錢 龍，王 剛，許麗娜，趙云興

(1.大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.大連連大安全職業(yè)衛(wèi)生技術(shù)服務(wù)中心有限公司，遼寧 大連 116021)

目前我國在建或擬建的大型水利水電工程多為高壩大庫，安全問題非常突出。重力壩作為大壩建設(shè)的主要壩型之一，在考慮復(fù)雜地質(zhì)條件的情形下研究其壩基穩(wěn)定安全性仍具有重要的現(xiàn)實意義。另外，隨著大壩的設(shè)計理論和筑壩技術(shù)長足的發(fā)展，當前重力壩的破壞風(fēng)險研究將集中于存在諸多不確定性因素的壩基深層抗滑穩(wěn)定問題上[1]。結(jié)構(gòu)可靠度方法是目前國內(nèi)外分析重力壩穩(wěn)定性的一種常用方法，是結(jié)構(gòu)安全分析與風(fēng)險分析之間的“橋梁”，它通過計算重力壩的可靠指標β以判斷該工程是否滿足設(shè)計及長期使用功能[2]，并明確其失效風(fēng)險概率。水利工程中可靠指標β的計算方法主要有一次二階矩法、蒙特卡洛數(shù)值模擬方法等[3]，而對于隱式極限狀態(tài)問題，多采用響應(yīng)面法[4]，通過多次迭代運算從而擬合功能函數(shù)。若可靠度計算針對更為復(fù)雜的高度非線性隱式功能函數(shù)問題，上述方法可能存在計算無法收斂或者計算量大的缺陷。目前可以依據(jù)可靠指標β的幾何涵義[5]，將可靠度計算轉(zhuǎn)化為約束最優(yōu)化問題，并通過群體智能優(yōu)化方法來求解。差分進化(DE)算法是一種基于種群的進化方法，它嘗試通過重組、變異和優(yōu)勝劣汰進化出更好的結(jié)果[6]。本文嘗試將改進的DE算法應(yīng)用到重力壩多斜面抗滑穩(wěn)定可靠度計算中，對現(xiàn)有可靠度計算方法進行有益補充，為當前大壩風(fēng)險評估提供有實際意義的技術(shù)支持。

1 可靠指標 β優(yōu)化模型

1.1 可靠指標 β的幾何涵義

在標準正態(tài)坐標系中，極限狀態(tài)曲面為g(X1，X2，…，Xn)=0，P(X1，X2，…，Xn)=0是該曲面上的點。驗算點Xi是原點到極限狀態(tài)曲面距離最短的點，可靠指標β是原點到極限狀態(tài)曲線的最短距離。如若隨機變量相互獨立且均服從正態(tài)分布，可以得到可靠指標β的約束優(yōu)化模型

(1)

式中，μXi和σXi分別為Xi的平均值和標準差。

1.2 隨機變量Xi的處理

實際工程中，抗剪斷摩擦系數(shù)f′和粘聚力c′等巖土力學(xué)參數(shù)對重力壩抗滑穩(wěn)定影響比較大，在可靠度計算中，可根據(jù)壩址地質(zhì)條件，將這些力學(xué)參數(shù)視為具有一定分布類型和變異系數(shù)的隨機變量，進行失穩(wěn)概率的計算。若隨機變量非正態(tài)分布或者存在相關(guān)性，則需要對隨機變量進行處理，得到等效的正態(tài)分布且相互獨立的隨機變量。

對于非正態(tài)分布的隨機變量，可以采用當量正態(tài)化方法對隨機變量進行處理，即在驗算點P*處，令Xi和Xi′的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別相等，得到等效正態(tài)分布的均值μXi和標準差σXi帶入智能算法進行優(yōu)化計算[7]，即

(2)

式中，F(xiàn)Xi(Xi)和fXi(Xi)分別為Xi的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。

如若隨機變量之間存在相關(guān)性，可以利用變量{X}的協(xié)方差矩陣[CX]，在基本向量空間中求解β的優(yōu)化方法模型[8]。變更之后的β計算公式如下

(3)

式中，E({X})為變量{X}的平均值向量。

2 改進的DE算法

2.1 DE算法

基本DE算法的實現(xiàn)包括以下4個主要環(huán)節(jié)：

(1)種群初始化。此階段，需要確定種群的結(jié)構(gòu)，比如向量的維度D，每代種群的數(shù)量Np，以及初始參數(shù)的上下界等。

(2)變異。算法對種群進行變異和重組操作來產(chǎn)生一個由Np個試驗向量構(gòu)成的種群。本文變異方法是從種群中選擇3個相異個體，進行如下操作：

vi，g=xr1，g+F(xr2，g-xr3，g)

(4)

式中，vi，g為變異之后的個體；xr1，g、xr2，g、xr3，g為當前種群個體；r1、r2、r3為當前種群個體的索引，r1≠r2≠r3；i為個體編號；F∈(0， 2)為變異縮放因子。

(3)交叉操作。為保持種群多樣性，交叉操作時僅保留一部分變異操作。本文使用二次項交叉原則，每個變異操作時都生成一個0到1的隨機數(shù)，若隨機數(shù)小于交叉因子CR，則此變異操作被保留。

(5)

式中，i為個體編號；j為個體向量編號；g為進化代數(shù)；CR為交叉因子；ui，j，g為試驗個體；vi，j，g為變異操作后的向量；xi，j，g為變異操作前的向量。

(4)選擇操作。DE算法將試驗個體ui，g與當前個體xi，g進行競爭，本文為最小值優(yōu)化問題，故函數(shù)值較小的個體被保留。

(6)

式中，xi，g+1為下一代個體；f(·)為個體適應(yīng)值。被保留的個體參與下一代進化，直至函數(shù)迭代結(jié)束，得到目標函數(shù)最優(yōu)值。

2.2 DE算法的改進

本文求解的是約束優(yōu)化問題，約束處理包含于DE算法的第(4)步選擇操作中。選擇操作對種群個體采用的比較準則為可行解優(yōu)先準則，即：若兩個解決方案都滿足約束條件，則較小目標函數(shù)獲勝；兩個解決方案中有且僅有一個滿足約束條件，滿足約束條件的獲勝；兩個解決方案均不滿足約束條件，那么約束違反程度較小的獲勝。

這個比較準則的缺陷在于強調(diào)可行解優(yōu)于非可行解，在求解可靠度的過程中，如果初始值的上下界預(yù)估不合理導(dǎo)致第一代就陷入局部極值，那么之后的子代都會陷入局部極值，此外，在算法的進化后期也容易出現(xiàn)進化停滯現(xiàn)象。因此，改進的主要思路是引入種群約束允許放松程度的概念，通過構(gòu)造一種比較準則，使得進化過程可以充分利用種群中優(yōu)秀非可行解的信息，讓可行域邊界上擁有較優(yōu)目標的非可行函數(shù)解也能進入種群。隨后逐步減小種群約束放松程度，直至為0，使種群完全由可行解組成。該方法被稱為ε-DE算法，在約束優(yōu)化問題領(lǐng)域效果顯著[9]。

首先，定義種群個體違反約束程度之和

G(X)=max{0，|hj(x)|-δ}

(7)

式中，hj(x)為等式約束條件；j為等式約束條件的編號；δ為約束的放松程度，它是進化代數(shù)gen的函數(shù)，見式(8)。同樣形式的函數(shù)還有種群約束允許放松程度ε，它表示種群進化到gen代時個體X違反程度G(X)的界限，見式(9)。

(8)

(9)

式中，θ1，θ2分別為每進化一代，δ，ε縮小的比例，本文均取1.05。

算法根據(jù)ε(gen)來定義可接受解和不可接受解，當種群進化到第gen代時，如果0ε(gen)，則個體X為不可接受解。定義完成后，比較準則變更為：兩個都是可行解，目標函數(shù)小的獲勝；兩個都是非可行解，約束違反程度G(X)小的獲勝；一個是可行解一個是非可行解，分兩種情形，如果非可行解是可接受解，那么比較非可行解和可行解的目標函數(shù)，小的獲勝，如果非可行解是不可接受解，那么可行解獲勝。

3 工程實例

3.1 工程概況

某水電工程是以發(fā)電為主的大型水庫電站，工程規(guī)模為二等工程，永久主要建筑物為2級建筑物，按照國家規(guī)范正常工況情況下其穩(wěn)定性目標可靠指標取3.7。該工程采用混凝土重力壩，最大壩高119.00 m，壩頂高程2 564.00 m，正常蓄水位2 560.00 m，對應(yīng)的下游水位為2 471.61 m，淤沙高程2 497.70m，滲透揚壓力系數(shù)為0.25。以該壩的典型壩段6號壩段為例，其建基面高程為2 445.00 m，巖基內(nèi)存在較多的緩傾角軟弱結(jié)構(gòu)面，可能存在A、B、C3條滑移通道，巖基深層滑動面的斷層連通率按照100%進行計算。

3.2 滑移通道B的可靠度計算

根據(jù)文獻[10]，可使用重力分配法和等安全系數(shù)法構(gòu)建多斜面情況下的極限狀態(tài)方程，此時極限狀態(tài)方程為復(fù)雜的非線性方程組，安全系數(shù)K隱含在方程組之中，即可靠度計算的功能函數(shù)是典型的非線性隱式功能函數(shù)，且滑動面數(shù)目越多，非線性程度越高，常規(guī)一次二階矩法難以解決該問題。本文以滑移通道B為例，進行可靠度分析，基巖分為3個滑塊，按多斜面模型進行考慮，其中壩踵拉裂面為B1-B2，底滑面分別為B2-B3、B3-B4、B4-B5，3個底滑面的斷層傾角分別為-14.04°、-15.78°、-13.85°。斷面示意見圖1。

圖1 滑移通道B滑塊示意

隨機變量取滑移通道上的抗剪斷摩擦系數(shù)f′和粘聚力c′結(jié)合以往研究統(tǒng)計數(shù)據(jù)和實際地質(zhì)力學(xué)參數(shù)，各滑裂面f′與c′的特征值擬定見表1。

表1 基巖結(jié)構(gòu)面參數(shù)的統(tǒng)計特征

計算中抗剪斷摩擦系數(shù)f′服從正態(tài)分布，粘聚力c′服從對數(shù)正態(tài)分布。分別采用蒙特卡洛(MC)法和本文方法計算，并且分為不考慮相關(guān)性系數(shù)和考慮相關(guān)性系數(shù)為-0.3兩種情況，MC法抽樣次數(shù)為300萬次，本文方法中，種群個體數(shù)為20個，變異縮放因子F取0.8，交叉因子CR值取0.7，隨機變量的上下界分別取μXi±3σXi，其中μXi和σXi為fi與ci的平均值和標準差，得到結(jié)果見表2。

表2 2種方法計算成果比較

從表2可知，以MC方法計算結(jié)果作為參考，DE法計算結(jié)果與其計算結(jié)果吻合較好，可靠指標β相差僅為1.8%和2.1%，失效概率量級一致，精度能滿足工程需要；考慮參數(shù)負相關(guān)性之后，工程失效概率較不相關(guān)情況更小，實際上，根據(jù)文獻[11]，抗剪斷摩擦系數(shù)f′和粘聚力c′之間為負相關(guān)性，且相關(guān)性越弱，可靠指標β越小，對大壩的安全性越不利；計算過程DE算法相對于蒙特卡洛法效率較高，幾分鐘就能得出結(jié)果，參數(shù)不相關(guān)情況下的DE算法收斂過程見圖2。

圖2 算法收斂過程

從圖2可以看出，算法的初期收斂波動幅度較大，這是因為ε-∑DE算法在進化初期約束放松程度較大。算法的約束放松程度會隨著迭代次數(shù)的增加而收緊，這樣能進行更好的全局化尋優(yōu)，避免算法前期收斂速度過快輕易地陷入局部極值。在復(fù)雜極限狀態(tài)方程時的可靠度計算中，算法迭代數(shù)千代(本文算例用時3～4 min)以后，即可獲得比較精準的結(jié)果。

3.3 f′的均值和c′的均值變化對可靠指標的影響

多斜面情況下的可靠度敏感性分析目前研究較少，本文主要討論f′的均值和c′的均值變化對可靠指標的影響。f′服從正態(tài)分布，c′服從對數(shù)正態(tài)分布，且不考慮其相關(guān)性。討論某個參數(shù)的敏感性時，其他參數(shù)不變，且采用表1值(如f1變動時，f2、f3、c1、c2、c3取值均采用表1值)。根據(jù)當?shù)氐貐^(qū)基巖結(jié)構(gòu)面參數(shù)的統(tǒng)計特征，f1、f2、f3、c1、c2、c3均值取值見表3，使用DE算法求可靠指標β，結(jié)果見表4。

表3 f′均值和c′均值的取值

從表4知，可靠指標β隨著抗摩擦系數(shù)f′均值的增加而增加。其中，f3值的改變，對β的影響最大，f1均值的改變對β影響最?。浑S著粘聚力c′的增加，可靠指標β逐漸增加，其中c3值的改變對β的影響最大，而c1和c2的改變對β的影響較為相近。

4 結(jié) 論

本文使用改進的DE算法對某重力壩多滑面抗滑穩(wěn)定進行了研究，結(jié)論如下：

表4 f′均值和c′均值對可靠指標的影響

(1)本文方法能兼顧精度和效率求得工程的可靠度指標，對于功能函數(shù)是隱式非線性方程組的情況也能很好地處理，同時也能考慮隨機變量的分布類型和相關(guān)性，適用性比較強。

(2)通過工程實例可知，本文方法能有效應(yīng)用在計算及分析重力壩基巖復(fù)雜多滑面抗滑穩(wěn)定可靠度的場合，在實際工程中，多滑裂面是更為一般的情況，本文可為重力壩抗滑穩(wěn)定安全分析的進一步研究提供新的技術(shù)支持。