張 峰 張 琛 李湘眷

(西安石油大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陜西 西安 710065)

0 引 言

乳腺疾病是女性最常見的疾病，其中乳腺癌已經(jīng)成為最為常見的惡性腫瘤[1]。已有的標(biāo)準(zhǔn)乳腺檢查方法有觸診、乳腺X射線檢查以及超聲等。但是，這些技術(shù)都不能保證足夠的準(zhǔn)確率。據(jù)估計(jì)，活檢病理中僅有約15%～30%的病灶最終被確診為惡性[2]。在歐洲，文獻(xiàn)報(bào)告良性病灶被活檢的比率達(dá)到了80%[3]。這些數(shù)據(jù)均表明，已有的常規(guī)檢查方法仍不能提供足夠的特異率。

作為一種非侵入型功能成像模式，電阻抗掃描成像對于組織的電阻抗改變非常敏感，可以檢測直徑小到3 mm的病變[4]。人的組織電阻抗改變往往先于病理改變，因此它可以更早地發(fā)現(xiàn)乳腺癌，這是X射線和超聲都不具備的一個(gè)非常重要的特點(diǎn)，在此領(lǐng)域已經(jīng)進(jìn)行了很多的臨床研究[5-7]。臨床數(shù)據(jù)表明，乳腺癌灶組織的電導(dǎo)值均大于正常組織。電阻抗掃描圖像中的亮斑均被解釋為疑似癌灶。為了提高特異率，獲取病灶更多的信息相比于以往的簡單亮斑解釋[8]顯得更為必要。

Seo等[8]將乳房建模為一個(gè)無限場的混合邊值問題，并給出了一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。為了通過電阻抗數(shù)據(jù)提取病灶參數(shù)，該方法在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中引入了部分近似公式和假設(shè)。尤其是無限場的假設(shè)與實(shí)際成像模態(tài)存在較大差異，直接影響了其病灶參數(shù)提取算法的精度。

Assenheimer等[9]使用一個(gè)簡單的偶極子模型對TS2000乳腺檢測儀圖像中的亮斑進(jìn)行物理解釋。在此工作基礎(chǔ)上，Scholz等[10]將偶極子模型擴(kuò)展成多極信號源來提取病灶的信息。該方法可以定位病灶位置，但誤差相對較大。這可能跟該方法必須使用多頻數(shù)據(jù)有關(guān)，因?yàn)楦哳l數(shù)據(jù)噪聲較大。

根據(jù)已有的乳腺模型[8-10]，電場線穿過一個(gè)含有局部病灶的乳房區(qū)域相當(dāng)于一個(gè)靜電散射問題。在本文中，我們嘗試應(yīng)用靜電散射模型替代Seo的模型，來提取乳腺癌病灶的參數(shù)信息。

1 方法設(shè)計(jì)

1.1 EISI的數(shù)學(xué)模型

在EISI檢查過程中，一個(gè)恒定幅值的正弦信號由病人手握的不銹鋼電極棒引入人體。掃描探頭由平面陣列電極構(gòu)成，探頭上的每個(gè)電極為虛地狀態(tài)。掃描探頭按壓于乳房表面，保證電極與乳房表面皮膚可靠接觸。不銹鋼電極棒和陣列上的每個(gè)電極之間的電位差就在乳房內(nèi)部誘發(fā)出一個(gè)靜態(tài)電場。如果乳房中有病灶，就可以看作一個(gè)僅存在局部電參數(shù)異常的均勻?qū)щ婓w問題。臨床研究表明，病灶與周圍組織在電導(dǎo)率上存在顯著差異[6-7]。

如果乳房中沒有局部病灶，只要外部場源較遠(yuǎn)，乳房中的電場可看作一個(gè)均勻電場[8]。如果存在病灶，由于病灶的電參數(shù)與周圍組織存在差異，會引起電場擾動(dòng)。因此，我們假設(shè)乳房模型為一個(gè)均勻?qū)щ婓w中存在一個(gè)不同電導(dǎo)率參數(shù)的物體?？紤]到多數(shù)病灶的實(shí)際形狀，也為了理論分析的簡潔可行[8],我們假設(shè)病灶為一球形物體，因此這一模型就類似于經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)問題中的靜電散射模型[11]。

1.2 平板電極數(shù)據(jù)與局部病灶之間的關(guān)系

將一個(gè)半徑為a、電導(dǎo)率為σ1的球體放置于一個(gè)如圖1所示的初始均勻的電場中，初始電場的電場強(qiáng)度為E0，P為電場中任一場點(diǎn)。球體內(nèi)、外均無自由電荷。因此，這個(gè)電場分布問題就可以看作一個(gè)拉普拉斯邊值問題。

圖1 靜電散射原理圖

由軸向?qū)ΨQ，可以得到如下形式的解：

在球體內(nèi)部：

(1)

在球體外部：

(2)

四個(gè)常數(shù)A1、B1、A2和B2的具體值，必須借助如下的邊值條件進(jìn)行限定。

(1) 選擇球體的中心作為原點(diǎn)，u1在原點(diǎn)處的電位值必須為一個(gè)有限值。由于原點(diǎn)處r=0，因此可知B1=0。進(jìn)一步，可得：

u1=A1rcosθ

(3)

(2) 在球體外部， 當(dāng)r→∞，球體的影響可以忽略，u2只跟外加電場有關(guān)：

du2=-E0dz

(4)

進(jìn)一步可得:

u2=-E0z=-E0rcosθ

(5)

將式(5)代入式(2)，可知A2=-E0，球體外電位為：

(6)

(3) 由球體邊界處電流密度連續(xù)條件，可得r=R處邊界條件：

(7)

對式(3)和式(6)進(jìn)行微分，并代入式(7)，可得:

(8)

(4) 在r=R處，電場切向分量在內(nèi)外側(cè)相等，因此可得u1=u2。將此條件代入式(3)和式(6)，可得:

B2=(A1+E0)R3

(9)

由式(8)和式(9)可得A1和B1分別為:

(10)

(11)

將式(11)代入式(6)，可得球體外部電位為：

(12)

利用矢量變換矩陣，可將Er由球形坐標(biāo)系統(tǒng)變換成笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)。電場E的z軸分量為：

(13)

上述計(jì)算過程中，本文采用的模型為無限體積場，當(dāng)應(yīng)用于EISI研究中時(shí)，此模型需要進(jìn)行少量修改。當(dāng)探頭放置于乳房表面時(shí)，電場線會被截?cái)?。此時(shí)，模型類似于一個(gè)半無限體積導(dǎo)體。根據(jù)電場疊加理論，電場E的z軸分量應(yīng)該為：

(14)

1.3 局部病灶的核心信息提取

(15)

球體的大小可以通過式(16)獲得：

(16)

2 數(shù)值仿真

本節(jié)通過數(shù)值仿真來驗(yàn)證模型和信息提取公式。因?yàn)槟Ｐ褪前霟o限的，其他常用的數(shù)值仿真方法如有限元方法或有限差分方法均不適用。然而，邊界元方法卻非常適用于半無限模型。因此，采用邊界元方法來進(jìn)行數(shù)值仿真研究。

2.1 邊界元方法

一個(gè)導(dǎo)體球放置于一個(gè)初始均勻的電場，由于電極化它會引起電場散射。對于無限場中非球面的任一場點(diǎn)，可得[12]：

r?S1

(17)

對于球面上任一場點(diǎn)，相應(yīng)的積分方程為：

r∈S1

(18)

式中：σ1是導(dǎo)體球的電導(dǎo)率；σ2是球外空間的電導(dǎo)率；r和r′分別是場空間、源空間極坐標(biāo)矢量；u(r)和u(r′)分別是場空間、源空間中任意位置的電位；dS′是面元矢量；S′是導(dǎo)體球的表面；φ∞是電場中不存在電導(dǎo)球情況時(shí)的電位。對式(17)和式(18)進(jìn)行離散化處理，可以計(jì)算出球體內(nèi)、外的電位。為了簡潔起見，本節(jié)中省略了離散化、單元積分和矩陣方程過程。當(dāng)獲得探頭所處位置的電位后，可以計(jì)算探頭所在平面沿z軸向下δ×z處的電位。在仿真中，δ設(shè)為0.01。使用式(4)可以得到探頭平面處的電場z軸分量Ez(x,y,z)，由此可近似得到探頭測量到的電流分布I(x,y,z)=σ2×Ez(x,y,z)×Am。數(shù)值仿真中，探頭采用T-SCAN探頭規(guī)格，大小為3.5 cm×3.5 cm[13]，探頭平面均勻分割成17×17的方形電極陣列。

2.2 數(shù)值仿真結(jié)果

在數(shù)值仿真中，對具有不同半徑、處于不同深度的病灶分別進(jìn)行了仿真并獲得了探頭電流圖像。具體參數(shù)如下：σ1=5，σ2=1，E0=100。圖2為球形病灶處于不同深度時(shí)，所獲得的四幅不同的電流差值圖像。

(a) 病灶深度為1.0 cm (b) 病灶深度為1.4 cm

(c) 病灶深度為1.8 cm (d) 病灶深度為2.1 cm

表1列出了中等大小的病灶處于不同深度情況下的仿真結(jié)果。Z_re是歸一化定位誤差，其定義為(Z*-z)/R*。如果定位在病灶范圍內(nèi)，則Z_re值位于-1和+1之間。如果Z_re處于這個(gè)范圍之外，表明病灶定位完全錯(cuò)誤。R_re定義為((R*-r)/R*)×100%。R*為仿真中所設(shè)置的病灶半徑，r為由式(16)所提取的病灶半徑。

表1 病灶半徑0.6 cm、位置(0,0,Z*)，算法提取的病灶深度和半徑

為了測試本方法提取病灶大小的有效性，對于深度1.5 cm下不同大小的病灶進(jìn)行了仿真，結(jié)果如表2所示。

表2 深度1.5 cm下不同大小病灶情況下估計(jì)的病灶深度和大小

在上述實(shí)驗(yàn)中，均沒有考慮EISI數(shù)據(jù)采集中的噪聲問題。根據(jù)已有的數(shù)據(jù)，T-SCAN在低頻段信噪比大約為70 dB，在高頻段信噪比大約為40 dB[7]。據(jù)此，在仿真數(shù)據(jù)中根據(jù)式(19)加入隨機(jī)噪聲:

max(|Iideal|)×NL×RN

(19)

表3 半徑為0.6 cm、位于(0,0,Z*)的病灶參數(shù)提取結(jié)果

續(xù)表3

為了驗(yàn)證方法的靈敏度，對一個(gè)半徑3 mm、處于不同深度的病灶進(jìn)行了參數(shù)提取仿真實(shí)驗(yàn)。為了更加接近真實(shí)的臨床數(shù)據(jù)，加入了0.5%的隨機(jī)噪聲。圖3為半徑0.3 cm的球形病灶在不同深度下的I(xi,yj)-I0(xi,yj)圖像，另加入0.5%隨機(jī)噪聲。表4為病灶的參數(shù)提取結(jié)果。

(a) 深度為0.5 cm (b) 深度為1.0 cm

(c) 深度為1.5 cm (d) 深度為2.0 cm

表4 半徑為0.3 cm、位于(0,0,Z*)的病灶在0.5%噪聲水平下的參數(shù)提取結(jié)果

2.3 結(jié)果分析

從表1的數(shù)值仿真結(jié)果可以看出，靜電散射模型和參數(shù)信息提取方法是有效的。對于一個(gè)中等大小的病灶，使用該方法可以提取深度在2.7 cm以內(nèi)的病灶信息。臨床研究表明，EIS的信號強(qiáng)度與病灶大小沒有明顯的相關(guān)關(guān)系，這說明病灶大小對于EIS病灶檢出率并沒有明顯的幫助，這與表2的仿真結(jié)果一致。盡管病灶半徑由0.3 cm增加到了1.2 cm，病灶定位誤差和大小估計(jì)卻都沒有變化。根據(jù)表3，當(dāng)噪聲水平為0.1%時(shí)，即信噪比為60 dB，EISI最大檢測深度為2.7 cm。當(dāng)噪聲水平更高時(shí)，最大探測深度由2.7 cm退化到2.3 cm。因?yàn)镋ISI設(shè)備在低頻段時(shí)信噪比更高，表明EISI可能在低頻段性能更好，這與文獻(xiàn)[9]的觀點(diǎn)一致。表4表明，本文方法可以檢測到半徑大小僅有3 mm的球形病灶，對這個(gè)尺寸的病灶其最大檢測深度為1.75 cm。這個(gè)結(jié)果與小白鼠的腫瘤探測結(jié)果一致。在該實(shí)驗(yàn)中，EISI可以探測到白鼠體內(nèi)3 mm以下的小腫瘤[4]。

3 結(jié) 語

本文提出了一種新的乳腺模型，數(shù)值仿真結(jié)果表明此模型可以用于EISI研究?；诖四Ｐ?，給出了相關(guān)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和邊界元仿真方法。與以往的數(shù)值仿真方法不同，邊界元方法無須迭代，計(jì)算速度更快。本模型也存在一些局限條件。當(dāng)病灶的形狀不是球形時(shí)，定位精度可能會有所退化，但這對定位精度的影響并不大[9]。另一方面，該算法應(yīng)用還必須具有一定的先驗(yàn)知識，即必須事先明確知道乳腺中是否含有病灶。因?yàn)閲?yán)格來講，乳腺組織是各向異性的，直接將參數(shù)提取算法應(yīng)用于健康乳房，也可能獲得所謂的病灶參數(shù)信息。將診斷方法作為第一步預(yù)查[14-15]，對那些經(jīng)診斷具有病灶的樣本再應(yīng)用本文提出的病灶參數(shù)提取算法，可以有效解決該問題。參考最近的一些工作[16]，未來計(jì)劃將靜電散射模型和BEM仿真用作EISI的前向問題仿真方法，在此基礎(chǔ)上獲得更多的病灶參數(shù)信息。例如，除了獲得病灶位置和大小信息外，如能進(jìn)一步獲得病灶組織和周圍組織的電導(dǎo)率參數(shù)信息，最終將獲得比較完整的病灶信息。