夏宇強，張 林，陳善秋

（北京航天時代激光導(dǎo)航技術(shù)有限責任公司， 北京 100094）

0 引言

目前，捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星（SINS/GPS）組合導(dǎo)航系統(tǒng)是機載領(lǐng)域最為常見的組合導(dǎo)航系統(tǒng)［1］。為保證慣組的導(dǎo)航精度能夠達到要求，需要對其定期進行返廠標定，成本高、周期長，也影響載機的使用效率，故而機載慣組在線標校技術(shù)的研究一直在不斷進行中。在線標校的精度很大程度上取決于濾波器對各狀態(tài)量的估計速度和估計精度，故而需要對系統(tǒng)的可觀測性進行分析。而系統(tǒng)的可觀測性又與載機的機動狀態(tài)密切相關(guān)，復(fù)雜的機動有利于提高系統(tǒng)的可觀測性。但對于像運輸機等體積較大、機動能力較差的機型，其很難進行復(fù)雜的機動動作，所以需要對其靜止、起降、勻速飛行、勻加減速飛行、轉(zhuǎn)彎等一系列常規(guī)機動動作進行分析，用以探究如何有效利用這些過程來提高機載SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的精度，達到滿足機載慣組在線標校的要求。

目前，國內(nèi)主要采用計算可觀測性矩陣的秩的方法來分析時不變（LTI）系統(tǒng)的可觀測性；而對于時變系統(tǒng)，直接進行可觀測性分析需要計算Grammian矩陣，計算復(fù)雜且無法進行理論分析。以色列學者Goshen-Meskin等［2］提出了一種分段線性定常系統(tǒng)（PWCS）可觀測性分析方法，但該方法只能定性判斷系統(tǒng)是否完全可觀測，無法準確判斷具體的某一狀態(tài)量是否可觀測，更無法定量分析具體的某一狀態(tài)量的可觀測度。東南大學的程向紅等［3］提出了奇異值分解（SVD）方法，通過對可觀測性矩陣的奇異值進行分解，實現(xiàn)了對系統(tǒng)狀態(tài)量可觀測性的定量判斷，在工程上得到了廣泛的應(yīng)用［4-6］。

本文采用基于分段線性定常系統(tǒng)的奇異值分解法，對組合導(dǎo)航系統(tǒng)動態(tài)過程中濾波器的收斂速度和收斂精度進行量化分析。通過對基于速度位置的SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的各種機動狀態(tài)下的可觀測性進行分析研究，得到了一些通過載體機動來提高各狀態(tài)量可觀測度的結(jié)論。最后通過Matlab仿真和轉(zhuǎn)臺實驗，證明了這些結(jié)論具有一定的實用價值，能夠為機載慣組在線標校技術(shù)的工程化應(yīng)用提供一定的依據(jù)。

1 機載SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)濾波模型

利用GPS提供的速度信息、位置信息與慣導(dǎo)解算的速度、位置作差，得到速度誤差和位置誤差作為觀測量來設(shè)計Kalman濾波器。SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的原理框圖如圖1所示［1，7］。

圖1 SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)原理框圖Fig.1 Principle block diagram of SINS/GPS integrated navigation system

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

對機載SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)，選取東北天（E-N-U）坐標系為導(dǎo)航坐標系，狀態(tài)量的選取如下

式（1）中，φE、φN、φU為平臺誤差角，δVE、δVN、δVU為速度誤差，δL、δλ、δh分別為緯度誤差、經(jīng)度誤差和高度誤差，εx、εy、εz為陀螺隨機漂移，為加速度計隨機偏置。

則系統(tǒng)狀態(tài)方程表達式為

式（2）中，X（t）∈R15為狀態(tài)變量，F(xiàn)（t）∈R15×15為系統(tǒng)誤差矩陣。根據(jù)誤差模型可知，W（t）∈R6為系統(tǒng)噪聲向量，G（t）∈R15×6為系統(tǒng)噪聲驅(qū)動矩陣。

F（t）、G（t）、W（t）的表達式分別為

式（3）中，F(xiàn)N為對應(yīng)于SINS的9個誤差參數(shù)（3個姿態(tài)誤差、3個速度誤差、3個位置誤差）的系統(tǒng)動態(tài)矩陣，它是9×9階的方陣。另外，F(xiàn)S和FM分別如下

1.2 系統(tǒng)量測方程

在SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)中，選擇位置、速度組合，則系統(tǒng)的量測值包括兩種［1］：一種為位置量測差值，另一種為速度量測差值，故有系統(tǒng)量測方程

式（7）中，Z（t）為系統(tǒng)的量測向量，H（t）為量測矩陣，V（t）為量測噪聲向量，其中

2 系統(tǒng)可觀測性分析

2.1 基于PXCS的可觀測性分析

根據(jù)式（2）和式（7）構(gòu)造SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)方程，描述如下

按照能觀測性的判定依據(jù)，需要計算Grammian矩陣

式（10）中，Φ（τ，t0）為該系統(tǒng)從τ到t0的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

若Grammian矩陣為非奇異，那么該系統(tǒng)從τ到t0時間段內(nèi)完全可觀測。但由于F（t）、H（t）均隨時間而變化，所以Grammian矩陣只能依賴數(shù)值計算方法，計算復(fù)雜且無法對結(jié)果進行理論分析［8］。

為解決上述問題，Goshen-Meskin等提出了一種分段線性定常系統(tǒng)（PXCS）方法，該分析方法假定F（t）、H（t）在每個時間區(qū)間tj（j＝1，2，3，…）內(nèi)不變，則原系統(tǒng)在每個時間區(qū)間內(nèi)可以等效為線性定常系統(tǒng)［9］，故式（9）可描述為

在每一個時間區(qū)間內(nèi)，對觀測矢量Zj（t）進行n-1次微分，有

式（12）可以改寫成矩陣的形式

定義Δj（j＝1，2，3，…，r-1）為tj到tj+1的時間間隔，故有

定理1：如果null（j）?null（Fj），1≤j≤r，那么，null{（r）}?null{s（r）}，rank{（r）}＝rank{s（r）}。

在滿足定理1的條件下，可以將PXCS中的TOM用SOM替換掉，進而可以極大簡化系統(tǒng)可觀測性分析過程。

2.2 基于SVD的可觀測度分析

這里簡要介紹一下SVD的意義：考慮任意一個矩陣M?Rm×n，且rank（M）＝r，則矩陣M一定可以分解為

對下面的離散線性系統(tǒng)進行可觀測度的分析說明。

式（18）中，X（k）∈Rn，F(xiàn)（k）∈Rn×n，Y（k）∈Rm，H∈Rm×m。

依據(jù)式（18），可以推得

式（22）中，Rk為式（18）的可觀測性矩陣，系統(tǒng)狀態(tài)量X（0）估計的好壞取決于Rk矩陣的特性。

對Rk進行奇異值分解

式（25）中，αj為任意數(shù)。

顯而易見，當r＝min（m，n）時，X（0）有唯一解；當r＜min（m，n）時，X（0）有無數(shù)解。此時，X（0）不能通過觀測量Y來進行準確估計，即式（18）是否完全可觀測取決于Σ中非零奇異值的個數(shù)。

當外部觀測值Y具有常值范數(shù)時，初始狀態(tài)X（0）形成一個橢球，其方程為

從式（26）和式（27）可以看出，橢球的體積與奇異值的大小成反比，即σi越大，該橢球的體積越小，的可行域就越小，對應(yīng)的X（0）的估計就越精確；反之，當σi很小甚至為零時，將變得很大，估計是無界的，也就是說X（0）不能由觀測量Y估計出來。因此，對可觀測性矩陣Rk進行奇異值分解可以用于定量分析系統(tǒng)可觀測度的大小，奇異值越大，系統(tǒng)狀態(tài)的估計精度越高，系統(tǒng)可觀測度越高。

3 系統(tǒng)不同機動條件下的可觀測性分析

針對飛機靜止、起降、勻速飛行、勻加減速飛行、轉(zhuǎn)彎等一系列機動過程，利用上述基于PWCS的SVD分解方法對SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)進行可觀測度分析，具體的分析過程如下：

1）靜止狀態(tài)：此時，系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)，可觀測矩陣可以直接獲取。

2）起降過程：假設(shè)飛機以190m/s 的速度準備起飛，分三段。第一段機頭勻速拉起到30°，準備爬升；第二段爬升結(jié)束，準備改平；第三段機頭改平，起飛結(jié)束（降落過程與起飛過程相反）。

3）勻速飛行：假設(shè)飛機以190m/s 的速度勻速飛行。

4）勻變速飛行：假設(shè)飛機在190m/s 的速度時以 2.5m/s2的加速度將飛機加速至250m/s（減速過程與加速過程相反）。

5）勻速轉(zhuǎn)彎：假設(shè)飛機以190m/s 的速度勻速左轉(zhuǎn)彎，分三段。第一段機翼左傾斜30°，準備轉(zhuǎn)彎；第二段飛機左轉(zhuǎn)90°，準備改平；第三段機翼右傾30°，轉(zhuǎn)彎結(jié)束（右轉(zhuǎn)彎與左轉(zhuǎn)彎過程相反）。

通過對上述機動過程的分析，得到系統(tǒng)各狀態(tài)分量對應(yīng)的奇異值分析結(jié)果，如表1所示。

表1 各狀態(tài)量對應(yīng)的奇異值分析結(jié)果Table 1 Singular value analysis results of corresponding state variables

由于系統(tǒng)采用的是速度、位置的組合，故速度和位置狀態(tài)量在各種機動狀態(tài)下均是可觀測狀態(tài)，再通過分析表1中系統(tǒng)可觀測矩陣的奇異值，可得如下結(jié)論：

1）系統(tǒng)在靜止狀態(tài)下，兩個水平加速度計的零偏和方位誤差角三個狀態(tài)不可觀測，且天向陀螺漂移的可觀測性較差；

2）飛機做勻速直線運動時，系統(tǒng)的可觀測度仍較差，兩個水平加速度計的零偏、方位誤差角和天向陀螺漂移的可觀測度仍然較低；

3）飛機做勻加速、勻減速直線運動時，對方位誤差角和天向陀螺漂移的可觀測度提高較為明顯，兩個水平加速度計的零偏可觀測度仍然較低；

4）在各種機動狀態(tài)下，東向、北向兩個陀螺零偏和天向的加速度計零偏都是可觀測狀態(tài)，從濾波開始即持續(xù)收斂，同時增加機動都能使其可觀測度得到提高，加快濾波收斂速度；

5）飛機的起降和轉(zhuǎn)彎對系統(tǒng)各狀態(tài)量的可觀測度都有較大提高，尤其是對兩個水平加速度計的零偏和方位誤差角的可觀測度，系統(tǒng)完全可觀測。

4 Matlab仿真分析及轉(zhuǎn)臺實驗

4.1 Matlab仿真分析

Kalman濾波器估計效果的好壞主要通過濾波器的均方誤差陣Pk來表征，Pk對角線上各元素的平方根就是各狀態(tài)估值的誤差均方差，從統(tǒng)計意義上其數(shù)值是判斷各狀態(tài)估值精度的直接依據(jù)。所以，可以通過分析各狀態(tài)估計誤差的均方差，根據(jù)其收斂的速度與精度進而判斷系統(tǒng)的可觀測性。下面通過系統(tǒng)仿真來獲取Pk，并通過Matlab仿真結(jié)果來直接判斷系統(tǒng)的可觀測性。

在進行系統(tǒng)的仿真分析時，仿真參數(shù)的設(shè)置如下：

陀螺的常值零偏為0.1（°）/h，隨機漂移為0.05（°）/h，同時選取加速度計常值零偏為100μg，隨機偏置為50μg；誤差狀態(tài)初值取為φE＝φN＝150″、φU＝300″、δVE＝δVN＝δVU＝0.1m/s、δL＝δλ＝20m、δh＝50m，濾波周期為1s；GPS速度測量誤差噪聲為0.01m/s，GPS位置測量誤差噪聲為5m。

由于系統(tǒng)采用的是速度、位置的組合，故速度和位置狀態(tài)量具有外部觀測信息，在各種機動狀態(tài)下均是可觀測狀態(tài)，故下面只分析除速度、位置狀態(tài)量外的其他九個狀態(tài)量的可觀測性。圖2～圖4為靜止狀態(tài)下平臺誤差角、加速度計零偏以及陀螺漂移的估計誤差標準差曲線，圖中的紅色實線、綠色虛線、藍色點劃線分別對應(yīng)東北天三個方向上的狀態(tài)量。

圖2 靜止狀態(tài)下的平臺誤差角估計誤差標準差曲線Fig.2 Error standard deviation curves of platform error angle estimation under static state

圖3 靜止狀態(tài)下的加速度計零偏估計誤差標準差曲線Fig.3 Error standard deviation curves of accelerometer zero-bias estimation under static state

圖4 靜止狀態(tài)下的陀螺漂移估計誤差標準差曲線Fig.4 Error standard deviation curves of gyroscope drift estimation under static state

分析圖2～圖4所示的系統(tǒng)估計誤差標準差曲線，可知系統(tǒng)在靜止狀態(tài)下的兩個水平加速度計零偏和方位誤差角三個狀態(tài)不可觀測。另外，天向陀螺漂移的可觀測性較差。

圖5～圖7為飛機機動狀態(tài)下系統(tǒng)各狀態(tài)量的估計誤差標準差曲線，具體機動情況如表2所示。

圖5 機動狀態(tài)下的平臺誤差角估計誤差標準差曲線Fig.5 Error standard deviation curves of platform error angle estimation under maneuvering state

圖6 機動狀態(tài)下的加速度計零偏估計誤差標準差曲線Fig.6 Error standard deviation curves of accelerometer zero-bias estimation under maneuvering state

圖7 機動狀態(tài)下的陀螺漂移估計誤差標準差曲線Fig.7 Error standard deviation curves of gyroscope drift estimation under maneuvering state

表2 飛機的機動狀態(tài)Table 2 Maneuverability of an aircraft

分析圖5～圖7所示的系統(tǒng)估計誤差標準差曲線，可以得到：

1）飛機的加速滑跑對東向加速度計零偏可觀測度的提高不是很明顯，對其他各狀態(tài)量的可觀測度都有較大提高；

2）飛機的起飛過程對系統(tǒng)各狀態(tài)量的可觀測度都有較大提高，尤其是對兩個水平加速度計零偏和方位誤差角的可觀測度；

3）飛機做勻速直線運動時，系統(tǒng)可觀測度的提高不是很明顯；

4）飛機轉(zhuǎn)彎時，能在起飛過程的基礎(chǔ)上再次大幅度提高方位誤差角和天向陀螺漂移的可觀測度；

5）在各種機動狀態(tài)下，東向、北向兩個陀螺零偏和天向加速度計零偏都是可觀測狀態(tài)，從濾波開始即持續(xù)收斂，同時增加機動都能使其可觀測度得到提高，加快濾波收斂速度。

4.2 轉(zhuǎn)臺實驗

將實驗慣組放置于三軸轉(zhuǎn)臺上，通過轉(zhuǎn)臺的靜止和旋轉(zhuǎn)來簡單模仿飛機的靜止、滾動和轉(zhuǎn)彎過程。利用導(dǎo)航軟件輸出的濾波器對陀螺和加速度計進行零偏估計，與4.1節(jié)的Matlab仿真結(jié)果進行對比，來進一步驗證本文關(guān)于采用基于分段線性定常系統(tǒng)的奇異值分解法對系統(tǒng)可觀測性分析方法的準確性和實用性。這里未使用實際的GPS信號，位置和速度信息直接是在導(dǎo)航軟件中輸入轉(zhuǎn)臺的固定位置，速度置零。

轉(zhuǎn)臺實驗分兩部分，具體過程如下：

（1）未人為添加誤差前

慣組在轉(zhuǎn)臺上的初始狀態(tài)為航向角、俯仰角、橫滾角均為0°，首先完成靜態(tài)初始對準，然后進行20min靜態(tài)導(dǎo)航，接著航向由0°轉(zhuǎn)到90°，同時橫滾角由0°轉(zhuǎn)到60°，航向角和橫滾角的轉(zhuǎn)動在1min內(nèi)同時進行，轉(zhuǎn)動完成后，再進行30min靜態(tài)導(dǎo)航，得到如圖8和圖9所示的未添加誤差前兩個水平加速度計和三個陀螺零偏估值曲線。

圖8 未添加誤差之前兩個水平加速度計的零偏估值曲線Fig.8 Zero-bias estimation curves of two horizontal accelerometers before adding errors

圖9 未添加誤差之前三個陀螺的零偏估值曲線Fig.9 Zero-bias estimation curves of three gyroscopes before adding errors

（2）對陀螺和加速度計分別人為添加0.02（°）/h和0.001m/s2零偏誤差

重復(fù)上述操作，得到如圖10和圖11所示的添加誤差后兩個水平加速度計和三個陀螺零偏估值曲線。

對添加誤差前后陀螺和加速度計的誤差估值作差，得到如圖12和圖13所示的濾波器對陀螺和加速度計零偏估計效果曲線。

圖10 添加誤差之后兩個水平加速度計的零偏估值曲線Fig.10 Zero-bias estimation curves of two horizontal accelerometers after adding errors

圖11 添加誤差之后三個陀螺的零偏估值曲線Fig.11 Zero-bias estimation curves of three gyroscopes after adding errors

圖12 Kalman 濾波器對兩個水平加速度計零偏估計的效果曲線Fig.12 Effect curves of Kalman filter on two horizontal accelerometers zero-bias estimation

圖13 Kalman 濾波器對三個陀螺零偏估計的效果曲線Fig.13 Effect curves of Kalman filter on three gyroscopes zero-bias estimation

通過分析圖8～圖13的轉(zhuǎn)臺實驗結(jié)果，可以得到如下結(jié)論：

1）通過觀察圖8可知，靜態(tài)下兩個水平加速度計是完全不可觀測的。經(jīng)過模擬轉(zhuǎn)彎過程后，兩個水平加速度計完全可觀測。且結(jié)合圖12可以看出，濾波器對兩個水平加速度計添加的0.001m/s2零偏誤差估計效果顯著，即其可觀測度得到顯著提高。

2）通過觀察圖9可知，靜態(tài)下東向和北向陀螺是可觀測的，而天向陀螺則不能被濾波器估計出，即其可觀測度較小或者不可觀測。而經(jīng)過模擬轉(zhuǎn)彎過程后，天向陀螺也能被估計出來。且結(jié)合圖13可以看出，濾波器對三個陀螺添加的0.02（°）/h零偏誤差估計效果顯著，尤其是天向陀螺的可觀測度得到顯著提高。

3）通過對比以上兩個結(jié)論和前文關(guān)于可觀測性的仿真分析和研究，可以確定本文采用的基于分段線性定常系統(tǒng)的奇異值分解法來研究系統(tǒng)的可觀測性得到的理論分析結(jié)果與仿真結(jié)果和轉(zhuǎn)臺實驗結(jié)論完全對應(yīng)。

5 結(jié)論

本文采用基于分段線性定常系統(tǒng)的奇異值分解法對系統(tǒng)的可觀測性進行分析，對飛機靜止、起降、勻速飛行、勻加減速飛行、轉(zhuǎn)彎等一系列常規(guī)機動條件下系統(tǒng)的可觀測性進行了研究，進而實現(xiàn)了濾波器收斂速度和收斂精度的量化分析。通過對靜止狀態(tài)和機動狀態(tài)下的仿真分析得出的結(jié)論與表1得到的結(jié)論對比發(fā)現(xiàn)，兩者的結(jié)論完全吻合，再結(jié)合轉(zhuǎn)臺實驗得出的結(jié)論，充分說明通過基于分段線性定常系統(tǒng)的奇異值分解法對系統(tǒng)的可觀測性進行分析是切實可行的，得出的結(jié)論能夠為機載慣組在線標校技術(shù)的工程應(yīng)用提供理論支持。