周士康，杜 金，陳春根

(上海三思電子工程有限公司，上海 201199)

引言

全反射(TIR)透鏡具有其他類(lèi)型透鏡無(wú)法達(dá)到的高效率。有兩個(gè)原因造成了TIR透鏡的高效率，其一是這種透鏡可以將LED發(fā)出的全部180°的光收集并射出去，其二是采用了反射率近100%的全反射面。

目前大多數(shù)LED為熒光粉轉(zhuǎn)換白光LED，而由于熒光粉和芯片的位置有偏移，藍(lán)光和黃光經(jīng)過(guò)透鏡出射后的方向也將有偏移，使得照明產(chǎn)生了色差。不過(guò)由于這一偏移的方向在反射時(shí)和透射時(shí)相反，因此當(dāng)透鏡中既有反射又有透射時(shí)上述偏離會(huì)在一定程度上抵消，這使得TIR透鏡會(huì)比其他類(lèi)型的透鏡的色差小些。

正是由于TIR透鏡以上獨(dú)特的光學(xué)性能，才使得TIR透鏡成為目前市場(chǎng)上使用量最大的LED透鏡。透鏡設(shè)計(jì)時(shí)，廠家往往是選擇一個(gè)已有的透鏡，用商用模擬軟件對(duì)透鏡的形狀加以修改。由于現(xiàn)有的計(jì)算方法[1-7]大多比較復(fù)雜，用戶需要一個(gè)方便的計(jì)算透鏡形狀的方法。本文用光通量線(LFR)方法[8]較好地解決了LED的TIR透鏡的計(jì)算問(wèn)題，沒(méi)有復(fù)雜的計(jì)算，而且可以用在許多場(chǎng)合。

1 透鏡表面形狀計(jì)算的光通量線方法

1.1 求單個(gè)小面的基本方法

可以由兩條LFR依據(jù)折射定律計(jì)算得到一個(gè)透鏡的小表面。用圖形表示如圖1所示，由入射線方向、折射線方向用折射定律求得折射小面法線的方向。其中偏折角是指光線的入射角和折射角之差，透鏡表面的作用就是“偏折”光線。也就是已知折射點(diǎn)以及入射和出射兩個(gè)角度，求得折射小面方向。而兩組LFR將計(jì)算得到N個(gè)首尾相接的小面(折線)，當(dāng)N很大時(shí)，折線就變成平滑曲線。

在本文的光通量線(LFR)方法[8]中，LFR既有各自的方向又有相同能量。這樣，照度分布就成了LFR的密度分布，LFR密集的地方能量就大，照度就高，只要求得LFR的分布，就可求得該照度分布下的透鏡形狀，可以比較容易地處理預(yù)先給定的照度分布問(wèn)題。本文也有給定表面求LFR方向的情況。此時(shí)就像常規(guī)情況那樣，是已知折射點(diǎn)、入射線和折射面，求折射線方向。

1.2 求整個(gè)單面的方法

求整個(gè)表面的形狀需要知道該面的所有入射線的位置和方向以及所有出射線的方向，但并不需要知道所有折射點(diǎn)的位置，只需要知道起始點(diǎn)的位置即可。因?yàn)橛?.1的方法求得第1個(gè)小面后，再求該面和第2條入射線的交點(diǎn)就是第2小面的起始點(diǎn)，這樣可以逐次求得全部小面，從而得到整個(gè)面，見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

可見(jiàn)LFR方法求一個(gè)表面的關(guān)鍵是得到該表面所有入射線和出射線的角度，構(gòu)成兩個(gè)序列。

例如，設(shè)光從位于坐標(biāo)原點(diǎn)的LED出發(fā)，12條入射LFR如左方的射線簇所示，已知右方的12條線的角度代表了出射線的方向，折射面的起始點(diǎn)在x=6，可以依次求得12個(gè)小面，如圖2所示，求得的表面一般是一個(gè)自由曲面。這一過(guò)程很容易寫(xiě)成子程序，應(yīng)用于所有面的計(jì)算。

正是因?yàn)長(zhǎng)FR賦予了能量的屬性，所以就可以由照度分布求得出射LFR的角度分布，這樣才能事先給定照度分布來(lái)計(jì)算表面形狀。此外，此方法的限定條件是被照明的尺度比透鏡尺度大得多的情況，這樣才能只關(guān)心出射光線的方向而不關(guān)心其落點(diǎn)。

圖2 由兩個(gè)方向序列求一個(gè)面

2 TIR準(zhǔn)直透鏡的計(jì)算

2.1 符號(hào)及分區(qū)

本文討論的問(wèn)題限定在具有5個(gè)光學(xué)面的TIR透鏡。我們把透鏡劃分為兩部分，A區(qū)有2透射面，B區(qū)有1個(gè)反射面和2個(gè)透射面，如圖3所示。本文中使用的符號(hào)定義如下：

Na：A區(qū)光線數(shù)；

Nb：B區(qū)光線數(shù)；

N：光線總數(shù)，N=Na+Nb；

Io(α)：物方光強(qiáng)分布函數(shù)；

IM(β)：像方光強(qiáng)分布函數(shù)；

EM(β)：像方照度分布函數(shù)；

α1：A區(qū)中面1入射線角度序列(Na維)；

β2：A區(qū)中面2出射線角度序列(Na維)；

α3：B區(qū)中面3入射線角度序列(Nb維)；

β5：B區(qū)中面5出射線角度序列(Nb維)；

γ12：面1面2間的光線角度序列(Na維)；

γ34：面3面4間的光線角度序列(Nb維)；

γ45：面4面5間的光線角度(Nb維)；

SO：物方總能量；

SM：像方總能量。

以上定義使用的一般規(guī)則為：α代表入射線角度，β代表出射線角度，γ代表透鏡內(nèi)部光線角度，注意αβγ等代表的是多個(gè)數(shù)組成的序列。I為光強(qiáng)，E為照度，S為能量，O為物方，M為像方。阿拉伯?dāng)?shù)字代表表面的序數(shù)，其中α和α3共同組成透鏡的入射線，β2和β5共同組成透鏡的出射線。這里我們沿用了幾何光學(xué)的物方(LED方)和像方(照明方)的概念。

第一個(gè)例子是一個(gè)如圖3所示的最簡(jiǎn)單的平表面TIR準(zhǔn)直透鏡[9，10]。面5和面1重合，且垂直于光軸，面4為全反射面，其余各面均為透射面。

圖3 平表面TIR透鏡

2.2 求物方LFR分布

為了求得表面形狀，我們需要求得該面的所有入射和出射LFR的角度。由于LED向某一方向發(fā)射的光通量正比于該方向的光強(qiáng)與立體角的乘積，因此可以即將光強(qiáng)分布曲線在整個(gè)發(fā)光角范圍內(nèi)積求得總光通量SO。再將SO等分成N份，讓每一份的能量和方向用一條LFR來(lái)代表，這N份就給出了N條LFR。這就得到了既有相同能量又有方向的物方LFR方向的分布。

物方光強(qiáng)分布是已知的。以O(shè)sram WSAM和Cree 7090這兩種LED為例，其光強(qiáng)分布可以是廠家給出的或測(cè)量得到的極坐標(biāo)下的曲線，如圖4所示，顯然應(yīng)該得到不同的LFR分布。

圖4 LED光源的光強(qiáng)分布函數(shù)

現(xiàn)有的非成像光學(xué)設(shè)計(jì)方法[1-7]都是把LED看成是朗伯體，其光強(qiáng)分布為相同的余弦分布。而在LFR方法中，余弦分布只是一個(gè)特例，可見(jiàn)本文的方法更為廣泛且精確。

本文用一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)表示LED的光強(qiáng)分布函數(shù)。這函數(shù)可以用常見(jiàn)的擬合方法來(lái)求，一般是一個(gè)分段函數(shù)，令其為I0(α)。

物方的總能量設(shè)為SO，它應(yīng)正比于光強(qiáng)分布函數(shù)對(duì)全部角度的積分：

(1)

其中αa和αb為物方邊緣光線的角度。把SO分為相等的N份，而每一份中有一條LFR，此LFR的方向αi是通過(guò)式(2)的N個(gè)方程來(lái)求得的。這樣的方程用Maple或Matlab等數(shù)學(xué)工具很容易求解。

(2)

這就得到了物方LFR角度數(shù)列α=αi(i=1，…，N)：

α=(α1,α2，…，αN)

(3)

2.3 求像方LFR分布

由于我們不知道像方的光強(qiáng)分布IM(β)，只知道用戶要求的照度分布EM(β)，因此像方的LFR計(jì)算和物方的略有不同。

對(duì)于平面被照明面，IM(β)與EM(β)有著確定的關(guān)系，可以由圖5推得其關(guān)系式。圖中O為L(zhǎng)ED的位置，設(shè)其法向沿直線OA，A為垂直被照明的位置。由照度的距離平方反比定律可知在被照明面上任一點(diǎn)B處的發(fā)光強(qiáng)度IM(β)應(yīng)該為IM(β)=EM(β)·(OB)2=EM(β)·((OA)2+(OB)2)=EM(β)·(OA)2(1+tan2(β))∝EM(β)·(1+tan2(β))，其中1+tan2(β)就是像面為平面時(shí)照度與光強(qiáng)的關(guān)系因子。

圖5 平面像面的照明示意圖

有了IM(β)，就可以與物方的方法類(lèi)似，以像方邊緣光線的角度βa和βb為積分區(qū)間，由式(4)得到式(5)，從而求得像方光通量線的角度數(shù)列如式(6)所示。

(4)

(5)

β=(β1,β2，…，βN)

(6)

于是就得到了式(3)的入射LFR角度分布α和出射LFR分布角度β，可以將兩者建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

2.4 光通量線分區(qū)

得到式(3)和式(6)后，把它們各分成兩部分。舉例說(shuō)明，令N=22，分為Na=12和Nb=10，α和β就各自分成了兩部分，分屬A和B兩個(gè)區(qū)，這兩部分比例將影響透鏡的形狀。

(7)

(8)

2.5 A區(qū)面1面2的計(jì)算

首先給定面1面2的起點(diǎn)，分別為光軸上的兩個(gè)點(diǎn)x=6和x=23，其位置決定了TIR透鏡的尺寸。在本文的特殊情況下，已知面2為垂直平面，出射為平行光，即β2=0, 因此有γ12=0。用2.2節(jié)的方法順序計(jì)算得到面1的Na個(gè)小面，見(jiàn)圖6。

圖6 A區(qū)表面的計(jì)算結(jié)果

在一般情況下，面1和面2的計(jì)算和一般雙面透鏡的計(jì)算是一樣的[2]。為了同步計(jì)算兩個(gè)面，引入表面的“偏折力”的概念[9]，其含義是表面偏折光線的能力。圖1給出了偏折角的含義。令面1和面2的偏折力的權(quán)重分別為C1和C2，則由文獻(xiàn)[11]中的方法可得透鏡內(nèi)部光通量線角度的數(shù)列為：

(9)

當(dāng)C1=C2時(shí)，

(10)

γ12=(γ121,γ122，…，γ12Na)

(11)

這就得到了三個(gè)LFR角度數(shù)列：物方的數(shù)列、像方數(shù)列以及透鏡內(nèi)部LFR的角度數(shù)列。注意這三個(gè)數(shù)列中所有α1i都從原點(diǎn)出發(fā)，γ121從點(diǎn)x=6出發(fā)，β21從點(diǎn)x=23出發(fā)，得到面1面2的第1個(gè)小面后再用1.2節(jié)的方法得到面1面2的全部小面。

2.6 B區(qū)面3的計(jì)算

B區(qū)有三個(gè)待定面(面3面4面5)，只需要使其滿足α3和β5這兩個(gè)角度序列，因此可以在一定程度上選擇面3的形狀，常常用一條與水平軸線成一個(gè)小夾角的直線，這樣有利于零件注塑時(shí)拔模，此時(shí)γ34可以方便地用常規(guī)折射定律得到，見(jiàn)圖7。

圖7 面3為一斜線

2.7 B區(qū)反射面4和出射面5的計(jì)算

為了透鏡邊緣有一定厚度，可以選擇面4的起點(diǎn)離面3的終點(diǎn)有一定距離?，F(xiàn)在由于γ34已知，還需要知道γ45。在本例的簡(jiǎn)單情況下，輸出平行光，即β5=0,γ45=0，這就可以用2.2節(jié)的方法依次求得面4的位置，結(jié)果是一個(gè)自由曲面，見(jiàn)圖8。

圖8 面4為自由曲面

用γ45=0和β5=0，雖然面5已知，仍然按照1.2節(jié)的方法求得面5為一個(gè)平面，見(jiàn)圖9。最后結(jié)果見(jiàn)圖10。

圖9 面5為一垂線

圖10 平表面準(zhǔn)直透鏡最后計(jì)算結(jié)果

在本文的簡(jiǎn)單情況下，面2面3和面5都是給定的直線，但為了編寫(xiě)程序簡(jiǎn)單化，在實(shí)際情況下它們?nèi)匀皇怯糜蒐FR的角度計(jì)算出來(lái)的，結(jié)果和給定的面完全一致。

在一般情況下，β5≠0,γ45≠0，還可令面5的起點(diǎn)離面2的終點(diǎn)有一定距離，并由式(9)的β5和γ45求得面5。

3 其他類(lèi)型透鏡

3.1 非準(zhǔn)直透鏡

本方法處理非準(zhǔn)直透鏡十分簡(jiǎn)單，這就是一般給定照度分布的透鏡計(jì)算。這時(shí)β2，β5，γ12和γ45均不為0。用2.2節(jié)的方法可以求得像方LFR的分布β2和β5，然后用由常規(guī)折射定律計(jì)算得到γ12和γ45，再用同一程序計(jì)算，得到面2面5為平面。

此時(shí)，面2和面5的出射角度范圍可以重合，也可以各自不同。這給設(shè)計(jì)帶來(lái)了靈活性，也就是說(shuō)，照明的要求可以由β2和β5的序列的分布協(xié)同來(lái)達(dá)到，這要結(jié)合A和B兩區(qū)的分區(qū)情況及照度要求靈活掌握。

圖11為平表面非準(zhǔn)直透鏡的一個(gè)例子。光束角為40°，N=22,Na=12,Nb=10,β2和β5的分布范圍相重合。

圖11 平表面光束角40°

3.2 非平表面透鏡

為滿足光學(xué)和結(jié)構(gòu)上的一些要求，例如希望有更大的出射光束角，TIR透鏡表面可以是非平面，這用本方法也易于解決。非平面表面的TIR透鏡，也可以處理給定照度分布的情況，再結(jié)合選擇不同的計(jì)算起點(diǎn)，可以得到多種類(lèi)型的TIR透鏡，下面只舉其中的兩個(gè)例子。

給定下列條件：β2≠0，β5≠0；β2和β5的范圍重合；面5為直線；面5的起點(diǎn)和面2的終點(diǎn)重合；出射光束角為60°；N=22,Na=12,Nb=10；C1=C2。用2.5節(jié)的方法可以同步求得面1面2，C1，C2的變化還可以方便地改變面1面2的形狀。圖12是C1=C2時(shí)的計(jì)算結(jié)果，相比面2為平面的情況，這時(shí)面1的曲率半徑較大，這將有利于加工，而且由于入射角相對(duì)于平表面的TIR透鏡的要小，其Fresnal反射也小，從而雜散光也會(huì)變小[11]。

圖12 凸表面TIR 透鏡60°光束角

如果給定面5的起點(diǎn)和面2的終點(diǎn)不重合，則會(huì)得到圖13的結(jié)果。這種透鏡的優(yōu)點(diǎn)是重量減少而且注塑后形變小，這在需要比較大的透鏡時(shí)常常被使用。這里，為了控制透鏡形狀不致太大，還給定了γ34的范圍，并使得面3為一個(gè)自由曲面。

圖13 一種下陷表面的TIR透鏡

3.3 全景TIR透鏡

如果計(jì)算時(shí)把類(lèi)似圖12的透鏡對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)90°，就可以得到360°的TIR透鏡。圖14是一個(gè)機(jī)場(chǎng)用的障礙燈的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算方法和上面的其實(shí)是一樣的。這里透鏡注塑時(shí)拔模的方向不同了，所有面都不是直線而是自由曲面，從而得到了十分緊湊的透鏡形狀。出射光強(qiáng)分布見(jiàn)圖15，達(dá)到了全景照明的要求。

圖14 機(jī)場(chǎng)障礙燈用的全景透鏡

圖15 全景透鏡的光強(qiáng)分布

以上都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)透鏡，這種2維的計(jì)算實(shí)際上還可以通過(guò)選擇不同的照度分布，選擇各面是否為直線，選擇各面的起始點(diǎn)的位置等來(lái)得到多種形狀的透鏡，在此不一一列舉。

3.4 非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)透鏡

本方法也可以處理非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的透鏡。此時(shí)，要給定各個(gè)橫截面上不同的照度分布，用3維坐標(biāo)系計(jì)算。圖16給出一個(gè)18個(gè)截面N=20時(shí)計(jì)算結(jié)果的圖形，這是一個(gè)橢圓形照度分布的TIR透鏡，但由于非子午光線的影響，情況會(huì)復(fù)雜得多，這里不再詳細(xì)描述。

圖16 橢圓照明光斑時(shí)的非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)TIR透鏡

4 結(jié)論

通過(guò)給定各面入射線和出射線角度序列和起始點(diǎn)的位置可以求得透鏡的表面，其形狀和大小都易于控制。計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，不需要如求解偏微分方程等復(fù)雜的方法。而且每一步驟的物理意義和和幾何表示都很明確。在計(jì)算透射區(qū)時(shí)，通過(guò)設(shè)置兩個(gè)表面的偏折能力權(quán)重，可以同步計(jì)算和控制兩個(gè)表面的形狀。本方法適用范圍很廣，可以計(jì)算平面表面、自由曲面表面、非準(zhǔn)直透鏡、事先給定的照度分布和非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)透鏡等類(lèi)型的透鏡。