李芳玉 代力 吳德志 曾鳳凰 程時清

1.中國石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測國家重點實驗室；2.長慶油田分公司第十二采油廠

在特低滲透油藏、致密油藏中多級壓裂水平井有著廣泛的應(yīng)用前景。水平井各級壓裂縫間產(chǎn)油能力存在顯著差異［1］，但是關(guān)井測壓過程中，各級裂縫壓降相互疊加，僅憑常規(guī)井底壓力恢復(fù)測試難以有效判斷多級壓裂水平井各級裂縫生產(chǎn)情況。

Gringarten 和Ramey［2］開創(chuàng)性地運用源函數(shù)刻畫滲流過程中的壓力降問題，為后續(xù)研究做出卓越貢獻；Ozkan 和Raghavan［3-4］給出了水平井、直井、壓裂井在不同邊界和井筒條件下的壓力解析解；Guo G［5-6］在Gringarten 和Ramey 工作的基礎(chǔ)上利用Newmann 乘積原理得到多級壓裂水平井在不同邊界條件下的壓力解；Chen 和Raghavan［7］采用邊界元法給出一種矩形油藏中壓裂水平井不穩(wěn)態(tài)滲流半解析解，沒有探討壓裂縫之間的差異；Horne［8］提出一種存在裂縫間產(chǎn)量差異的多級壓裂水平井試井模型，用于比較多個裂縫產(chǎn)量與單個裂縫產(chǎn)量對井底流壓的影響；Ozkan［9］等提出多級壓裂水平井三線性滲流模型，認為在致密儲層中提高裂縫密度比提高裂縫導(dǎo)流能力更能有效提高單井產(chǎn)量；王曉冬［10］通過無限導(dǎo)流模型疊加導(dǎo)流能力影響函數(shù)，給出存在縫間差異的有限導(dǎo)流壓裂水平井解析解，但是考慮裂縫差異后多解性增強；He［11］給出了多級壓裂水平井各級壓裂縫不均勻產(chǎn)液模型解析解，將多條裂縫線源直接疊加求解，忽略了縫間干擾和裂縫控制泄流面積差異；王家航［12］將水平井段離散為多個不同滲透率的流動區(qū)域后再采用邊界元法多段耦合，模型參數(shù)眾多，在擬合過程中多解性問題較為突出；馬威奇［13］給出了單縫卡段測試的多級壓裂水平井分段測試模型，采用修正的三線性流求解。

綜上所述，多級壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)滲流問題主要難點是如果考慮裂縫差異，模型更加復(fù)雜，多解性強。近年來發(fā)展起來的水平井縫間注采方法［14-15］急需確定縫間干擾程度和來水方向，水平井分段測壓方法是解決這問題的有效手段，但是尚無水平井段間測試的試井分析方法。筆者借鑒源函數(shù)方法建立儲層滲流，采用Cinco-Ley［16］提出的有限導(dǎo)流裂縫模型建立裂縫滲流模型，對水平井分段測試各段流量進行約束，建立水平井分段測試模型，同時擬合多段測壓數(shù)據(jù)，降低了縫間差異解釋參數(shù)的多解性。提出的水平井分段測試模型可用于診斷水平井見水位置、確定壓裂施工合理縫間距、提高水平井壓裂產(chǎn)能。

1 壓裂水平井分段測試數(shù)學(xué)模型

假設(shè)無限大油藏一口多級壓裂水平井，壓裂縫自上而下完全壓開儲層，裂縫半縫匯入井筒處流量qfw，水平井以定產(chǎn)q生產(chǎn)。水平方向無限大邊界，地層巖石流體微可壓縮，綜合壓縮系數(shù)Ct，流體黏度μ，忽略重力和毛管力的影響，流體單相流動且滿足達西定律，流體只通過裂縫流入井筒。

考慮每段裂縫流量qfD,ij不一致，第i條裂縫匯入井筒處流量qfw,i，考慮成有限導(dǎo)流裂縫，使用邊界元法離散，在油藏模型中將裂縫視為無限大地層中的條帶源，用線源法求解。

無量綱參數(shù)定義如下

對于中心位于點(xw，yw)處，長度為?xfD的線源，以通過對點源函數(shù)的積分得到其在點(x，y)處的壓力降表達式

不考慮裂縫瞬態(tài)壓力變化，認為裂縫中為穩(wěn)定流，因此，每個半縫中的無量綱壓降可以表達為

qfwD為裂縫內(nèi)邊界處流量，對式(3)進行積分，得到

假設(shè)整個多級壓裂水平井有n條壓裂縫，每條壓裂縫半縫離散為M個微小線源。如圖1所示的坐標系，共分為3段測試。

圖1多級壓裂水平井3段測試示意圖Fig.1 Sketch of three-segment testing in multi-stage fractured horizontal well

在壓裂水平井分段測試模型中，單個裂縫微元的儲層壓力降為

儲層中任意裂縫微元壓降為其余所有裂縫微元在該微元處的壓降疊加，

第k測試段內(nèi)裂縫中任意點到水平井筒壓降為

假設(shè)裂縫壁面內(nèi)外壓力相等，可以得到

各測試段內(nèi)水平井筒無限導(dǎo)流，且各測試段內(nèi)坐封嚴密，無流體傳遞，則流量限制條件為

應(yīng)用杜哈美原理，多級壓裂水平井考慮井儲和表皮效應(yīng)的拉氏空間壓降為

對拉氏空間井底壓力進行Stehfest 反演，得到實空間中考慮多級壓裂水平井井儲和表皮效應(yīng)的井底流壓pkD。

2 流動階段劃分及參數(shù)敏感性分析

為清楚顯示雙線性流階段不考慮井筒儲集和表皮效應(yīng)的影響，繪制第1測試段的典型曲線(圖2)，將典型曲線分為6個流動階段：第Ⅰ階段為雙線性流階段，壓力導(dǎo)數(shù)斜率為0.25；第Ⅱ階段為線性流階段，壓力導(dǎo)數(shù)斜率為0.5；第Ⅲ階段為第一過渡流階段；第Ⅳ階段為裂縫徑向流階段，出現(xiàn)壓力導(dǎo)數(shù)穩(wěn)定的臺階；第Ⅴ階段為第二過渡流階段；第Ⅵ階段系統(tǒng)徑向流階段，壓力導(dǎo)數(shù)數(shù)值穩(wěn)定在0.5。

考慮井筒儲集和表皮效應(yīng)影響，分析求解參數(shù)對典型曲線圖版的敏感性，敏感性分析中無量綱參數(shù)設(shè)置如下：測試段長度LD=2.37；裂縫間距dxD=0.5；測試段流量qkD=1/3；裂縫導(dǎo)流系數(shù)CfD=25；井儲系數(shù)CD=0.004；系統(tǒng)表皮因子S=0.02。

圖2水平井分段測試典型曲線圖版Fig.2 Chart of the typical curve of segmental testing in horizontal well

理想情況下，多級壓裂水平井全井段的流量呈現(xiàn)規(guī)則的U 型分布，即水平井井筒根部和端部流量高，中間流量低。如果3段測試流量分布不規(guī)則，這里分別取0.1，0.3，0.6，其與多級壓裂水平井全井段測試模型(qD=1)圖版對比，流量偏高的測試段(圖3中的測試段3曲線)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線在井儲和線性流階段相對全井段測試曲線上移，系統(tǒng)徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)數(shù)值穩(wěn)定在0.5處，與多級壓裂水平井全段生產(chǎn)模型相同。反之相對全井段測試曲線下移。

圖3不同測試段產(chǎn)量下的水平井分段測試典型曲線Fig.3 Typical curve of segmental testing in horizontal well at the production rate of different testing segments

計算表明在各條裂縫流量均等的條件下，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線對各測試段內(nèi)壓裂縫數(shù)目不敏感。

考慮水平井各測試段裂縫間距不同的情況，分別繪制3個測試段典型曲線圖版和全井段測試典型曲線圖版(圖4)。

圖4不同縫間距離下的水平井分段測試典型曲線Fig.4 Typical curve of segmental testing in horizontal well at different fracture intervals

在井筒儲集階段和線性流階段早期，3個測試段壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線完全重合，多級壓裂水平井各級壓裂縫之間沒有相互干擾。如果裂縫間距增大，雙對數(shù)曲線線性流持續(xù)時間延長，測試段2在第1過渡流階段出現(xiàn)測試段1 和測試段3的干擾，導(dǎo)致壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹到測試段1壓力導(dǎo)數(shù)曲線上方。全井段測試曲線介于3段測試之間，僅憑全井段測試曲線不能有效識別裂縫間距差異。

考慮水平井各測試段裂縫半長不同的情況，分別繪制3個測試段和全井段測試典型曲線圖版(圖5)。

圖5不同裂縫半長下的水平井分段測試典型曲線Fig.5 Typical curve of segmental testing in horizontal well at different fracture semi-lengths

若裂縫半長增大，線性流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線下移(圖5)，測試段2 在第2過渡流階段出現(xiàn)測試段1和測試段3的干擾，導(dǎo)致壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹到測試段1壓力導(dǎo)數(shù)曲線上方。全井段測試曲線介于3個測試段曲線之間，僅憑全井段測試曲線不能有效識別裂縫半長差異。

考慮水平井各測試段裂縫導(dǎo)流能力不同的情況，分別繪制3個測試段和全井段測試典型曲線圖版(圖6)。

圖6不同裂縫導(dǎo)流能力下的水平井分段測試典型曲線Fig.6 Typical curve of segmental testing in horizontal well at different fracture conductivities

裂縫導(dǎo)流系數(shù)增大，第1過渡流和線性流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線下移，且下移趨勢逐漸減緩。全井段測試曲線與測試段2曲線近似，但是3個測試段裂縫導(dǎo)流能力相差近百倍，僅憑全井段測試曲線不能有效識別水平井各級裂縫導(dǎo)流能力差異。

此外，計算發(fā)現(xiàn)每段裂縫流量相同情況下，各測試段裂縫數(shù)量對測試曲線影響很小。

3 分段測試模型驗證及實例應(yīng)用

為了驗證提出模型的正確性，設(shè)置與Saphir 數(shù)值試井模塊相同參數(shù)：kh=10×10?3μm2;?=0.1;Ct=10?3MPa?1;h=20 m;C=0.5 m3/MPa;S=0;Ln=800 m;n=9;xf=100 m;wf=5×10?3m;kf=5×106×10?3μm2;dx=100 m;q=20 m3/d，繪制相應(yīng)的典型曲線圖版(圖7)。

圖7本文模型與Saphir5.12數(shù)值模型計算結(jié)果對比Fig.7 Calculation result comparison between the proposed model and the Saphir5.12 numerical model

從圖7看出，本文模型與Saphir 數(shù)值試井模型在井儲段和第1過渡流段存在微小差異，其余各流動階段兩模型曲線完全重合。井儲階段存在差異是由于Saphir 數(shù)值模型井儲考慮方式與本論文不同，因此，設(shè)置C=0 m3/MPa、S=0，繪制不考慮井儲的典型曲線圖版（圖8），證明本模型的正確性。

圖8不考慮井儲表皮條件下本文模型與Saphir5.12數(shù)值模型計算結(jié)果對比Fig.8 Calculation result comparison between the Saphir5.12 numerical model and the proposed model without taking into account the skin conditions of well storage

不考慮井儲表皮條件下本文提出的多級壓裂水平井模型與Saphir5.12數(shù)值試井模型僅在0.01 h 之前數(shù)據(jù)存在偏差，分析認為此偏差由以下因素導(dǎo)致：

(1)井底流壓測試點選擇位置不同，本研究水平井井筒無限導(dǎo)流，井底流壓為水平井筒任一點處流壓；Saphir 數(shù)值試井模型測試的是井眼處流壓；

(2)數(shù)值試井模型計算的早期壓力數(shù)值存在問題，Muastafa Onur［17］將其半解析模型用商業(yè)軟件驗證時也提出相同觀點。

以某致密油藏生產(chǎn)井GP25-14井為例，說明模型實際應(yīng)用。

該井于2016年5月26日—2016年6月19日進行井下關(guān)井分段壓力測試。利用油管分別下入3個智能開關(guān)器和2個封隔器至水平段位置，將水平段分成3個測壓部分。關(guān)井測試前3個智能開關(guān)器全部開啟，合采168 h，然后3測試段同時關(guān)井，進行分段壓力恢復(fù)測試，對比3段測試后壓力恢復(fù)情況(圖9)，判斷下入封隔器工作情況。

圖9壓力恢復(fù)階段測試壓力放大曲線Fig.9 Amplified curve of the measured pressure in the stage of pressure buildup

本次測試第1測試段和第2測試段壓力恢復(fù)曲線形態(tài)相同，相差0.03 MPa 是由于水平井筒沿程壓降導(dǎo)致，結(jié)合現(xiàn)場測試分析認為第1段與第2段之間的封隔器1密封失效，第2段與第3段之間的封隔器2密封良好，第3段與第1段/第2段測試末點壓力相差0.42 MPa。GP25-14井第1測試段和第2測試段總長度為260 m，壓裂段數(shù)4段，第3測試段長度440 m 壓裂段數(shù)4段。

根據(jù)壓裂資料確定每條壓裂縫位置，在分段測試解釋過程中2段測試段數(shù)據(jù)同時擬合(圖10)，考慮生產(chǎn)中裂縫縫間干擾的影響。

表1解釋成果表明，第3測試段的壓裂縫半長及導(dǎo)流系數(shù)均遠低于第1、2測試段。第3測試段產(chǎn)液量與第1、2測試段總產(chǎn)液量相近，說明第3測試段存在水驅(qū)能量補給。此認識與水平井2015年11月產(chǎn)液剖面測試結(jié)果相吻合(測試結(jié)果顯示該井趾端產(chǎn)液量大，含水率高)，此外注采井網(wǎng)動態(tài)資料顯示，GP25-14井趾端注水井注入量較高。綜上所述，分段試井模型能較好描述分段測試水平井各測試段間差異，能為該井動態(tài)調(diào)整提供重要依據(jù)。

圖10理論曲線與實測數(shù)據(jù)擬合圖Fig.10 Fitting of theoretical curve and measured data

表1分段測試模型解釋結(jié)果Table 1 Interpretation result of segmental testing model

4 結(jié)論

(1)在多級壓裂水平井儲層滲流模型中，采用Newman 乘積得到實空間中裂縫離散微元的源函數(shù)，用疊加原理考慮裂縫間相互干擾；在裂縫滲流模型中，采用Cinco-Ley 裂縫有限導(dǎo)流模型，利用矩陣求解每個時間步各裂縫微元的流量，通過裂縫和儲層流動耦合，建立了多級壓裂水平井分段測試試井模型。

(2)多級壓裂水平井分段測試典型曲線分為6個流動段：雙線性流階段、線性流階段、第1過渡流階段、裂縫徑向流階段、第2過渡流階段、系統(tǒng)徑向流階段。各測試段流量與規(guī)則流量偏離增大，裂縫半長減小，線性流段壓力導(dǎo)數(shù)曲線向上移動；裂縫間距增加，線性流階段延長，擬徑向流階段出現(xiàn)時間延遲；裂縫導(dǎo)流能力增大，早期壓力導(dǎo)數(shù)曲線下降，但下降趨勢減緩；縫間干擾出現(xiàn)在第2過渡流階段，中部測試段壓力導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)上翹。

(3)在分段測試模型簡化條件下與商業(yè)軟件Saphir 的數(shù)值試井模型曲線對比，驗證了考慮縫間干擾的多級壓裂水平井試井模型的正確性。實例的2個測試段裂縫半長和裂縫導(dǎo)流能力有較大差別，根據(jù)第3測試段產(chǎn)量和地層壓力偏高現(xiàn)象，結(jié)合產(chǎn)液剖面資料，證實第3測試段存在水驅(qū)能量補給，確定該段是水竄通道。實例應(yīng)用表明分段試井模型能較好描述水平井各測試段間差異，為制定縫間堵水措施、提高水平井產(chǎn)量提供了重要依據(jù)。

符號說明：

B為原油體積系數(shù)；Cf為裂縫導(dǎo)流能力，10?3μm2· m；erf(x)為高斯誤差函數(shù)；h為儲層厚度，m；kf為裂縫滲透率，10?3μm2；kh為水平滲透率，10?3μm2；kv為垂直滲透率，10?3μm2；Lh為水平井長度，m；ΔLfD，lm為坐標(l,m)處裂縫線源無量綱長度；p為壓力，MPa；pkwD為第k測試段處水平井筒無量綱壓力；pkD為考慮井儲表皮的拉式空間無量綱壓力；pi為原始地層壓力，MPa；Δp為原始地層壓力與井底壓力之差，MPa；puD為長度為ΔxfD的線源對空間中任意點的無量綱壓力降；puDij，lm為在坐標(l,m)處長度為ΔxfD的線源對坐標(i,j)處產(chǎn)生的無量綱壓降；qf為水平井裂縫線流量，m2/d；qsc為水平井地面產(chǎn)量，m3/d；rw為井半徑，m；S為系統(tǒng)表皮因子；t為時間，h；z是拉式空間變量；wD為無量綱寬度；wf為裂縫寬度，m；x為x軸方向長度；xf為裂縫半長，m；xw為點(xw，yw)至參考點(x,y)，x軸方向的距離；xwD,lm為點(xw，yw)至點(l,m)，x軸方向的無量綱距離；dx為裂縫間距，m；Δy為裂縫微元長度；yw為點(xw，yw)至參考點(x,y)，y軸方向的距離；?為孔隙度，小數(shù)；τ為時間積分變量，h；χ和u為空間積分中間變量，m。下標：D為無因次量；k為測試段序號；i為裂縫序號；j為裂縫內(nèi)裂縫微元序號；l為裂縫序號；m為裂縫內(nèi)裂縫微元序號。