江蘇省無錫市第一中學(xué)(214031) 馮一成

一、函數(shù)和方程思想概述

(一)函數(shù)思想概述

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí),函數(shù)思想更是高中數(shù)學(xué)的重要解題思想方法.所謂函數(shù)思想,就是通過變量和變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,利用函數(shù)觀點(diǎn),建立函數(shù)關(guān)系式構(gòu)造函數(shù),再從函數(shù)概念和性質(zhì)的角度去轉(zhuǎn)化和解決問題.利用函數(shù)思想往往能夠把握住數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征,進(jìn)而從變量的運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系和發(fā)展角度打開思路.函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中應(yīng)用廣泛,除純粹的函數(shù)問題外,方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等問題均可從函數(shù)的角度加以研究,得到更為一般且揭示本質(zhì)的解答.

(二)方程思想概述

方程是一種代數(shù)形式,往往用來刻畫事物的等量關(guān)系.所謂方程思想就是從問題的條件出發(fā),利用字母,數(shù)學(xué)符號(hào)等數(shù)學(xué)語言將問題轉(zhuǎn)化為方程問題,進(jìn)而通過求解方程將問題解決的一種思想.這里的方程是一種泛指,若遇到不等關(guān)系,很多情況下我們也可將問題轉(zhuǎn)化為不等式,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解不等式的基本問題.方程思想具有將問題模型化和簡單化的特點(diǎn),問題一旦轉(zhuǎn)化為方程(不等式)以后往往可化為解方程(不等式),方程(不等式)恒成立,方程(不等式)有解三大類問題.從而通過基本模型解決問題.

高中數(shù)學(xué)中函數(shù)思想和方程思想兩者在解題過程中相互依存、相互聯(lián)系.若能培養(yǎng)良好的函數(shù)和方程思想,善于發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)聯(lián),合理轉(zhuǎn)化,解題效率將大幅度的提高.

二、函數(shù)和方程思想的培養(yǎng)策略

(一)理清概念,強(qiáng)調(diào)本質(zhì)

高中數(shù)學(xué)中函數(shù)和方程思想的核心應(yīng)該是圍繞在如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值、零點(diǎn)、方程等概念和性質(zhì)上,它們彼此融合,相互依存.我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生函數(shù)和方程思想的過程中首先要幫助學(xué)生理清概念,強(qiáng)調(diào)研究問題的本質(zhì).

例1已知函數(shù)其中a為常數(shù),若當(dāng)x ∈(?∞,1]時(shí),f(x)有意義,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

此題表面上看是研究對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域問題,但是此為形式,要究其本質(zhì),必須將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x ∈(?∞,1] 恒成立,此時(shí)學(xué)生的困難點(diǎn)在于問題形式復(fù)雜,兩個(gè)字母對(duì)于不等式各有影響,故還應(yīng)做進(jìn)一步分析以求簡化問題.不難判斷變量為x,常量為a,而且分母故問題可簡化為1+2x+a·4x>0 對(duì)任意x ∈(?∞,1]恒成立.此時(shí)已將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含參不等式恒成立問題,方程思想中的簡單化和模型化作用得以體現(xiàn).此后可以分參或者換元討論求最值求解問題,從中我們發(fā)現(xiàn)問題最后的落腳點(diǎn)為函數(shù)問題中的最值求解.

理清概念,強(qiáng)調(diào)本質(zhì)的培養(yǎng)策略是要告訴學(xué)生,任何問題的解決,都是必須從根本問題出發(fā),弄清問題的本源,理清思想方法在解決問題過程中的作用,才能更深刻的認(rèn)識(shí)問題,從而解決問題.所以加強(qiáng)函數(shù)與方程基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用,提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力是函數(shù)和方程思想得以發(fā)揮作用的前提和基礎(chǔ).

(二)循序漸進(jìn),螺旋上升

任何思想方法的形成都是需要一個(gè)漸進(jìn)的過程,不是一蹴而就的.對(duì)于學(xué)生函數(shù)和方程思想的培養(yǎng)同樣要秉承循序漸進(jìn),螺旋上升的原則.

例2(1)f(x)= (x ?1)2,若f(m)> f(2?2m),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____.

(2)已知定義在R 上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,且在[1,+∞)上單調(diào)遞增,若點(diǎn)(m,y1),(2?2m,y2)都是函數(shù)f(x)圖像上的點(diǎn),且y1> y2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍____.

例2 中的第一問,較為簡單,只要直接把m和2?2m直接代入,得到不等式(m ?1)2>(2?2m ?1)2求解即可.但是第二小問很多同學(xué)在求解問題的過程中遇到了困難,究其原因就是缺乏函數(shù)和方程的思想導(dǎo)致的.若教師在講解第一小問時(shí)只是按照代入法講解自然無法取到鍛煉學(xué)生思維能力的目的.所以我們應(yīng)該在簡單問題的講解過程中就要注重思想方法的滲透,做到循序漸進(jìn),螺旋上升.我們可以嘗試如下分析,二次函數(shù)最為突出的就是它的對(duì)稱和單調(diào)性,通過對(duì)于表達(dá)式的分析,可得到其關(guān)于直線x= 1 對(duì)稱和左側(cè)減右側(cè)增的性質(zhì).結(jié)合性質(zhì)以及條件f(m)> f(2?2m),我們可以得到變量m比2?2m離1 更遠(yuǎn)的特點(diǎn),再將其代數(shù)化就可得到|m ?1| > |2?2m ?1|兩邊平方后就可得到和直接代入同樣的結(jié)果.此過程看似復(fù)雜,但是確把問題落腳于函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)函數(shù)思想的同時(shí),為解決更為抽象的數(shù)學(xué)問題提供了形象化的例子,讓同學(xué)更容易接受.此時(shí)再看第二問我們能夠發(fā)現(xiàn)其實(shí)就是在第一問的基礎(chǔ)上取其意,去其形以后得到的問題.此時(shí)學(xué)生再求解就不會(huì)再有大的困難了.

例3(1)已知函數(shù)若f(t+2)+f(2t ?1)>0,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

(2)設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R 上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0 時(shí),滿足f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)>0,且g(?2)=0,求不等式f(x)g(x)>0 的解集.

有了例2 的經(jīng)驗(yàn),同學(xué)在看例3 的第一問時(shí)就不會(huì)盲目的把t+2,2t ?1 直接代入到函數(shù)表達(dá)式里面去建構(gòu)不等式,而會(huì)在函數(shù)和方程的思想的指導(dǎo)下,結(jié)合要解的不等式,把問題聚焦于函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的研究.進(jìn)而再通過奇函數(shù)和在R 上單調(diào)遞減可以將不等式f(t+2)+f(2t ?1)>0 化為解不等式t+2<1?2t的結(jié)果.對(duì)于例3 的第二問則是一個(gè)思維漸進(jìn)的過程,它需要我們結(jié)合條件所給的性質(zhì)通過抽象概括的手段先構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)F(x)=f(x)g(x),得到此函數(shù)的圖像性質(zhì)后結(jié)合不等式解集和函數(shù)圖像間的關(guān)系解決問題.

在初中時(shí)著重于具體化的利用函數(shù)表達(dá)式解決問題,而高中的函數(shù)問題更注重于利用函數(shù)的概念和性質(zhì)解決問題,所以在解決問題時(shí)容易出現(xiàn)因?yàn)槿狈瘮?shù)和方程思想,從而出現(xiàn)思維的障礙.此時(shí)教師在教學(xué)過程中一定要慢慢的讓學(xué)生轉(zhuǎn)變思維和解題的方式,切不可心急,只有做到循序漸進(jìn),才能正真達(dá)到螺旋上升.讓學(xué)生的函數(shù)和方程思想得到更好的培養(yǎng).

(三)多維綜融,提升素養(yǎng)

任何一種思想方法都不可能獨(dú)立存在的.它往往會(huì)和其它思想方法相互融合,并借助不同的載體加以呈現(xiàn),我們只有學(xué)會(huì)多維度進(jìn)行思考,整合,才能真正的將函數(shù)和方程的思想內(nèi)化為學(xué)生的一種思想方法,從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

(1)多種思想融合

例4設(shè)函數(shù)若a為常數(shù),且函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

此題綜合性較強(qiáng)難度較大,所給函數(shù)含有兩個(gè)字母參數(shù),且含有絕對(duì)值.若單一的只具備函數(shù)和方程的思想,缺乏其它數(shù)學(xué)思想方法是很難實(shí)現(xiàn)突破的.對(duì)于函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上存在零點(diǎn)這一條件,我們需要運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的思想,將其轉(zhuǎn)化為方程x|a ?x|=?b在[0,3]上有解這樣一個(gè)基本問題,此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為方程有解的問題,再運(yùn)用函數(shù)的思想,將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求解左側(cè)函數(shù)的最值這一核心問題上.可設(shè)此分段函數(shù)的分段端點(diǎn)為a,顯然需要運(yùn)用分類討論思想對(duì)常數(shù)a做出討論.第一種情況當(dāng)a≤0 時(shí),容易得到h(x)在[0,3]上單調(diào)增,所以h(x)min=h(0)= 0,h(x)max=h(3)= 9?3a,則當(dāng)0 ≤?b≤9?3a時(shí),原方程有解,則3a ?9 ≤b≤0,第二種情況當(dāng)a>0 時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在[a,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)楹瘮?shù)本身單調(diào)性較為復(fù)雜,為更好展現(xiàn)下一層次的討論,此時(shí)可以作出函數(shù)的圖像,以輔助討論.

圖1

我們通過此例可以看出,要想解決一個(gè)較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,必須綜合應(yīng)用多種數(shù)學(xué)思想方法,而解題過程本身就是多維思想共同作用的一個(gè)結(jié)果,教師在教學(xué)過程中需融合關(guān)注多種思想,幫助學(xué)生提高能力.

(2)多種載體呈現(xiàn)

例5(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知S10=0,S15=25,求nSn的最小值.

(2)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,{bn}是首項(xiàng)為b1,公比為q的等比數(shù)列.若a1=b1>0,m ∈證明:存在d ∈R,使得|an?bn|≤b1對(duì)n= 2,3,··· ,m+1 均成立,并求d的取值范圍(用b1,m,q表示).

數(shù)列是一類特殊的函數(shù),在研究數(shù)列問題時(shí)利用函數(shù)和方程的思想往往可以將問題簡單化,從而弄清問題本質(zhì).第一問先采用解方程的手段解得nSn的表達(dá)式,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可以預(yù)判是一個(gè)三次函數(shù)模型,接著利用導(dǎo)數(shù)求解,值得注意的是,在求解時(shí)還應(yīng)注意數(shù)學(xué)作為函數(shù)的特殊性,即定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集,故求解最值時(shí)應(yīng)在正整數(shù)范圍內(nèi)檢驗(yàn).第二問為2018年江蘇高考最后一題,考查了等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查通過代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)和方程等思想探究數(shù)學(xué)知識(shí)并解決問題的能力.第一問的證明,通過特殊化的思想,結(jié)合存在性命題證明的原則,不難判斷出{an}為常值數(shù)列時(shí)對(duì)n= 2,3,··· ,m+1 均成立.而在求解d的取值范圍時(shí),將代入等差和等比的通項(xiàng)公式以后,問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)n= 2,3,··· ,m+1 時(shí),滿足恒成立的d的取值范圍.再通過函數(shù)思想,就是求左側(cè)數(shù)列的最大值,求解右側(cè)數(shù)列的最小值.對(duì)左側(cè)數(shù)列當(dāng)2 ≤n≤m時(shí),當(dāng)1<時(shí),有qn≤qm≤2,通過局部定號(hào)的手段,可得n(qn?qn-1)?qn+2>0.因此,當(dāng)2 ≤n≤m+1 時(shí),數(shù)列單調(diào)遞增,故數(shù)列的最大值為

對(duì)于右側(cè)數(shù)列會(huì)發(fā)現(xiàn)做差后得到結(jié)果,當(dāng)2 ≤n≤m,發(fā)現(xiàn)問題歸結(jié)為(n ?1)q ?n的符號(hào)判定,此處往下求解難度較大.若可以轉(zhuǎn)變思路,通過函數(shù)思想,構(gòu)造函數(shù)f(x)=求導(dǎo)而分子只要考查xlnq?1,xlnq?1 ≤mlnq?1=lnqm?1 ≤ln 2?1<0,故f(x)單調(diào)遞減,故f(x)的最小值為因此,d的取值范圍為

例6(2018年高考江蘇卷第18 題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C過點(diǎn)焦點(diǎn)圓O的直徑為F1F2.

圖2

(1)求橢圓C及圓O的方程;

(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.

①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).若?OAB的面積為求直線l的方程.

本題以解析結(jié)合為背景,考察了直線,圓,橢圓的性質(zhì),以及直線與圓,直線和橢圓的位置關(guān)系等知識(shí).

簡答(1)可設(shè)橢圓C的方程為0).由題得方程組解得因此,橢圓C的方程為以F1F2為直徑的圓O方程為x2+y2=3.

(2)①設(shè)直線l與圓O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),則x02+y02=3,則直線l的方程為即聯(lián)立方程消去y,得

因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以?=(?24x0)2?4(4x02+y02)(36?4y02)=48y02(x02?2)=0.因?yàn)閤0,y0>0,所以因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

②因?yàn)槿切蜲AB的面積為所以從而設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由(?)得,所以

因?yàn)閤02+y02=3,所以即2x04?45x02+100 = 0,解得(x02= 20 舍去),則因此P的坐標(biāo)為

綜上,直線l的方程為

在解決問題的過程中我們不難發(fā)現(xiàn),方程思想是求解此題的核心思想,無論是第一小問基本量的求解,還是第二小問中相切時(shí)的方程聯(lián)立,到最后轉(zhuǎn)換面積條件時(shí)弦長的求解,都體現(xiàn)了方程思想對(duì)問題求解的指導(dǎo)性作用.解析幾何的區(qū)分度主要源自于計(jì)算的要求,以思想方法為指導(dǎo),明確計(jì)算的方向往往起到優(yōu)化計(jì)算,化繁為簡的效果.

三、結(jié)束語

新的課程改革明確了高中的數(shù)學(xué)教學(xué)不能再去搞題海戰(zhàn)術(shù),和進(jìn)行無止盡的解題技巧總結(jié),而應(yīng)該著力培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).函數(shù)和方程思想方法歷來是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn),教師在日常的教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)從基本概念和思想方法出發(fā),以多種形式的問題為載體,與其它思想方法一起循序漸進(jìn)的,螺旋式的滲透給學(xué)生.重視基本知識(shí)和基本思想方法才是真的關(guān)鍵所在,故教師不妨留一些空間讓學(xué)生自己去思考和總結(jié),效果可能會(huì)更好.