■王蘭靈

一、創(chuàng)造性思維及創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的必要性

創(chuàng)造性思維指打破常規(guī)、具有創(chuàng)意、帶有創(chuàng)新的思維。具有創(chuàng)造性思維的學(xué)生，觀察力強(qiáng)，思維敏捷，邏輯縝密，能夠更快速地認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)。他們能夠更便捷地解決問(wèn)題，甚至能對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生具有影響力的見(jiàn)解，進(jìn)而豐富自身的數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高中階段是學(xué)生思維和思想形成的黃金時(shí)期，創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)在此階段顯得尤為必要。

二、例談學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)

學(xué)生的創(chuàng)造性思維，只能培養(yǎng)，不能灌輸?；谶@個(gè)理念，筆者嘗試搭建了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的平臺(tái)。在課前，布置適量的有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的習(xí)題，給他們足夠的探究時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，思考之后再互相交流。在課堂上，營(yíng)造輕松和諧的氛圍，鼓勵(lì)大家對(duì)課堂的問(wèn)題提出自己的見(jiàn)解，或者推薦優(yōu)秀的解法。當(dāng)解法巧妙時(shí)，就以學(xué)生的名字命名該解法。在課后，把學(xué)生的優(yōu)秀解法記錄下來(lái)，積累到一定程度后，形成論文，論文發(fā)表之后與學(xué)生一起分享其創(chuàng)造性的成果。將課前、課堂和課后三個(gè)環(huán)節(jié)綜合起來(lái)，就形成了“老師搭臺(tái)，學(xué)生唱戲”的創(chuàng)造性思維培養(yǎng)局面?，F(xiàn)選取2020屆高三12班(理科普通班)李樂(lè)恒、劉沛杰、戴志鍇三位同學(xué)的三個(gè)案例跟大家一起分享。

案例一：“樂(lè)恒法”妙解“非線性”的線性規(guī)劃題

例1已知變量x、y滿足則目標(biāo)函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____。

圖1

評(píng)注：該解法符合大部分學(xué)生的思維。根據(jù)目標(biāo)式子的特點(diǎn)，聯(lián)想到了向量的夾角公式，通過(guò)恒等變形，把目標(biāo)式子轉(zhuǎn)化成了2cos，最終根據(jù)夾角的范圍求出結(jié)果。

解法2：樂(lè)恒法(極坐標(biāo)法)。將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入中，得z=，根據(jù)圖1中可行域的位置，得，又因?yàn)閏osθ和-sinθ在上都是單調(diào)遞減的，所以代入端點(diǎn)值可快速求得結(jié)果。

評(píng)注：李樂(lè)恒同學(xué)的解法有兩點(diǎn)被全班稱(chēng)贊。第一是他想到了極坐標(biāo)，瞬間就把目標(biāo)式子化簡(jiǎn)，變得簡(jiǎn)潔且熟悉；第二是他直接判斷出了的單調(diào)性，而不是繼續(xù)利用輔助角公式進(jìn)行復(fù)雜化處理。這個(gè)解法非常新穎漂亮，很多經(jīng)驗(yàn)豐富的老師都未必能想到這個(gè)處理方法。

案例二：“沛杰法”挑戰(zhàn)函數(shù)法

例2已知函數(shù)f(x)=ex-1，g(x)=。若f(a)=g(b)成立，則b-a的最小值為_(kāi)____。

解法1：常規(guī)解法(函數(shù)法)。令f(a)=g(b)=m，顯然m＞0。由得所以。記，，所以φ′(m)在(0，+∞)上單調(diào)遞增。又，所以φ(m)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即φ(m)的最小值為。

評(píng)注：函數(shù)法是大多數(shù)學(xué)生采用的方法，思路清晰，只要掌握了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的技能，就能比較順利地完成。

解法2：沛杰法(雙等值法)。由得即為所求的最小值。

圖2

圖3

評(píng)注：該方法由劉沛杰同學(xué)提出，答案是正確的，但是課堂上他沒(méi)有完全說(shuō)清楚這種解法的理由。受沛杰同學(xué)的啟發(fā)，經(jīng)過(guò)課后的研究發(fā)現(xiàn)，這種雙等值法(函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值均相等)是有根據(jù)的。如圖2所示，兩條“背靠背”的曲線相切時(shí)，它們有唯一的公切點(diǎn)P，也有唯一的公切線。當(dāng)它們水平分開(kāi)到某個(gè)值時(shí)，如圖3所示，兩條曲線水平距離的最小值是|P1P2|，其中P1和P2都是由公切點(diǎn)P水平移動(dòng)衍生出來(lái)的。兩條曲線在P1和P2處的切線與它們水平分開(kāi)前的公切線平行。在本例中，因?yàn)閒″(x)=ex-1＞0，，所以f(x)的圖像開(kāi)口向上，g(x)的圖像開(kāi)口向下，兩條曲線屬于“背靠背”型，故沛杰同學(xué)的解法是正確的，而且解法簡(jiǎn)便，值得推廣。

案例三：“志鍇法”秒殺構(gòu)造商函數(shù)法

例3已知定義在(0，+∞)上的函數(shù)f(x)恒為正數(shù)，f(x)滿足f(x)＜f′(x)＜2f(x)，則f(1)∶f(2)的取值范圍是____。

解法1：常規(guī)解法(構(gòu)造商函數(shù))。由f(x)＜f′(x)＜2f(x)得f′(x)-f(x)＞0，f′(x)-2f(x)＜0。令，所以h′(x)＞0，φ′(x)＜0，得在(0，+∞)上h(x)單調(diào)遞增，φ(x)單調(diào)遞減。。

評(píng)注：該解法是根據(jù)f(x)＜f′(x)＜2f(x)而構(gòu)造出和φ(x)=兩個(gè)函數(shù)，利用這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性得出進(jìn)而求得的范圍。

解法2：志鍇法(構(gòu)造指數(shù)型函數(shù))。根據(jù)f(x)＜f′(x)＜2f(x)，設(shè)f(x)=enx，得f′(x)=nenx，代入f(x)＜f′(x)＜2f(x)中，得enx＜nenx＜2enx，化簡(jiǎn)得1＜n＜2，，因此。

評(píng)注：戴志鍇同學(xué)的方法計(jì)算量小，方便快捷。戴志鍇同學(xué)還說(shuō)“看到了f(x)＜f′(x)＜2f(x)這個(gè)條件后，發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)級(jí)別一樣(可以比較)，想到了函數(shù)y=ex，經(jīng)過(guò)思考、修正之后，就發(fā)現(xiàn)了y=enx這個(gè)函數(shù)能夠解決這類(lèi)問(wèn)題”。