仝少凱 高德利

1.中國石油大學(xué)(北京)石油工程教育部重點實驗室；2.油氣資源與工程國家重點實驗室

0 引言

水力壓裂通過誘導(dǎo)目標(biāo)地層裂縫來改善低基質(zhì)滲透性儲層，增加油氣的供給面積和運移通道，最大程度地改善壓裂效果，從而提高油氣井的產(chǎn)量和采收率。目前，傳統(tǒng)水力壓裂工藝采用穩(wěn)定注入方式進(jìn)行作業(yè)。為了更好地強化壓裂作業(yè)的增產(chǎn)效果，提出了一種新的波動注入水力壓裂增產(chǎn)工藝［1］，即人為通過快速改變壓裂泵組工作轉(zhuǎn)速(或工作頻率)的方式，實現(xiàn)壓裂泵組“不穩(wěn)定的排量和壓力”輸出。這種非穩(wěn)態(tài)注入方式是實施新型水力壓裂作業(yè)的核心。同時，對該工藝的相關(guān)基礎(chǔ)研究內(nèi)容開展了調(diào)研，從理論上初步證實了該工藝提高壓裂增產(chǎn)效果的可行性和可靠性［2］。然而，該工藝究竟以何種力學(xué)機制影響深部儲層巖石的破壞、裂縫的擴展和油氣井產(chǎn)量的增加仍不清楚。在某種程度上，筆者前期的研究似乎不能更好地解釋該工藝的本質(zhì)作用。

微地震是由應(yīng)力場變化導(dǎo)致巖石破壞而引起的微小天然地震事件［3］，可通過描繪震源和接收點之間巖石的地震屬性在時空上的變化［4］研究儲層應(yīng)力狀態(tài)和巖體破裂過程。同時通過對地震特征的分析，可研究儲層巖石裂縫體系的斷裂機理和評估水力壓裂效果等［5］。國內(nèi)外關(guān)于注入流體誘發(fā)微地震的機制研究較少，尤其在非穩(wěn)態(tài)水力壓裂誘發(fā)微地震方面的研究更少。國外典型的研究實例發(fā)生在科羅拉多州落基山Arsenal 油田［6］、Rangeley 油田［7］和美國Carthage氣田［8-9］。Arsenal 油田和Rangeley 油田儲層中存在大量的斷層和天然裂縫，通過注入流體引起斷層的滑動而誘發(fā)地震，同時地震引起的小規(guī)模應(yīng)力擾動會引起一系列新的微小地震。美國Carthage氣田CottonValley 氣藏在水力壓裂過程中，研究發(fā)現(xiàn)循環(huán)注入流體條件下水力裂縫重新開啟的過程中會誘導(dǎo)微地震。上述應(yīng)用實踐證明，通過注入流體壓力變化可以誘發(fā)油氣儲層地震事件，但地震的波及范圍和震源特性存在一定的差異，主要取決于儲層內(nèi)斷層/天然裂縫或節(jié)理的發(fā)育程度和水力裂縫的擴展程度。

筆者聯(lián)想到采用“波動注入水力壓裂可能人為誘發(fā)微地震”這一現(xiàn)象來更好地解釋波動注入水力壓裂工藝的本質(zhì)作用。這種想法是否合理，需要從理論上給出波動注入水力壓裂誘發(fā)微地震的力學(xué)機制，據(jù)此揭示人為誘發(fā)的“微地震”對壓裂效果的影響機制，為研究和應(yīng)用波動注入水力壓裂工藝提供理論依據(jù)。

1 井筒不穩(wěn)定流動引起的壓力振動

在波動注入水力壓裂作業(yè)中，通過快速改變注入排量與壓力引起井筒不穩(wěn)定流動，產(chǎn)生井底壓力振動源。為了便于分析，以垂直井筒連續(xù)管環(huán)空壓裂為例［1］，根據(jù)剛性液柱理論［10］，作如下假設(shè)：(1)連續(xù)管和套管是剛性管，即井筒環(huán)形空間在波動壓力下不會發(fā)生明顯膨脹；(2)井筒和連續(xù)管內(nèi)流體是不可壓縮黏性流體；3)忽略流體在地面管線中的流動時間和摩阻，僅考慮井筒中的流動時間和摩阻；(4)忽略井筒中連續(xù)管偏心對環(huán)空摩阻、波動壓力的影響。

1.1 連續(xù)性方程和動量方程

如附錄A 所示，井筒中環(huán)空不穩(wěn)定流動的連續(xù)性方程和動量方程為

式中，p為環(huán)空流體壓力，MPa，p=p(z,t)；u為環(huán)空流體波動流速，m/s，u=u(z,t)=u(t)；ρo為環(huán)空流體密度，kg/m3；z為坐標(biāo)，正方向為流體流動方向或井深方向，m；t為流動時間，s；Ao為環(huán)空橫截面積，m2，Ao=π(dc2?Dt2)/4；dc為套管內(nèi)徑，m；Dt為連續(xù)管外徑，m；fo為環(huán)空流體摩阻系數(shù)，由環(huán)空流體流態(tài)決定；ξ為環(huán)空管路平均水力半徑，m，ξ=(dc?Dt)/4；g為重力加速度，m/s2。

連續(xù)性方程(1)和動量方程(2)共同表示波動注入水力壓裂過程中在不會膨脹的井筒環(huán)空中的運動傳播過程。

1.2 波動壓力的求解

如附錄B所示，聯(lián)立求解上述連續(xù)性方程(1)和動量方程(2)，根據(jù)穩(wěn)定排量Qs和波動排量Qw的取值大小，按照如下2種情況得到環(huán)空波動壓力和環(huán)空壓力計算模型。

1.2.1 與Qs相比，Qw小于0.5 m3/min(很小)井筒中不穩(wěn)定流動時的環(huán)空波動壓力為

式中，Qs為穩(wěn)定狀態(tài)時壓裂柱塞泵組輸出的排量，m3/min；Qw為波動狀態(tài)時壓裂柱塞泵輸出排量的振幅，m3/min；ω為壓裂柱塞泵曲軸的運轉(zhuǎn)頻率，Hz；φ為壓裂柱塞泵曲軸的運轉(zhuǎn)相位，°；m為常數(shù)，可根據(jù)環(huán)空管壁粗糙度取值1.75~2.0。

波動注入水力壓裂過程中，井筒中不穩(wěn)定流動時的環(huán)空壓力為

1.2.2 與Qs相比，Qw大于0.5 m3/min(較小)井筒中不穩(wěn)定流動時的環(huán)空波動壓力為

波動注入水力壓裂過程中，井筒中不穩(wěn)定流動時的環(huán)空壓力為

式(5)和式(8)表明，波動注入水力壓裂作業(yè)過程中，在井底z=l處引起了壓力振動，形成了不穩(wěn)定的壓力振動源，為微地震產(chǎn)生、巖石損傷斷裂和裂縫擴展提供了載荷依據(jù)。

圖1所示為壓裂泵工作頻率與井底環(huán)空壓力之間的關(guān)系。井底環(huán)空壓力以壓力波動的形式進(jìn)行變化，這種壓力波動會以“壓縮—釋放—壓縮”作用施加在井壁上，同時伴隨壓力能量的聚集與釋放，從而高效誘導(dǎo)井壁巖石破裂。此外，增加工作頻率和波動排量，容易增強井底不穩(wěn)定的壓力振動，產(chǎn)生較大的壓力振動源，有利于人為誘發(fā)“微地震”和破壞巖石。

圖1井底環(huán)空壓力與壓裂泵工作頻率之間的關(guān)系Fig.1 Relationship between the bottom-hole annulus pressure and the operating frequency of fracturing pump

2 井底壓力振動源與巖石損傷斷裂機制

利用巖石物理微地震模型可研究儲層非穩(wěn)態(tài)壓裂過程的激活體積及水力裂縫帶長等信息，利用這些信息可研究水力裂縫網(wǎng)絡(luò)的分布，評價壓裂效果［11］。為了研究非穩(wěn)態(tài)壓裂誘發(fā)的微地震，首先需要根據(jù)不穩(wěn)定注入描述井底壓力振動源，其次結(jié)合儲層地質(zhì)力學(xué)理論分析非穩(wěn)態(tài)壓裂過程中的巖石損傷斷裂機制。

2.1 井底壓力振動源

根據(jù)方程(5)或(8)，波動注入水力壓裂過程中，壓裂泵組不穩(wěn)定注入排量引起井筒不穩(wěn)定流動，在井底z=l處形成壓力振動源。這種壓力振動源會以壓力波的形式向孔眼和儲層裂縫傳播，會在每條裂縫內(nèi)保持一定程度的微小強迫振動。其壓力振幅主要取決于壓裂泵輸出排量、工作頻率和傳輸介質(zhì)，壓力振動頻率取決于壓裂泵工作頻率與傳輸介質(zhì)。隨著工作頻率和注入排量的增加，該壓力振動源的壓力振幅迅速增大，勢必產(chǎn)生較大的振動能量，從而在井底人為誘發(fā)“微地震”。當(dāng)然，微地震震源振幅的增加受工作頻率和注入排量的限制，可能超過某一臨界工作頻率后，震源振幅呈下降趨勢［1］。因此，需要在合理范圍內(nèi)快速改變壓裂泵工作頻率來持續(xù)增強井底的壓力振動源，提供人為制造“微地震”的振動能量。

2.2 巖石損傷斷裂機制

巖石的破壞過程是損傷與斷裂綜合作用的結(jié)果。根據(jù)上述分析，當(dāng)井底誘發(fā)不穩(wěn)定壓力振動源時，勢必會在井壁上產(chǎn)生波動交變應(yīng)力，增加井壁巖石的疲勞損傷，從而在巖石內(nèi)部產(chǎn)生微小疲勞裂紋并迅速擴展。隨巖石損傷程度加?。?2］，其斷裂韌性、抗拉強度降低，更容易引起井壁巖石拉伸破裂。一旦井壁拉伸破裂形成主裂縫，這種波動交變應(yīng)力會以脈動應(yīng)力波的形式在裂縫中傳播，同時進(jìn)入預(yù)先存在的初始微小疲勞裂縫網(wǎng)絡(luò)內(nèi)，在脈動拉應(yīng)力作用下不斷加劇巖石損傷破裂，可能會沿主裂縫方向引起許多翼形分支裂縫并互相貫通，由近及遠(yuǎn)向井壁圍巖深處輻射擴展，從而造成儲層巖石“振動損傷斷裂”。

波動注入水力壓裂誘導(dǎo)井壁巖石拉伸破壞，這是當(dāng)井底流體壓力超過最小主應(yīng)力時發(fā)生的。當(dāng)井壁圍巖某一點所受的最大拉伸應(yīng)力超過巖石抗拉強度時，井壁巖石就會發(fā)生拉伸破裂，水力裂縫便會從該處起裂。儲層地質(zhì)力學(xué)研究結(jié)果表明［13-14］，基本上巖石的抗拉強度都很低，僅為幾個兆帕，如果巖石中已存在裂隙，抗拉強度幾乎為0。所以一旦井壁巖石某一點環(huán)向應(yīng)力進(jìn)入拉伸應(yīng)力狀態(tài)，井壁就會產(chǎn)生拉伸裂縫。根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)理論，在水力壓裂過程中，I型水力裂縫擴展準(zhǔn)則為

式中，KIC為巖石斷裂韌性，MPa · m1/2，可查巖石力學(xué)手冊獲?。籶f為裂縫內(nèi)的壓力，MPa；Lf為裂縫長度，m；σ3為最小主應(yīng)力(或閉合應(yīng)力)，MPa。

圖2不同斷裂韌性下裂縫內(nèi)凈壓力隨裂縫長度的變化曲線Fig.2 Variation of the net pressure inside the fracture with the fracture length under different fracture toughness

根據(jù)方程(9)計算不同斷裂韌性(或軟硬)砂巖下水力裂縫內(nèi)凈壓力與裂縫長度之間的關(guān)系如圖2所示。井壁初始拉伸破壞很大程度上受巖石的斷裂韌性控制，一旦裂縫擴展到一定長度后，水力裂縫擴展主要由凈壓力控制，不再與巖石的斷裂韌性(或抗拉強度［15］)有關(guān)。因此，降低巖石的斷裂韌性(或抗拉強度)可以加劇巖石的破壞。巖石的斷裂韌性與抗拉強度具有一定的關(guān)系［15］，因為兩者之間的本質(zhì)一致，引起巖石破壞的力學(xué)機制相同，都是由巖石內(nèi)部微裂紋受到拉張應(yīng)力作用而引起微裂紋的擴展、互相貫通所致。從巖石破壞的力學(xué)機制角度看，一旦巖石內(nèi)部存在微裂紋，巖石的斷裂韌性和抗拉強度都會降低。因此，在波動交變應(yīng)力作用下，深部巖石損傷斷裂機制是由于巖石的損傷產(chǎn)生微小疲勞裂紋，引起巖石斷裂韌性(或抗拉強度)降低，致使巖石更難保持穩(wěn)定狀態(tài)，更容易發(fā)生疲勞斷裂失穩(wěn)破壞。

3 誘發(fā)微地震的力學(xué)機制

在波動注入水力壓裂作業(yè)過程中，不穩(wěn)定高壓流體通過井筒注入到目標(biāo)儲層引起井底壓力振動，人為地誘發(fā)“微地震”，加劇儲層巖石應(yīng)力場的改變，加劇巖石破壞而增強自然微地震事件。通過對微地震事件的定位和監(jiān)測［16-17］，根據(jù)其分布可大致評估誘發(fā)儲層裂縫網(wǎng)絡(luò)的發(fā)育情況和儲層改造體積。為此，首先需要研究波動注入水力壓裂人為誘發(fā)的“微地震”特性，然后針對含斷層較多的裂縫儲層和非裂縫性儲層特征分析波動注入水力壓裂誘發(fā)微地震的力學(xué)機制。

3.1 微地震特性

3.1.1 微地震震源信號頻率與能量微地震震源信號的頻率在實際中是一個重要參數(shù)，可用來表征地震事件記錄的分辨率。巖石在井底壓力振動源擾動下的破裂實際上是應(yīng)變能釋放過程，這種被釋放的應(yīng)變能，一部分以應(yīng)力波的形式發(fā)射出去，產(chǎn)生了微地震信號［18］。巖石裂縫在擴展過程中，隨著時間的推移，微小破裂逐漸集結(jié)為較大破裂。假定地震波在距離r上滑動受阻，r越長，在初始階段滑動越慢，當(dāng)r較短時，可預(yù)測滑動速度和加速度較高，其特征時間常數(shù)tr為［19］

地震波在巖石中傳播的橫波波速為

式中，tr為傳播距離為r時控制地震波譜的最高頻率的時間常數(shù)，s；G為巖石剪切模量，MPa；Ee為表面能，表示巖石破裂單位面積上所需的能量，J/m2； υ為巖石破裂速度，m/s；σc為單位面積上的內(nèi)聚力，MPa；Vs為地震剪切波速度或橫波波速，m/s；ρr為巖石的密度，kg/m3。

圖3所示為波動注入水力壓裂人為誘發(fā)的微地震震源信號截止頻率與震源破裂半徑之間的關(guān)系。隨傳播距離增加，震源信號截止頻率呈冪指數(shù)規(guī)律衰減，隨裂縫長度增加而降低。巖石微破裂產(chǎn)生過程中，隨微破裂的集結(jié)和裂縫的擴展，地震波的頻率會向低頻部分移動。也就是說，微破裂形成過程中，地震波信號頻率具有向低頻偏移的趨勢，而且裂縫越長頻率越低。這是因為波動壓裂人為誘發(fā)的微地震本身能量較小，且激發(fā)的地震波信號從井壁向遠(yuǎn)處儲層傳播過程中，巖石的吸收衰減效應(yīng)會導(dǎo)致微地震信號的能量變?nèi)鹾驼鹪搭l率降低。能量越弱的微地震事件，其頻率越高，波長越小，則衰減越快，在裂縫中持續(xù)的時間越短。以往的研究結(jié)果證實，如果考慮巖石黏彈性的存在，地震波高頻信號衰減較快，低頻信號衰減相對較慢［11］。

圖3微地震震源信號截止頻率與震源半徑之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between the signal cutoff frequency and the radius of microseismic source

微地震震源信號頻率能夠在很寬廣范圍內(nèi)變化(即具有較寬的初始頻帶范圍)，取決于儲層巖石中的應(yīng)力分布的強度(如注入壓力)以及內(nèi)部含裂縫和節(jié)理等軟弱部分的規(guī)模［20］。這表明微地震的能量大小、震級和信號頻率一定程度上受注入壓力的強度和頻率所控制。根據(jù)方程(5)或(8)，通過快速改變壓裂泵工作轉(zhuǎn)速(或工作頻率)的方式可以迅速增加井底的壓力振動，形成較大的壓力振動強度，從而人為制造具有“高能量”的微地震。

地震的震級不同時，地震波的能量也有所差別。地震能量與震級之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為［21-22］

式中，Ek為地震能量，J；Ms為地震震級，無因次。

根據(jù)劃分標(biāo)準(zhǔn)將地震震級進(jìn)行劃分，并根據(jù)方程(12)計算不同震級地震產(chǎn)生的能量以及相應(yīng)的TNT 炸藥當(dāng)量見表1所示。由表1可以看出，微地震的震級通常小于1.0，其能量較小，震源破裂半徑也較小。大多數(shù)微地震事件頻率范圍為200~1 500 Hz，持續(xù)時間小于1.0 s［22］。震級為0.6級時，巖石破裂長度為10~20 m，震級為–2.0時，巖石破裂長度為0.5~1.0 m。不同儲層的震級與破裂半徑的關(guān)系存在區(qū)域性差異［23］。上述結(jié)果表明，人為地通過改變井底壓力振動的強度與頻率來制造“較高能量”的微地震，加劇巖石的損傷破壞，增加巖石破裂長度和微裂縫，從而擴大自然微地震的波及范圍。

3.1.2 地面壓力波信號的接收頻率根據(jù)微地震監(jiān)測的原理［16-17］，微地震震源激發(fā)的信號要從震源經(jīng)過傳播介質(zhì)到達(dá)檢波器，其震源、傳播介質(zhì)和檢波器均會對震源信號的頻率信息產(chǎn)生一定的影響。尤其是地震信號在不同類型和形狀的介質(zhì)中傳播特性也各不相同，而且還會產(chǎn)生反射、折射、頻散等效應(yīng)。為此，按照微地震監(jiān)測的逆向思維，需要討論壓力波信號在井筒流體和巖石介質(zhì)中的頻率特性。

表1 地震震級分類與能量Table 1 Magnitude classification and energy of seismic

圖4所示為基于單軸壓縮作用下室內(nèi)聲發(fā)射監(jiān)測巖心微地震破裂信號試驗的波動壓裂誘發(fā)微地震信號傳播試驗示意圖。在圖4(b)中，可預(yù)先在井底安裝壓力波檢測裝置，用以檢測和接收壓裂泵組一定工作頻率和振幅范圍的壓力波形，并判斷壓力波沿井筒是否衰減以及出現(xiàn)衰減的程度，同時將該壓力波的頻率范圍作為所誘發(fā)的微地震震源主頻率范圍。如果事先確定了深部遠(yuǎn)處儲層某一點巖石初始破裂時的信號頻帶，而且只要初始破裂的信號頻帶恰好落在了誘發(fā)的微地震震源主頻帶之內(nèi)，那么波動注入水力壓裂人為誘發(fā)的地震波可以傳播到該點位置，實現(xiàn)巖石的有效破裂，否則，可能無法實現(xiàn)較大的破裂半徑，如圖5所示。

圖4基于單軸壓縮作用下室內(nèi)聲發(fā)射監(jiān)測微地震試驗的波動壓裂誘發(fā)微地震試驗示意圖Fig.4 Sketch of fluctuation fracturing inducing microseismic on the basis of the indoor acoustic emission based microseismic monitoring test under the action of uniaxial compression

圖5井底壓力振動源震源主頻帶與目標(biāo)巖石破裂頻帶之間的關(guān)系Fig.5 Relationship between the master frequency band of the seismic source corresponding to the vibration source of bottom hole pressure and the frequency corresponding to the fracturing of target rock

儲層內(nèi)任意位置r處目標(biāo)巖石所獲得的信號是井底壓力振動源、巖石傳輸介質(zhì)等因素的綜合結(jié)果，即

式中，S(t)為儲層內(nèi)任意位置r處巖石獲得的信號；P(t)為 井底壓力振動源激發(fā)的地震波信號；H(t)為巖石介質(zhì)對地震波信號的傳遞函數(shù)。

式(13)表明儲層內(nèi)任意位置r處目標(biāo)巖石接收信號的實測譜為井底壓力振動源震源譜與傳播衰減兩個過程的褶積。

假設(shè)傳遞函數(shù)的振幅譜滿足如下方程［24］

式中，H0為傳遞函數(shù)的振幅；fr為目標(biāo)巖石接收的信號頻率，Hz；Qvs為地震波傳播速度為Vs時的品質(zhì)因子。

由于井底壓力振動源壓力振動的強度不同，人為誘發(fā)的地震波不同，從而造成震源頻帶和振幅有所差別。為便于分析，以壓裂誘發(fā)的微地震子波中Ricker 子波(雷克子波)為例。Ricker 子波決定了剪切型裂紋，即滑開型裂紋和撕裂型裂紋［11］。當(dāng)Ricker 子波的主頻在幾千赫茲以下時，接收信號在傳播距離r之后的頻率為［24］

式中，fb為井底壓力振動源激發(fā)地震子波信號的頻率，Hz。

式(15)對fb求導(dǎo)得

式(17)表明目標(biāo)巖石接收的信號頻率主要受3個參數(shù)影響較大，分別為井底壓力振動源震源主頻fb、傳播距離r和品質(zhì)因子Qvs。

圖6和圖7所示為震源主頻fb、傳播距離r和品質(zhì)因子Qvs對目標(biāo)巖石接收信號頻率fr的影響。巖石若為黏彈性介質(zhì)，在距離井底壓力振動源震源100 m 處目標(biāo)巖石接收到的地震信號頻率明顯受品質(zhì)因子Qvs值變化的影響。隨震源主頻增加，目標(biāo)巖石接收信號頻率趨近于一個穩(wěn)定值，且Qvs值越大，此穩(wěn)定值越大。對于圖7，巖石若為黏彈性介質(zhì)，在相同震源主頻作用下，隨地震子波傳播距離增大，目標(biāo)巖石接收信號頻率降低，且Qvs越小，頻率衰減越明顯；當(dāng)傳播距離增大到一定長度時，接收信號頻率的變化幅度很小，逐漸趨近于一個穩(wěn)定值。

圖6目標(biāo)巖石接收信號頻率與井底壓力振動源震源主頻之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between the frequency of the received signal of target rock and the master frequency of the seismic source corresponding to the vibration source of bottom hole pressure

圖7目標(biāo)巖石接收信號頻率與傳播距離之間的關(guān)系Fig.7 Relationship between the frequency of the received signal of target rock and the propagation distance

此外，地震信號傳播過程中，高頻成分衰減較快，低頻成分的變化幅度較小。通常地下儲層巖石屬于黏彈性介質(zhì)，地震波在傳播過程中隨著傳播距離增大，其主頻和能量都會越低。相關(guān)研究表明［18］，當(dāng)?shù)貙訛閺椥越橘|(zhì)時，地震波主頻無變化，能量的降低僅緣于地震波的球面擴散和層位界面反射；當(dāng)?shù)貙訛轲椥越橘|(zhì)時，地震波主頻和能量下降都很明顯。因此，在微地震信號從井壁向深部遠(yuǎn)處儲層傳播過程中，井底壓力振動源震源主頻總體呈下降趨勢，其能量和振幅也顯著變小，頻帶變窄。所以，在波動注入水力壓裂作業(yè)中，需要快速改變壓裂泵的工作頻率來供給井筒不穩(wěn)定流動引起的壓力振動，以維持井底壓力振動源人為制造“微地震”所需的能量和頻帶。

3.1.3 微地震事件數(shù)量微地震事件數(shù)量和分布在一定程度上可以評估儲層裂縫網(wǎng)絡(luò)的發(fā)育情況以及儲層改造體積。因此，有必要討論井底壓力振動源人為誘發(fā)的微地震可能產(chǎn)生的微地震事件數(shù)量。

微地震事件數(shù)量與震級間關(guān)系可由Gutenberg-Richter 方程［25］描述，即

式中，N為震級不小于Ms的微地震事件數(shù)量；a為常數(shù)，表征某階段該地區(qū)地震活動的水平；b為常數(shù)，表征天然裂縫和斷層對地震事件的影響程度。a和b隨不同地區(qū)而變化，其中，b值越小，表明天然裂縫或斷層對微地震整體事件的影響程度越大。

波動注入水力壓裂誘發(fā)的微地震震級大小與井底壓力振動源的壓力強度存在某種關(guān)系，而微地震震級大小表征了地震能量的大小。所以，從能量守恒角度來說，根據(jù)井底壓力振動源震源激發(fā)的能量，就可以估算微地震事件數(shù)量。

根據(jù)方程(18)和(12)得井底壓力振動源震源能量與微地震事件數(shù)量的關(guān)系為

式中，Ep為井底壓力振動源產(chǎn)生的能量，J。

根據(jù)方程(3)，井底z=l處的壓力波動方程為

根據(jù)壓力波的能量方程，壓力波的能量為

式(21)表明壓裂泵組工作頻率越高，井底壓力振動源激發(fā)的能量就越大，容易誘發(fā)“較高能量”的微地震。

將式(21)代入式(19)得

為了直觀地顯示壓裂泵組工作頻率和波動排量對誘發(fā)的微地震事件數(shù)量的影響，設(shè)a=3.0，b=1.5和

l=3 500 m，ρo=1.25 g/cm3，Qs=3.0 m3/min，在Qw=0.2 m3/min、0.4 m3/min 和0.6 m3/min 時，得到壓裂泵組工作頻率與微地震事件數(shù)量之間的關(guān)系如圖8所示。在低頻工作狀態(tài)下，波動注入水力壓裂誘發(fā)的微地震事件數(shù)量較多；高頻工作狀態(tài)下，誘發(fā)了高震級地震事件，地震事件數(shù)量較少。這是因為壓裂泵組工作頻率較低時，引起井筒不穩(wěn)定流動的壓力振動強度較弱，導(dǎo)致井底壓力振動源激發(fā)的能量較小，從而誘發(fā)較小震級的微地震，在相同能量作用下容易誘發(fā)許多微小地震事件；當(dāng)壓裂泵組工作頻率較高時，井底壓力振動源強度增大，產(chǎn)生的能量較高，從而誘發(fā)較大震級的微地震，在相同的能量作用下只能產(chǎn)生較少的微地震事件。當(dāng)然，地震震級是影響儲層巖石破壞烈度的主要因素。因此，從巖石高效破壞的角度出發(fā)，建議在壓裂泵組工作頻率范圍439~565 Hz(對應(yīng)的工作轉(zhuǎn)速范圍1 400~1 800 r/min)內(nèi)，通過快速改變工作頻率(或工作轉(zhuǎn)速)來增加井底壓力振動源的能量，人為制造較大震級的微地震，實現(xiàn)儲層巖石的高效破裂。

圖8波動注入水力壓裂過程中(微)地震事件數(shù)量與壓裂泵組工作頻率和排量之間的關(guān)系Fig.8 Relationship between the amount of the(micro)seismic events and the operating frequency and displacement of fracturing pump unit in the process of the fluctuationinjection based hydraulic fracturing

3.2 含斷層較多的裂縫性儲層誘發(fā)微地震機制

深部儲層幾乎所有巖石都存在著不同尺度、不同方向的斷層、裂縫和平面不連續(xù)面，它們對流體流動、巖石力學(xué)性質(zhì)、壓裂效果和地應(yīng)力大小都有較大的影響［26］。在波動注入水力壓裂作業(yè)中，微地震震源機制重點是斷層面方位和滑脫方向，只要能夠確定這2個方面就可以從地震特征中提取震源參數(shù)(如震級、頻率)并獲得斷層大小和斷層處地應(yīng)力大小。因此，對于這類儲層，根據(jù)剪切滑移理論，有必要討論注入流體誘發(fā)斷層滑動的力學(xué)機制，并分析優(yōu)勢斷層滑動對微地震的影響。

3.2.1 基于剪切滑移理論的注入流體誘發(fā)斷層滑動的力學(xué)機制巖石剪切破壞最直接的表現(xiàn)形式為地下斷層的滑動。對于斷層面，當(dāng)斷層面上的剪切應(yīng)力與有效正應(yīng)力的比值達(dá)到材料的摩擦因數(shù)時，斷層面發(fā)生摩擦剪切滑動［27］，即

式中，τ為摩擦面上的剪切應(yīng)力，MPa；σn為摩擦面上的有效正應(yīng)力，MPa；μ為摩擦因數(shù)，描述的是在儲層原生斷層面上發(fā)生的滑動。

根據(jù)有效應(yīng)力定義，孔隙壓力對斷層面摩擦滑動的作用是通過有效正應(yīng)力來引入的，即式中，Sn為分解在斷層摩擦面上的正應(yīng)力，MPa；pp為孔隙壓力，MPa。

將式(24)代入式(23)得

根據(jù)方程(25)，在波動注入水力壓裂過程中，由于斷層的存在，大量流體流入到儲層斷層內(nèi)部，提高了斷層面的孔隙壓力，但引起了斷層面有效正應(yīng)力的降低，從而導(dǎo)致斷層發(fā)生滑動。

為了更好地描述斷層的摩擦滑動，Coulomb提出了著名的Coulomb 破壞準(zhǔn)則函數(shù)［28］

當(dāng)Coulomb破壞函數(shù)為負(fù)值時，斷層面保持穩(wěn)定，剪應(yīng)力不足以克服滑動阻力μσn。但是當(dāng)CFF=0時，在原生斷層的平面上，剪應(yīng)力可以克服有效正應(yīng)力，從而發(fā)生滑動。

通過方程(25)預(yù)測孔隙壓力的增加會使斷層穩(wěn)定性降低，即剪應(yīng)力和有效正應(yīng)力的比值增加，從而使斷層更容易發(fā)生滑動，而滑動的斷層更容易誘發(fā)地震。這一預(yù)測結(jié)果已由科羅拉多州落基山Arsenal油田［6］和Rangeley 油田［7］水力壓裂誘導(dǎo)地震證實。

由此可見，波動注入壓裂流體流入到能夠誘發(fā)地震的“活動/優(yōu)勢”斷層中，對斷層的“活化”和地震的誘發(fā)主要起2種作用：(1)降低斷層的強度；(2)加速斷層滑移破裂。

3.2.2 優(yōu)勢斷層及其剪切滑動對微地震的影響機制水力壓裂作用的對象是深部地層巖石。地層存在著許多斷層和天然裂縫，但并不是所有的斷層或裂縫在流體注入下會發(fā)生滑動，只有那些處于優(yōu)勢方向的斷層(即臨界應(yīng)力斷層或臨界應(yīng)力裂縫)才能滑動，從而誘發(fā)地震。因此，有必要討論地層中那些斷層是優(yōu)勢方向斷層，并確定其誘發(fā)地震的臨界應(yīng)力與地應(yīng)力之間的關(guān)系。

圖9所示為斷層面的摩擦強度對地應(yīng)力的限制示意圖。首先考慮一條二維斷層(圖9a)，且忽略中間有效主應(yīng)力的影響(因為它在斷層面內(nèi))。

圖9儲層巖石中斷層面的摩擦強度對地應(yīng)力的限制示意圖Fig.9 Schematic restriction of the frictional strength on the fault plane in the reservoir rock to the in-situ stress

設(shè)斷層面法線fn與最大水平主應(yīng)力 σ1的夾角為β，則作用于斷層面上的剪應(yīng)力 τ和有效正應(yīng)力σn為［26］

式中，σ1為最大有效水平主應(yīng)力，MPa，且σ1=S1?pp；S1為最大水平主應(yīng)力，MPa；σ3為最小有效水平主應(yīng)力，MPa，且σ3=S3?pp；S3為最小水平主應(yīng)力，MPa；β為斷層面法線與σ1的夾角，°。

因此，作用于斷層面上的剪應(yīng)力和有效正應(yīng)力取決于主應(yīng)力大小、孔隙壓力以及斷層面法線與主應(yīng)力σ1的夾角。

根據(jù)儲層巖石中不同方向斷層所對應(yīng)的Mohr圓(圖9c)和Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則，對任意給定的σ3，都存在一個由斷層的摩擦強度確定的σ1的最大值。如果斷層處于臨界方向，即位于最易于滑動的角度［26］

根據(jù)Anderson 斷層理論和斷層分類模式［29］，正斷層、走滑斷層和逆斷層與其相對應(yīng)力大小如圖10所示。結(jié)合式(29)，假設(shè)摩擦因數(shù)μ= 0.6的條件下，可以得到：(1)形成正斷層成60°傾角，成對出現(xiàn)，走向與σ1方向平行；(2)形成的共軛走滑斷層，與地面垂直且成對出現(xiàn)，走向與σ1方向約呈30°角；(3)形成的逆斷層約呈30°傾角，成對出現(xiàn)，走向與σ1方向垂直。

Jaeger 和Cook 研究指出［30］，臨界方向斷層處于摩擦極限時(即滿足方程(23))，σ1和σ3(及S1和S3)滿足

圖9a 是一個二維示意圖，可將該圖看作走滑斷層的情況(圖10b)，其中σ2為有效垂直應(yīng)力，位于斷層面內(nèi)。在這種情況下，σ1和σ3之差，即最大最小有效主應(yīng)力之差受原生斷層面摩擦強度的限制，如方程(30)所示。換句話說，如果σ1相對于σ3不斷增加，一旦達(dá)到臨界方向斷層的摩擦強度時，斷層就會發(fā)生滑動(如圖9b粗黑線，標(biāo)號1)。一旦斷層開始滑動，σ1不會再繼續(xù)增加。這種與圖9a、圖9b 1號斷層平行的斷層稱為臨界應(yīng)力斷層(處于滑動的臨界狀態(tài))，其他角度的斷層(圖9b 2號和3號)則不是。與σ1幾乎垂直的斷層正應(yīng)力很大，但剪應(yīng)力較小，不足以發(fā)生滑動(圖9b綠色線，標(biāo)號2)，而與σ1幾乎平行的斷層正應(yīng)力和剪應(yīng)力都較小(圖9b藍(lán)色線，標(biāo)號3)。

圖10正斷層、走滑斷層和逆斷層相對應(yīng)力大小的Anderson 分類模式Fig.10 Anderson classification mode of the relative stress of normal fault,strike-slip fault and reverse fault

根據(jù)摩擦斷層理論，在應(yīng)力大小受斷層面摩擦強度控制的情況下，當(dāng)孔隙壓力增加時，在相同深度上最大最小有效主應(yīng)力差值將降低；當(dāng)孔隙壓力極高時，較小的應(yīng)力擾動可以引起臨界方向斷層滑動。

上述分析表明，對于斷層較多的裂縫性儲層，波動注入水力壓裂導(dǎo)致巖石破壞誘發(fā)微地震的力學(xué)機制主要是儲層中斷層或天然裂縫的剪切滑移。這對于指導(dǎo)該類儲層的“注入流體”開發(fā)(如油田注水、水力壓裂等)具有重要的作用。

3.3 非裂縫性儲層誘發(fā)微地震機制

非裂縫性儲層是指儲層中斷層和天然裂縫發(fā)育較少、可能沒有明顯流體流動的儲層，比如長慶油田致密砂巖儲層。對于非裂縫性儲層，在傳統(tǒng)穩(wěn)定注入水力壓裂過程中，孔隙壓力增大，水力裂縫尖端前產(chǎn)生拉伸張應(yīng)力，導(dǎo)致裂縫尖端附近區(qū)域發(fā)生剪切破壞并誘發(fā)微地震［31-32］。也就是說，水力裂縫的擴展是引起微地震的主要原因，服從斷裂力學(xué)I型裂紋與II型裂紋擴展綜合作用機制，但是這種微地震屬于“自然微地震”現(xiàn)象。從總體上講，在壓裂區(qū)，水力壓裂誘發(fā)的微地震引起的應(yīng)力重新分布范圍有限，小震級地震波的作用也有限，這些微地震不可能觸發(fā)較遠(yuǎn)儲層的地震，對提高水力壓裂增產(chǎn)效果具有限制性。所以如何增強自然微地震的能量和震級，獲得更多的“微裂縫”，強化壓裂增產(chǎn)效果，提出的波動注入水力壓裂可能是一種有效的解決途徑。

根據(jù)分析，波動注入水力壓裂在井底人為產(chǎn)生不穩(wěn)定的壓力振動源，相當(dāng)于人為制造了“地震源”。在地震源的作用下必然在儲層產(chǎn)生人工“微地震”，加速儲層巖石的破裂，增加儲層的“微裂縫”，從而強化儲層的壓裂增產(chǎn)效果。同時，波動注入水力壓裂在某種程度上影響了“自然微地震”的頻率和強度特征。另一方面，井底不穩(wěn)定的壓力振動源在井壁上會產(chǎn)生波動交變應(yīng)力，這種波動交變應(yīng)力增加巖石的疲勞損傷，很大程度上降低巖石的強度和斷裂韌性，易產(chǎn)生疲勞微裂縫，加速巖石破裂以及裂縫互相貫通的速率，提高儲層的滲透率。

考慮損傷時巖石的斷裂韌性可描述為［12］

式(32)表明隨巖石損傷程度加劇，巖石的有效斷裂韌性也會越來越低，不能將其當(dāng)作常數(shù)KIC來考慮。因此，在波動交變應(yīng)力作用下巖石內(nèi)部出現(xiàn)微裂縫時，巖石本身抵抗斷裂的能力下降，其抗拉強度也會降低，有利于巖石的起裂。從這一角度來看，與完整巖石相比，含有內(nèi)部損傷的巖石發(fā)生破壞時所需的外部載荷要小得多，如果處于水力壓裂起裂環(huán)境中，意味著巖石的損傷很大程度上可以降低壓裂作業(yè)的起裂壓力。

總之，對于非裂縫性儲層，相比于傳統(tǒng)穩(wěn)定注入水力壓裂，波動注入水力壓裂導(dǎo)致巖石破裂誘發(fā)微地震的力學(xué)機制主要包括2種力學(xué)效應(yīng)：(1)損傷—斷裂效應(yīng)，即儲層巖石在波動交變應(yīng)力作用下產(chǎn)生疲勞損傷，降低巖石的強度和斷裂韌性，在巖石內(nèi)部易形成疲勞裂紋，引起巖石疲勞斷裂；(2)人為地震效應(yīng)，即在井底壓力振動源激發(fā)下人為制造“微地震”，增加儲層的“微裂縫”，加速巖石破裂擴展和裂紋互相貫通，造成巖石斷裂破壞。這2種力學(xué)效應(yīng)以不同的力學(xué)機制引起儲層巖石拉伸—剪切破裂，擴大“自然微地震”的波及范圍：前者本質(zhì)上是由于巖石內(nèi)部人為產(chǎn)生“微裂縫”，在拉伸應(yīng)力作用下，微裂縫擴展并互相貫通，導(dǎo)致巖石拉伸破壞；后者相比于前者，反映在微地震震源機制上的剪切破壞是較為普遍的［33］。

4 微地震對壓裂效果的影響

根據(jù)上述分析，采用波動注入水力壓裂人為制造“微地震”，可增加儲層的“微裂縫”，提高儲層的孔隙度和滲透率，從而顯著增強壓裂作業(yè)的增產(chǎn)效果。這一預(yù)測結(jié)果可借鑒室內(nèi)巖石的循環(huán)注入水力壓裂試驗來初步驗證。循環(huán)注入水力壓裂工藝是國外發(fā)展的一種新的壓裂模式，在實驗室內(nèi)，施加在巖石上的循環(huán)注入壓力為非對稱交變應(yīng)力載荷，研究發(fā)現(xiàn)與單調(diào)連續(xù)注入方式相比，采用循環(huán)注入時巖石內(nèi)部出現(xiàn)了許多分支微裂縫，大幅度降低了巖石的破裂壓力［34］。這是由于循環(huán)加載階段巖石內(nèi)部產(chǎn)生損傷累積，迫使損傷的巖石達(dá)到疲勞失效。

相比于完整的巖石，微地震誘發(fā)的微裂縫直觀上能顯著增加儲層巖石的孔隙度，卻在定量上無法用方程描述微裂縫數(shù)量與孔隙度和滲透率之間的關(guān)系。然而儲層孔隙度與滲透率具有一定的相關(guān)性。為此，從理論角度考慮采用Kozeny-Carman 關(guān)系式來分析孔隙度對滲透率的影響，據(jù)此間接說明巖石微裂縫的增加對滲透率的影響。

Kozeny-Carman 關(guān)系式可根據(jù)孔隙度等參數(shù)確定地層的滲透率，應(yīng)用較為廣泛。將裂縫理想化為扭曲的圓形管道，設(shè)圓形管道內(nèi)為層流模式，由Darcy 定律得Kozeny-Carman 關(guān)系式為［35］

式中，K為巖石的滲透率，μm2；B為幾何因子；ζ為裂縫彎曲度；?為巖石的孔隙度，%；d為裂縫中支撐劑顆粒的平均直徑，m。

Kozeny-Carman 關(guān)系式表明滲透率與孔隙度的立方成正比。波動注入水力壓裂人為誘發(fā)的微地震產(chǎn)生“微裂縫”，使巖石中孔隙容積大量增加，從而孔隙度增加，巖石的滲透率相應(yīng)地增加。

將滲流孔隙度?c引入Kozeny-Carman 關(guān)系式中，將滲流孔隙度定義為極限孔隙度，在該孔隙度下，地層中存在的孔隙相互不連通且對流動無貢獻(xiàn)。得到修正的Kozeny-Carman 關(guān)系式為［26］

式中，?c為滲流孔隙度，在大部分情況下，介于0~5%范圍內(nèi)，%。

為了確定孔隙度變化引起的滲透率變化，對式(34)進(jìn)行簡化，去掉了2個幾何因子，則得到［36］

式中，Ki為初始滲透率，μm2；?i為初始孔隙度，%。

當(dāng)滲流孔隙度?c=0時，由式(35)計算無量綱滲透率與孔隙度的關(guān)系如圖11所示。由圖11可以看出，當(dāng)巖石中微裂縫產(chǎn)生并互相貫通時，孔隙度的增加可以顯著提高儲層的滲透率。因此，波動注入水力壓裂人為誘發(fā)的微地震所制造的微裂縫能大幅度地提高儲層的滲透率，增大油氣流動效率，從而強化壓裂增產(chǎn)效果。

圖11無量綱滲透率與孔隙度的關(guān)系Fig.11 Relationship between dimensionless permeability and porosity

由此可見，波動注入水力壓裂誘發(fā)的微地震對壓裂效果的作用機制是人為制造“微地震”增加儲層的“微裂縫”來提高儲層的滲透率，從而增強壓裂增產(chǎn)效果。

5 結(jié)論及建議

(1)波動注入水力壓裂誘發(fā)的微地震震源破裂信號頻率隨著裂縫長度的增加而降低。巖石微破裂產(chǎn)生過程中，隨著微破裂的集結(jié)和裂縫的擴展，地震波的頻率會向低頻部分移動。

(2)對于斷層較多的裂縫性儲層，波動注入水力壓裂導(dǎo)致巖石破裂誘發(fā)微地震的力學(xué)機制主要是儲層中斷層或天然裂縫的剪切滑移。

(3)對于非裂縫性儲層，波動注入水力壓裂導(dǎo)致巖石破裂誘發(fā)微地震的力學(xué)機制是人為地震效應(yīng)和損傷—斷裂效應(yīng)。

(4)波動注入水力壓裂誘發(fā)的微地震對壓裂效果的作用機制是人為制造“微地震”增加儲層的 “微裂縫”來提高儲層的滲透率，從而增強壓裂增產(chǎn)效果。

(5)在波動注入水力壓裂作業(yè)中，儲層巖石損傷斷裂的力學(xué)機制是由于波動交變應(yīng)力引起巖石疲勞損傷，致使巖石內(nèi)部產(chǎn)生微小疲勞裂縫，在脈動拉伸應(yīng)力作用下微小疲勞裂縫迅速擴展并互相貫通，引起巖石破壞。

(6)在波動注入水力壓裂過程中，通過快速改變壓裂泵工作頻率(或工作轉(zhuǎn)速)的方式迅速增加井底的壓力振動，人為制造較高能量的“微地震”，加劇巖石的損傷破裂，增加巖石的破裂長度和微裂縫，從而擴大自然微地震的波及面積。

致謝：本研究論文獲得國家留學(xué)基金委資助(資助學(xué)號：201906440152)，在此表示誠摯的感謝。

附錄A 連續(xù)性方程和動量方程的推導(dǎo)

A.1連續(xù)性方程

對于井筒中連續(xù)管環(huán)形空間，取環(huán)形控制體ABCD，長度為dz，如圖1所示。在dt時間內(nèi)流入控制體的質(zhì)量為ρouAodt，流出控制體的質(zhì)量為根據(jù)質(zhì)量守恒定律，dt時間內(nèi)控制體內(nèi)質(zhì)量的變化等于流入控制體的質(zhì)量與流出控制體的質(zhì)量之差，即

式(1)整理為

根據(jù)偏微分定義，將式(2)展開為

式(3)即為以微分形式表示的井筒中環(huán)空不穩(wěn)定流動的連續(xù)性方程。

圖1垂直井筒中不穩(wěn)定流動的質(zhì)量變化示意圖Fig.1 Schematic mass change of unsteady flow in the vertical wellbore

A.2動量方程

圖2所示為垂直井筒中不穩(wěn)定流動的受力示意圖。對于環(huán)形控制體ABCD，沿z方向運動時承受3種力的作用：重力、上下控制面壓差產(chǎn)生的力和控制體與環(huán)空管壁之間的摩擦阻力。

圖2垂直井筒中不穩(wěn)定流動的受力示意圖Fig.2 Schematic force applied on the unsteady flow in the vertical wellbore

控制體所受的重力為

控制體上下控制面壓差所產(chǎn)生的力為

控制體與環(huán)空管壁之間的摩擦阻力為

式中，dGg為控制體所受的重力，kN；dFp為控制體壓差產(chǎn)生的力，kN；dFt為控制體與連續(xù)管外壁之間的摩擦力，kN；dFc為控制體與套管內(nèi)壁之間的摩擦力，kN；τtco為控制體與環(huán)空管壁之間的摩擦剪切應(yīng)力，MPa。

根據(jù)動量定理，作用于控制體流動方向(即z增加的方向)的合力等于控制體的動量變化速率，即

式(7)兩邊除以Aodz，整理得

式中，ξ為環(huán)空管路平均水力半徑，ξ=(dc?Dt)/4，m。根據(jù)全導(dǎo)數(shù)定義和假設(shè)(1)，將du/dt展開為

將式(9)代入式(8)得

根據(jù)流體摩阻范寧方程，環(huán)空注入流體的摩擦剪切應(yīng)力為

式中，fo為環(huán)空流體摩阻系數(shù)，由環(huán)空流體流態(tài)決定。將式(11)代入式(10)得

式(12)即為以微分形式表示的井筒中環(huán)空不穩(wěn)定流動的動量方程。

需要注意的是，連續(xù)性方程(3)和動量方程(7)共同表示波動注入水力壓裂過程中在不會膨脹的井筒環(huán)空中的運動傳播過程。

附錄B波動壓力模型的推導(dǎo)

考慮到井筒中不穩(wěn)定流動是由于壓裂泵組不穩(wěn)定的輸出排量引起的，所以將式(12)改寫為排量的形式，即

式中，Qs為穩(wěn)定狀態(tài)時壓裂柱塞泵組輸出的排量，m3/min；Qu為波動狀態(tài)時壓裂柱塞泵組的脈動排量分量，m3/min。

根據(jù)偏微分定義，于是有

由于穩(wěn)定狀態(tài)時排量Qs不隨時間變化，所以

同樣地，將井筒中環(huán)空壓力p(z,t)看成穩(wěn)定壓力和脈動壓力分量之和，即

式中，ps為穩(wěn)定狀態(tài)時井筒中的環(huán)空壓力，MPa；pw為波動狀態(tài)時井筒中的環(huán)空壓力分量，MPa。

為便于分析，必須將摩阻系數(shù)fo看作一個常數(shù)fos，為此，必須將改寫為其中，m為常數(shù)，可根據(jù)環(huán)空管壁粗糙度取值1.75~2.0。

考慮到 Qs和 Qw的取值大小，下面分2種情況進(jìn)行討論。

情況1，與Qs相比，Qw小于0.5 m3/min(很小)。如果與 Qs相 比， Qw小于0.5 m3/min，那么二階以上各項可以略去，故式(17)可化為

將式(18)代入式(16)得

調(diào)整方程(19)為

由于波動排量 Qu僅是時間的函數(shù)，所以對式(20)沿井深z方向積分，整理得

式中，pw(0)為積分常數(shù)，表示為井口處的環(huán)空波動壓力，MPa。

當(dāng)井口處z=0時，認(rèn)為環(huán)空無波動壓力，則積分常數(shù)pw(0)=0，所以井筒中不穩(wěn)定流動的波動壓力為

式中，l為井深，m。

則波動注入水力壓裂過程中，井筒中不穩(wěn)定流動時的環(huán)空壓力為

式中，pin(0)為井口壓裂柱塞泵組輸入的泵壓，MPa。

情況2，與Qs相比，Qw大于0.5 m3/min(較小)。如果與 Qs相 比， Qw大于0.5 m3/min，為了更精確地描述脈動排量對環(huán)空波動壓力的影響，取展開式的前三項，其余三階以上各項可以略去，則式(17)可化為

將式(24)代入式(16)得

調(diào)整方程(25)為

由于波動排量 Qu僅是時間的函數(shù)，所以對式(26)沿井深z方向積分，整理得

當(dāng)井口處z=0時，認(rèn)為環(huán)空無波動壓力，則積分常數(shù)pw(0)=0，所以井筒中不穩(wěn)定流動的波動壓力為

式(22)和式(28)即為垂直井筒中不穩(wěn)定流動的波動壓力模型，該模型描述了壓裂柱塞泵組不穩(wěn)定的波動排量與環(huán)空波動壓力之間的關(guān)系。若給定波動排量Qu，則可以獲得環(huán)空波動壓力。

因此，波動注入水力壓裂過程中，井筒中不穩(wěn)定流動時的環(huán)空壓力為

式(23)和式(29)即為垂直井筒中不穩(wěn)定流動的環(huán)空壓力模型。

根據(jù)壓裂柱塞泵輸出系統(tǒng)的特性，假設(shè)環(huán)空內(nèi)流體產(chǎn)生一定頻率的流量脈動，且脈動流量以正弦波形式描述，則式(14)可寫為［1］

式中，Qw為波動狀態(tài)時壓裂柱塞泵輸出排量的振幅，m3/min；ω為壓裂柱塞泵曲軸的運轉(zhuǎn)頻率，Hz；φ為壓裂柱塞泵曲軸的運轉(zhuǎn)相位角，°；a′為壓裂柱塞泵泵數(shù)，臺；k為每臺壓裂柱塞泵的柱塞數(shù)；n為每臺壓裂柱塞泵曲軸的轉(zhuǎn)速，r/min。

壓裂柱塞泵組輸出不穩(wěn)定排量的波形如圖3所示，所分析的井底壓力振動來源于壓裂泵變排量壓裂過程。

根據(jù)給定的波動排量方程(30)，經(jīng)過推導(dǎo)，上述2種情況下的環(huán)空波動壓力和環(huán)空壓力計算模型如下。

(1)與Qs相比，Qw小于0.5 m3/min(很小)。井筒中不穩(wěn)定流動時的環(huán)空波動壓力為

圖3壓裂泵輸出排量波動示意圖Fig.3 Fluctuation of output flow rate for fracturing pump

波動注入水力壓裂過程中，井筒中不穩(wěn)定流動時的環(huán)空壓力為

(2)與Qs相比，Qw大于0.5 m3/min(較小)。井筒中不穩(wěn)定流動時的環(huán)空波動壓力為

波動注入水力壓裂過程中，井筒中不穩(wěn)定流動時的環(huán)空壓力為

式(32)~式(34)和式(35)~式(37)描述了波動注入水力壓裂條件下垂直井筒中不穩(wěn)定流動的壓力傳播與振動特性。