王新強(qiáng)，張識(shí)翼，熊 偉，葉 松，王方原，李 樹，李 莉

（1. 桂林電子科技大學(xué) 電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣西 桂林 541004；2. 中國科學(xué)院安徽光學(xué)精密機(jī)械研究所 通用光學(xué)定標(biāo)與表征技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230031；3. 廣西光電信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004）

引言

空間外差光譜儀（spatial heterodyne spectroscopy，SHS）是可搭載在遙感衛(wèi)星上用于環(huán)境監(jiān)測(cè)的儀器，2018 年我國在高分五號(hào)衛(wèi)星上運(yùn)用該儀器對(duì)大氣污染氣體進(jìn)行監(jiān)測(cè)[1]。該儀器具有超高分辨率、高光通量、實(shí)時(shí)探測(cè)等優(yōu)勢(shì)，因此得到科學(xué)家的高度重視[2-8]。小波分析是1974 年由法國科學(xué)家提出的一種處理非平穩(wěn)信號(hào)的技術(shù)。目前大多數(shù)研究方向都運(yùn)用第一代小波分析的原理，而小波系數(shù)的估計(jì)又為傳統(tǒng)閾值函數(shù)。由于其缺陷性，在運(yùn)用該算法進(jìn)行處理時(shí)總得不到比較理想的信號(hào)。第二代小波變換是1995 年由Sweldens 提出用于實(shí)時(shí)信號(hào)處理等領(lǐng)域的技術(shù)。提升小波變換（lifting wavelet transform，LWT）因效率高、實(shí)時(shí)性強(qiáng)、信息損失小等優(yōu)勢(shì)，在信號(hào)處理領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[9-15]。本文在LWT 的基礎(chǔ)上，對(duì)空間外差光譜信號(hào)進(jìn)行降噪，分析其方法與傳統(tǒng)的小波變換處理氙燈和積分球數(shù)據(jù)的影響。結(jié)果表明，該算法能更好地實(shí)現(xiàn)空間外差光譜降噪的目的。

1 空間外差光譜儀

空間外差光譜儀由光源、光闌、透鏡、分束器、光柵和CCD 等構(gòu)成（如圖1 所示），它與邁克爾遜干涉儀最大的區(qū)別就在于將平面鏡用閃耀光柵代替。首先入射光通過光闌A 進(jìn)入透鏡L1，透鏡L1 把入射過來的光線準(zhǔn)直后形成平行于光軸的光，然后經(jīng)過入射波面進(jìn)入到分束器上。分束器將入射光的反射和透射部分分別射向光柵G1和G2，其中2 個(gè)閃耀光柵與法線呈 θ角放置，2 束相干光經(jīng)閃耀光柵衍射后再次射向分束器，然后以一定的夾角出射，最后合束在探測(cè)器上。當(dāng)入射的光譜為 B(σ)時(shí) ，干涉條紋 I(x)表達(dá)式為

式中：CCD 的像元大小和噪聲分別為x 、 N(x)；系統(tǒng)基頻波數(shù)為 σ；入射光波數(shù)為 σ0。從（1）式可知，SHS 捕獲的 I(x) 與 B(σ)之間存在著傅里葉變換的關(guān)系。而在試驗(yàn)中，使用傅里葉變換的干涉圖最終得到的是混雜著噪聲的目標(biāo)光譜。因此，實(shí)際空間外差光譜信號(hào)與真實(shí)空間外差光譜信號(hào)之間存在一定的誤差，需要去噪。

圖 1 SHS 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig. 1 Structure diagram of SHS system

2 改進(jìn)的提升小波變換分析

2.1 閾值的選取

噪聲是隨機(jī)出現(xiàn)在信號(hào)中的無規(guī)則波形，不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。對(duì)信號(hào)的每一層提升小波分解都采用相同的閾值，則可能會(huì)造成噪聲濾除不徹底或信號(hào)損失的情況。因此提出一種根據(jù)不同層數(shù)而選擇不同閾值的方法，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中： Ti為第 i層的小波系數(shù)閾值；噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為σi。估計(jì)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差公式如下：

2.2 傳統(tǒng)的小波變換

設(shè)信號(hào)為 f(t)， 小波系數(shù)為 φ(t)，則小波分析的數(shù)學(xué)式為

式中： φ?為 φ(t)的 復(fù)共軛； a為 伸縮參量； b為平移參量。從（4）式可以看出，小波分析是基于傅里葉變換的，選定小波函數(shù)作為窗函數(shù)，通過時(shí)頻拉縮和平移以達(dá)到小波匹配原始信號(hào)的目的。傳統(tǒng)的方法用軟硬閾值法來估計(jì)信號(hào)的小波系數(shù)。

硬閾值函數(shù)的表達(dá)式為

軟閾值函數(shù)的表達(dá)式為

在（5）式和（6）式中，實(shí)際信號(hào)的小波系數(shù)和閾值分別由 ψj,k和 T表示。從以上數(shù)學(xué)表達(dá)式中可知：（5）式在閾值為±T 時(shí)不可導(dǎo)又不連續(xù)。其系數(shù)在±T時(shí)的不連續(xù)性會(huì)使信號(hào)在降噪時(shí)發(fā)生誤差，造成振蕩和偽吉布斯現(xiàn)象；雖然（6）式中的小波系數(shù)在函數(shù)域中處處連續(xù)，但在 ±T處依舊存在間斷點(diǎn)。因此通過減小軟閾值估計(jì)的小波系數(shù)使信號(hào)更為平滑，從而在一定程度上減少了振蕩和偽吉布斯現(xiàn)象。但造成了實(shí)際信號(hào)與真實(shí)信號(hào)出現(xiàn)誤差，這會(huì)使噪聲去除更加不徹底和失去更多重要的細(xì)節(jié)特征，嚴(yán)重影響降噪效果。

2.3 提升小波變換

從以上結(jié)果可知，第一代小波分析是在傅里葉分析的基礎(chǔ)上得到了改進(jìn)，因而它也存在傅里葉帶來的缺點(diǎn)。在空間外差光譜的反演過程中，需要利用傅里葉變換，這樣會(huì)造成缺陷的疊加。相比較而言提升小波變換是不需要傅里葉分析進(jìn)行構(gòu)造的方法。它不僅在時(shí)域上實(shí)現(xiàn)小波變換且繼承了小波變換的特性；可以根據(jù)實(shí)際需要來靈活地構(gòu)建小波函數(shù)，實(shí)現(xiàn)信號(hào)與噪聲的精準(zhǔn)分離，避免了信號(hào)的損失；另外還采用整數(shù)的變換系數(shù)。 ai是第 i分解級(jí)別的近似系數(shù)，它分為3 個(gè)步驟。

1） 拆分

將 ai分為2 個(gè)不相交的子集。利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性拆分為奇數(shù)索引據(jù)點(diǎn)（）和偶數(shù)索引數(shù)據(jù)點(diǎn)（），其中 k=1,2,···,length(ai)/2，即：

2） 預(yù)測(cè)（雙提升）

3） 更新（原始提升）

針對(duì)小波變換閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，在提升小波變換中運(yùn)用一種雙因子的閾值法來估計(jì)小波函數(shù)[16]。該閾值函數(shù)為

將LWT 分解并閾值處理的信號(hào)進(jìn)行LWT 重構(gòu)能突出細(xì)節(jié)特征和降噪，由于SHS 采集到的數(shù)據(jù)中含有各種復(fù)雜的噪聲，因此需要把重構(gòu)后的信號(hào)利用中值濾波來處理以彌補(bǔ)LWT 的不足。

3 數(shù)據(jù)處理與分析

3.1 干涉圖和空間外差光譜

為了驗(yàn)證算法的有效性，使用了2 組不同儀器采集的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)分別來自HEP-765-S 鉀鹽探測(cè)空間外差光譜儀：光譜范圍為756.8 nm～771.7 nm，光譜分辨率為0.029 nm，圖像像素為1 024×1 024，氙燈為光源；中科院自行研制的水汽探測(cè)空間外差光譜儀，光譜范圍為930 nm～955 nm，光譜分辨率為0.05 nm，圖像像素為1 024×1 024，積分球?yàn)楣庠矗杉S干涉圖如圖2 所示。

圖 2 二維干涉圖Fig. 2 Two-dimensional interferogram

分別任取一行干涉圖，切趾、差分去基線、相位校正，然后作傅里葉變換，得到含有噪聲的氙燈和積分球光譜曲線，如圖3 所示?？梢钥闯隹臻g外差光譜信號(hào)中包含了明顯的高頻隨機(jī)噪聲，目標(biāo)光譜的特征及重要的細(xì)節(jié)已無法進(jìn)行有效識(shí)別。

3.2 分析改進(jìn)LWT 降噪結(jié)果

圖 3 FFT 變換光譜Fig. 3 FFT transform spectrum

圖 4 氙燈降噪光譜Fig. 4 Xenon lamp denoising spectrum

分別運(yùn)用了3 種算法對(duì)氙燈光譜信號(hào)進(jìn)行處理，結(jié)果如圖4 所示。圖4（a）為小波變換軟閾值算法處理效果，從圖中可知該算法能抑制氙燈光譜曲線的噪聲并使曲線平滑，但由于實(shí)際光譜信號(hào)與估計(jì)的光譜信號(hào)之間有誤差，造成了信號(hào)過度平滑而丟失了重要的細(xì)節(jié)特征。另外由于實(shí)際氙燈信號(hào)線形相對(duì)簡單，用硬閾值函數(shù)處理氙燈信號(hào)與軟閾值結(jié)果基本一致，處理結(jié)果如圖4（b）所示。相比小波算法，本算法由于結(jié)合了軟、硬閾值函數(shù)優(yōu)點(diǎn)，運(yùn)用LWT 分解將信號(hào)更為精確地分為高、低頻和科學(xué)的閾值選取等，既使得光譜信號(hào)中的噪聲得到濾除，重要細(xì)節(jié)特征得到保留，也減少了因?yàn)閭鹘y(tǒng)處理方法處理造成的峰寬擴(kuò)大。以實(shí)測(cè)低噪氙燈光譜信號(hào)為對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)，如圖4（c）所示，本算法結(jié)果圖4（d）與其更為接近。

圖5 為利用3 種算法處理后的積分球光譜信號(hào)。圖5（a）為小波變換軟閾值函數(shù)處理結(jié)果，從圖中可以看出，因?yàn)閷?shí)際的空間外差光譜信號(hào)與估計(jì)的光譜信號(hào)之間的不一致性，以及閾值函數(shù)間斷點(diǎn)造成了噪聲抑制不完全，出現(xiàn)較大尖峰噪聲；而圖5（b）硬閾值法處理效果比軟閾值法好，信號(hào)被平滑卻出現(xiàn)波形振蕩現(xiàn)象；圖5（d）為本文算法處理結(jié)果，從效果來看噪聲被濾除且2 種小波變換閾值法都忽略的信號(hào)中重要細(xì)節(jié)特征在該算法得到了保留與突出，與圖5（c）的實(shí)測(cè)積分球低噪光譜有較好的一致性。

圖 5 積分球降噪光譜Fig. 5 Integrating sphere denoising spectrum

3.3 性能分析

為了更為全面地說明該算法的可行性，從2 個(gè)定量指標(biāo)方面分析處理結(jié)果，表達(dá)式如下：

式 中： f(n)為 理想 的空 間外 差 光 譜 信 號(hào)； s(n)為 降噪空間外差光譜信號(hào)； N 為空間外差光譜信號(hào)的長度。

從表1 和表2 的數(shù)據(jù)結(jié)果分析可知：硬閾值算法在信噪比（signal to noise ratio，SNR）和均方差（mean square error，MSE）方面都要比軟閾值算法好，而本算法在降噪后最接近原光譜，同時(shí)在信噪比和均方差方面都要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他2 種算法。在氙燈處理過程中，本算法比軟、硬閾值算法在SNR 上分別提高了24.6%和21.5%，MSE 分別減少了43.2%和40.2%；積分球處理過程中SNR 分別提高了31.0% 和30.6%，MSE 分別減少了51.5%和51.2%。因此本算法不僅能夠?yàn)V除空間外差光譜信號(hào)中的噪聲，提高信噪比，而且還能夠保留和突出空間外差光譜信號(hào)中的細(xì)節(jié)特征。本程序進(jìn)行多層分解和閾值選取等方法融合后運(yùn)行速度還比小波變換閾值法快，因此，該算法比小波變換軟、硬閾值方法更有效，更實(shí)用。

表 1 不同算法的降噪效果評(píng)價(jià)（氙燈）Table 1 Evaluation of denoising effects with different algorithms (Xenon lamp)

表 2 不同算法的降噪效果評(píng)價(jià)（積分球）Table 2 Evaluation of denoising effects with different algorithms (Integrating sphere)

4 結(jié)論

空間外差光譜技術(shù)是近年來發(fā)展起來的主要應(yīng)用于衛(wèi)星遙感和大氣觀測(cè)領(lǐng)域的新型超分辨技術(shù)。本文采用基于雙因子閾值函數(shù)和閾值選取的中值濾波算法，并把這種算法與提升小波分析相結(jié)合，進(jìn)行空間外差光譜降噪處理。相對(duì)于傳統(tǒng)的小波變換，基于提升小波變換的算法降噪效果更好，因此該算法具有一定的實(shí)用性。但提升小波分解層數(shù)需要不斷地調(diào)整，且噪聲估計(jì)不夠精確，因此基于提升小波變換的算法在空間外差光譜消噪方面有更大的改進(jìn)空間。