逐漸減小。因此，不同界面參數(shù)可模擬土層頂面與底面排水的不同性能。從圖3可以看出：當(dāng)α/β大于1時，上半層土的曲線斜率要明顯大于下半層土的曲線斜率，這說明土層頂面的排水速率高于土層底面的排水速率。因此，可以認(rèn)為界面參數(shù)α或β越大，其對應(yīng)的那半層土的排水速度也就較快。此外，隨著時間因數(shù)Tv的增大，超孔隙水壓力峰值逐漸向較小界面參數(shù)值對應(yīng)面移動。

XIE等[9]研究指出，飽和軟土一維大變形固結(jié)理論中以孔壓定義的固結(jié)度Up和以沉降定義的固結(jié)度Us存在差異，因此，有必要分別討論界面參數(shù)對孔壓固結(jié)度和沉降固結(jié)度的影響。圖4所示為界面參數(shù)α和β對孔壓固結(jié)度Up的影響。圖4中曲線4和5分別為XIE等[9]得到的單面排水及雙面排水的固結(jié)度曲線。對比基于連續(xù)排水邊界條件得到的孔壓固結(jié)度與XIE等[9]得到的雙面排水孔壓固結(jié)度可以看出：α和β越大，超孔隙水壓力消散越快，其結(jié)果也越來接近XIE等[9]得到的雙面排水下孔壓固結(jié)度的解答。從圖4還可以得出：當(dāng)α和β較小時，在固結(jié)初期，連續(xù)排水邊界條件下的孔壓固結(jié)度明顯低于XIE等[9]得到的單面排水條件下的孔壓固結(jié)度，但在中后期，其結(jié)果高于XIE等[9]得到的單面排水條件下的孔壓固結(jié)度，這主要是由于傳統(tǒng)排水邊界條件不具連續(xù)性。當(dāng)α和β較大時，盡管在初期連續(xù)排水邊界條件的孔壓固結(jié)度與XIE等[9]得到的雙面排水下孔壓固結(jié)度存在較大差異，但2種情況下完全固結(jié)所需時間幾乎相同。這說明，當(dāng)排水邊界界面參考連續(xù)排水邊界模型進(jìn)行設(shè)計時，雖然固結(jié)初期排水速率較慢，但最終固結(jié)時間基本不受影響。

圖5所示為界面參數(shù)α和β對沉降固結(jié)度Us的影響。當(dāng)沉降固結(jié)度Us=90%時，一般可認(rèn)為沉降已趨于穩(wěn)定，此時的時間因數(shù)定義為Tv90。對于連續(xù)排水邊界，當(dāng)β固定為2，α為4，10和100時的Tv90分別為0.909，0.826和0.822，XIE等[9]得到的單面及雙面排水條件下的Tv90分別為0.213和0.852。根據(jù)Tv90可以看出：當(dāng)土層一面排水界面參數(shù)較小時，增大另一面界面參數(shù)對沉降穩(wěn)定時的固結(jié)時間影響不大，且該沉降穩(wěn)定時間與經(jīng)典的單面排水下的穩(wěn)定時間相近。

表1 軟土地基的計算參數(shù)Table1 Calculation parameters of softsoil foundation

圖2 界面參數(shù)對超孔隙水壓力分布的影響Fig.2 Influence of interface parameterson excesspore water pressure distribution curves

圖3 超孔隙水壓力隨時間因數(shù)T v的變化Fig.3 Variation of excess porewater pressure with time factor T v

在實際工程中，當(dāng)排水邊界參考連續(xù)排水邊界模型進(jìn)行設(shè)計時，可以通過調(diào)整α和β設(shè)計實際所需的固結(jié)排水速率。盡管理論上界面參數(shù)的取值是0到正無窮大[19-20]，但從圖4和圖5可以看出，α和β不用太大，得到的固結(jié)曲線就能與XIE等[9]單面及雙面排水所得固結(jié)曲線相接近。

圖4 界面參數(shù)對孔壓固結(jié)度Up的影響Fig.4 Influence of interface parameterson Up

圖5 界面參數(shù)對孔壓固結(jié)度Us的影響Fig.5 Influence of interface parameterson Us

4.2 λq取值對固結(jié)性狀的影響

根據(jù)上述分析可知，荷載參數(shù)λq主要受外荷載qu的影響。這里以表1中的地基參數(shù)為例，外荷載qu分別取25，50，100和200 kPa，以分析不同荷載參數(shù)λq對飽和軟土大變形固結(jié)性狀的影響。圖6所示為不同λq下的孔壓分布。從圖6可以看出：λq越大，相同排水邊界下超孔隙水壓力的消散速率越慢。圖6中的孔壓分布規(guī)律也進(jìn)一步驗證了當(dāng)αβ=1時，超孔隙水壓力沿相對深度的分布于aH=0.5處對稱。圖7所示為不同λq下連續(xù)排水邊界退化后的孔壓固結(jié)度Up曲線。從圖7可以看出：在同一時間因數(shù)下，孔壓固結(jié)度隨λq的增大而減小。從圖6和圖7可知：孔壓消散速率隨λq的增大而減小，這主要是由于外荷載qu越大，土體的滲透系數(shù)kv越小，進(jìn)而降低了土體的孔壓固結(jié)速率。此外，從圖7還可以看出：當(dāng)α和β取大值(如α=β=1 000)時，基于連續(xù)排水邊界條件得到的固結(jié)曲線和XIE等[9]得到的雙面排水條件下的固結(jié)曲線一致，即基于連續(xù)排水邊界條件所得解答可以退化為XIE等[9]得到的雙面排水解答，這進(jìn)一步驗證了解答的正確性。

圖6 λq對超孔隙水壓力分布的影響Fig.6 Influence ofλq on excess pore water pressure distribution curves

圖7 連續(xù)排水邊界退化后的Up曲線Fig.7 Up curves while continuous drainage boundary degenerated

圖8所示為不同邊界條件下荷載參數(shù)λq對孔壓固結(jié)度Up的影響。從圖8可以看出：在不同排水邊界下，孔壓固結(jié)度均隨著λq的增大而減小。對比連續(xù)排水邊界和XIE等[9]提出的單面或雙面排水條件可知，λq對連續(xù)排水邊界下孔壓固結(jié)度曲線的影響明顯小于XIE等[9]提出的單面及雙面排水條件下的影響。在不同的λq下，連續(xù)排水邊界下的孔壓固結(jié)度曲線幾乎重合，而XIE等[9]得到的單面及雙面排水條件下的孔壓固結(jié)度曲線有明顯差異。此外，與圖4對比可知，相對于荷載參數(shù)λq，界面參數(shù)α和β對Up曲線的影響更大。

圖8 λq對孔壓固結(jié)度Up的影響Fig.8 Influence ofλq on Up

圖9 λq對沉降固結(jié)度Us的影響Fig.9 Influence ofλq on Us

圖9所示為不同邊界條件下荷載參數(shù)λq對沉降固結(jié)度Us曲線的影響。在土體固結(jié)過程中，盡管體積壓縮系數(shù)mv1不變，但由于固結(jié)過程中有效應(yīng)力與孔隙比呈對數(shù)關(guān)系，土體具有越壓越硬的特點，即土體的壓縮系數(shù)av在固結(jié)過程中越來越小。在相同的孔壓固結(jié)度下，λq越大，壓縮系數(shù)av越小，沉降固結(jié)度Us則越大。從圖9可以看出：當(dāng)時間因數(shù)固定時，XIE等[9]得出的單面或雙面排水條件下的沉降固結(jié)度Us不隨λq的變化而變化。這說明盡管固結(jié)過程中kv的減小使得土體的沉降固結(jié)速率減小，但同時壓縮系數(shù)av的減小使得沉降固結(jié)速率增大，兩者的影響相互抵消使得沉降固結(jié)度Us不隨λq的變化而變化。在連續(xù)排水邊界下，當(dāng)時間因數(shù)固定時，沉降固結(jié)度Us隨λq的增大而增大，這與孔壓固結(jié)度Up隨λq的變化趨勢剛好相反。這說明連續(xù)排水邊界下固結(jié)過程中kv對沉降固結(jié)度Us的影響小于壓縮系數(shù)av對Us的影響。

5 結(jié)論

1)基于XIE等提出的飽和軟土一維大變形固結(jié)方程的基本假定，推導(dǎo)得到了連續(xù)排水邊界條件下飽和軟土一維大變形固結(jié)的解析解。

2)通過退化結(jié)果和有限差分?jǐn)?shù)值解驗證了本文解析解的合理性。退化結(jié)果表明所得的解析解是連續(xù)的，解答具有明確的物理意義。修正后的一維大變形固結(jié)方程可以通過調(diào)整界面參數(shù)α和β來近似模擬不同的排水性能。

3)土體的界面參數(shù)α和β越大，土體的透水性越好，超孔隙水壓力消散越快，地基的固結(jié)速度越快；當(dāng)界面參數(shù)增大到一定程度(如α=β=1 000)后，連續(xù)排水邊界可退化為完全排水邊界。

4)在不同排水邊界條件下，孔壓固結(jié)度Up均隨λq增大而減小，但連續(xù)排水邊界下的孔壓固結(jié)度Up受λq的影響較小。完全排水條件下的沉降固結(jié)度Us不受λq的影響，但連續(xù)排水邊界條件下沉降固結(jié)度Us隨λq增大而增大。

5)界面參數(shù)α和β對土體大變形固結(jié)的影響比荷載參數(shù)λq對土體大變形固結(jié)的影響大。在實際工程中，排水邊界條件對土體固結(jié)的影響應(yīng)得到重視。