(湖北交通職業(yè)技術(shù)學院，湖北武漢 430079)

1 數(shù)學概念的意義

數(shù)學概念是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在思維中的反映，具有抽象性和具體性雙重特點。學習數(shù)學離不開數(shù)學概念，數(shù)學基本概念是形成學生數(shù)學能力的基礎(chǔ)，數(shù)學內(nèi)容的全部展開，都立于數(shù)學概念之上，概念理解正確與否，直接影響到數(shù)學公式、法則、定理的學習。數(shù)學概念是數(shù)學學習的核心，不僅要記住它的定義，認清它代表的符號，更重要的是要真正把握它的本質(zhì)、屬性[1]。高職學生數(shù)學教學在提高學生素質(zhì)與數(shù)學能力的同時，還應(yīng)提高學生的應(yīng)用能力，即用數(shù)學解決生活或?qū)I(yè)問題的能力，而數(shù)學概念的理解與應(yīng)用對提高學生的這一能力尤為重要，在解決數(shù)學問題時，學生出錯或產(chǎn)生困難的主要原因往往在于不理解概念，特別是對同一數(shù)學概念的不同表達形式，概念之間的相互關(guān)系等缺乏系統(tǒng)概括的理解，因此高職數(shù)學教學必須十分重視概念教學。

2 高職學生概念學習中的問題

數(shù)學概念是高職數(shù)學教學的重點和難點。由于高職學生的學習能力與對數(shù)學學習的認識欠缺，在數(shù)學概念學習中存在許多問題[2]：

(1)不重視數(shù)學概念，認為學好數(shù)學主要是學會用公式、定理等算題，做題時往往忽視概念。

(2)對數(shù)學概念倒背如流，但不懂其含義。如函數(shù)的概念，很多學生能很熟練地背出來，但若要例舉生活中的函數(shù)關(guān)系或建立實際問題中的函數(shù)關(guān)系，往往不知所措。

(3)對數(shù)學概念片面理解。如函數(shù)在某點處連續(xù)的概念，認為只要函數(shù)在某點處極限存在或有意義就一定連續(xù)，而事實上函數(shù)在某點處連續(xù)要同時具備三個條件(在某點處有意義、有極限、極限等于函數(shù)值)。

(4)不會應(yīng)用概念解釋實際問題。如導數(shù)(函數(shù)增量與自變量增量的比值當自變量增量無限趨于零時的極限)概念的使用。

(6)不明白概念所體現(xiàn)的數(shù)學思想和方法。如定積分概念所體現(xiàn)的逼近思想、以直代曲、以不變代變的方法和極限的方法等。

(7)受已有知識的理解或影響而對概念產(chǎn)生誤解。如曲線的切線的概念，很多學生受圓的切線的概念影響，認為曲線的切線就是與曲線只有一個交點的直線，事實上是曲線在切點處的割線的極限位置，是曲線的局部特征。

3 高職學生一元函數(shù)微積分概念教學的幾種策略

3.1 提高學生對數(shù)學概念的認識

3.1.1通過實例引入概念

3.1.2介紹數(shù)學概念與法則、公式、性質(zhì)等之間的關(guān)系

很多學生在學習數(shù)學時，認為概念的意義不大，只要是會用性質(zhì)、法則或定理等做數(shù)學題。如求函數(shù)的導數(shù)，一般會用到求導公式、法則等，尤其是高職學生，很少會用導數(shù)的概念求導數(shù)。所以高職學生對導數(shù)的概念只是停留在“函數(shù)增量與自變量增量的比值當自變量增量趨于零時的極限”這句話上面，很少會主動去理解導數(shù)概念的意義。而事實上導數(shù)的公式、法則等并不是脫離其概念而存在的，而是由其概念推廣、引申出來的或是深層次的表述，所有的公式或法則都可以通過定義證明或理解。再比如函數(shù)的極限、微分、積分公式與法則或性質(zhì)也都可以由其概念進行理解與證明。在數(shù)學教學中，我們不只是要教學生會做題，更主要的是應(yīng)該教學生會學、會用，而數(shù)學方法有很多，但是萬變不離“概念”。

3.2 引導學生理解概念，提高分析能力和應(yīng)用能力

3.2.1引導學生用數(shù)學語言描述抽象的文字性概念

學生數(shù)學語言能力直接影響數(shù)學學習，在數(shù)學的學習中，很多學生對數(shù)學符號、等式與文字之間的關(guān)系不能對應(yīng)起來，所以平時的教學中，尤其要注重數(shù)學符號與文字或描述性語言之間的對應(yīng)關(guān)系。如函數(shù)極限的描述性定義為：當自變量無限增大(或無限接近于某一固定點)時，函數(shù)的值無限接近于一個確定的常數(shù)，則該常數(shù)就是函數(shù)當自變量趨于無窮(或固定點)時的極限。我們可結(jié)合利用圖形，引導學生通過表1進行對比，解釋該概念的數(shù)學符號表示，同時強調(diào)A、δ、N、ε的意義。然后通過實例進行講解，讓學生理解描述性語言與數(shù)學語言之間的對應(yīng)，促進學生對概念的理解，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力。

表1 概論的數(shù)學符號表示

3.2.2引導學生剖析概念所涉及的數(shù)學方法與思想

掌握數(shù)學概念，最主要的是會用數(shù)學概念解決實際問題，以及用到了什么方法或數(shù)學思想。比如定積分的概念，我們一般是通過曲邊梯形的面積和已知變速直線運動的速度求路程兩個問題而引入的，在教學中我們可引導學生首先分析曲邊梯形的面積和已知變速直線運動的速度求路程這兩個問題的共同特點是“不規(guī)則性(非穩(wěn)恒性)”與“可加性”，然后啟發(fā)學生解決這一類問題常用的數(shù)學方法是先切割，再“化不規(guī)則為規(guī)則” 或“化變?yōu)椴蛔儭?即利用近似的方法)，最后求和、利用無限逼近的思想(即極限思想)。這樣不僅能培養(yǎng)學生分析問題的能力還能讓學生形成良好的分析問題的習慣，結(jié)合實際問題的特點歸納并梳理自己平時所學的數(shù)學內(nèi)容與方法，從而理解概念所涉及的數(shù)學方法與思想，提高學生的分析能力與應(yīng)用能力，這還有助于學生進一步理解與之相關(guān)的概念或數(shù)學方法。

3.2.3引導學生將具體問題轉(zhuǎn)化成概念中的具體因素

在數(shù)學概念的教學中，許多學生理解概念，也理解概念解決的問題領(lǐng)域，但是如何用概念或數(shù)學表達式表示問題、解決問題通常無從下手。主要原因是找不出問題中的變量以及變量間的關(guān)系。如導數(shù)的概念，許多同學知道與變化率相關(guān)的問題可用導數(shù)的概念，當對于高職學生來說，如何判斷一個問題是否為變化率的問題，問題中誰是函數(shù)，誰是自變量等都有一定的難度。那么在教學中，我們就要引導學生分析要求的量與哪些因素有關(guān)，在物理學或其他領(lǐng)域是如何定義的，如已知路程求變速直線運動的瞬時速度，我們知道速度是路程對時間的變化率，即要求的量“速度”與兩個因素有關(guān)，“時間”和“路程”，而路程與時間的關(guān)系是已知的，即該問題中路程是已知函數(shù)，時間為自變量，所以直線運動的瞬時速度就是路程(函數(shù))對時間(自變量)的導數(shù)(可參考通過實例引入概念，提高學生對數(shù)學概念的認識)，再比如交流電路中已知電量與時間的關(guān)系求電流(單位時間內(nèi)通過的電量)，即電量對時間的變化率，所以電量對時間的導數(shù)就為電流。

3.3 理清概念間的關(guān)系，提高學生的思維能力

3.3.1掌握極限是微積分的基礎(chǔ)

我們知道，極限的概念因抽象而不好理解，所以在教學中，我們一方面可以結(jié)合圖像、對比表一、通過應(yīng)用加強高職學生對極限概念的理解，另一方面微積分的大部分概念都是通過極限定義的，如無窮小量、連續(xù)、導數(shù)、定積分、反常積分等，所以我們可以通過這些概念的講解進一步幫助學生鞏固對極限概念的理解。

3.3.2區(qū)分概念間的相互關(guān)系

在一元函數(shù)微積分的教學中，有的概念與某量有關(guān)系，如一元函數(shù)的連續(xù)、可導、可微的概念中都用到了函數(shù)的增量，即當自變量增量趨于零時，若函數(shù)在某點處的增量的極限為零，則函數(shù)在該點處連續(xù)；若函數(shù)增量與自變量增量比值的極限存在，則函數(shù)在該點處可導；若函數(shù)增量可表示成自變量增量的一個線性函數(shù)與一個自變量的較高階無窮小(當自變量增量趨于零時)的和，則函數(shù)在該點處可微。由這三個概念，我們可得出函數(shù)在某點可導必可微，可微必可導，可導必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導；而且導數(shù)是增量比值的極限，而微分是自變量增量的線性函數(shù)(主要部分)。有的概念是“個別”與“全體”的關(guān)系[4]，比如原函數(shù)與不定積分，原函數(shù)指的是一個函數(shù)，而不定積分指的是原函數(shù)族(即所有原函數(shù))。還有的概念從計算方面有聯(lián)系，比如不定積分與定積分，定積分是一個和式的極限，定積分用牛頓萊布尼茲公式計算時與被積函數(shù)的原函數(shù)有關(guān)，而原函數(shù)可以通過不定積分求出來。有的概念看似是另一概念的推廣，而且解決的問題也類似，但定義不同，比如定積分與反常積分，實際上反常積分是一個函數(shù)(變上限或變下限函數(shù))的極限。

4 結(jié) 語

總之，在高職數(shù)學教學中，要根據(jù)學生概念學習情況，有針對性地選擇教學策略，注重引導，加強應(yīng)用，讓學生理解概念、用好概念，為學生后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程的學習奠定堅實的基礎(chǔ)。