江蘇省平潮高級中學(xué)(226361) 周 炎

2020年南通一模考試填空題第12 題是一道條件清晰簡明的三角形中的最值問題,難度系數(shù)0.75,然而統(tǒng)計填空題的答題時間時,發(fā)現(xiàn)在這道題上大部分同學(xué)花費了較長時間,直接影響了整張試卷的得分.對于這種中檔小題,會做卻需要花費較長時間,筆者深感“多想少算”這一思想的重要,現(xiàn)試從多種角度進(jìn)行剖析,以促進(jìn)學(xué)生學(xué)會思考、幫助學(xué)生尋找最佳新思路,進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

一、題目及命題意圖

題目已知?ABC的面積為3,且AB=AC.若則BD的最小值為____.

命題意圖此題本意是要考查基本不等式求最值.命題人給它設(shè)置了三角及向量背景,將高中數(shù)學(xué)三個重要考點綜合起來,提升了區(qū)分度.

二、解法剖析

思路1(理解運算背景,設(shè)計解題思路,重函數(shù)思想)本題研究的是三角形中的邊長的最值問題,對于這樣的問題,可畫出三角形,結(jié)合正弦定理的面積公式及余弦定理可建立等量關(guān)系,并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),研究最值.

解法1設(shè)AB=AC=m,則

在?ABD中,由余弦定理有

點評解決最值問題的常規(guī)方法,過程較繁瑣,運算量較大,需要較強(qiáng)的運算能力及耐心,不符合小題小做、多想少算的原則.

思路2(理解運算情境,設(shè)計解題思路,重解析思想)本題研究的是一個等腰三角形中的問題,對于這樣一個相對特殊的幾何圖形,我們要思考如何能夠更便捷的表示面積及BD邊長,顯然利用兩點間距離公式等解析幾何知識較為方便.那么我們不妨選擇解析法,建立直角坐標(biāo)系,找等量關(guān)系,研究最值.

解法2如圖1,以BC所在直線為x軸,垂直平分線為y軸,建立如圖所示直角坐標(biāo)系.

設(shè)B(?m,0),C(m,0),A(0,h),其中m >0,h >0,則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時,

圖1

條件AB=AC及的另一層含義就是AB= 3AD,此時我們是否種熟悉的感覺呢?正所謂此時無圓卻有圓,找準(zhǔn)入口現(xiàn)“圓”形,“圓”來她就在這里.

解法2′以BD所在直線為x軸,其垂直平分線為y軸,建立如圖2示直角坐標(biāo)系.

設(shè)B(?m,0),D(m,0)(m >0),A(x,y),由AB=3AD,有(x+m)2+y2= 9[(x ?m)2+y2].化簡可得點A的軌跡方程是

圖2

結(jié)合題意可知?ABC的面積是?ABD面積的3 倍,所以?ABD的面積為1,從而

點評以上兩種解法本質(zhì)上都是采用解析的思想,它是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法之一,不僅僅體現(xiàn)在解析幾何中,在三角、向量問題中若能恰當(dāng)?shù)倪x擇解析法,能夠較大程度的優(yōu)化解題過程、減小運算量.當(dāng)然,在本題情境下前一種做法運算量較小,但我們絕不能忽視后一種方法,它實質(zhì)上是抓住了隱含在問題中的特定運算情境——阿氏圓.

思路3(挖掘運算方式,設(shè)計解題思路,重向量工具性)本題中不僅是三角形背景,還增加了平面向量的元素.我們知道,平面向量不僅是高中數(shù)學(xué)重要考點,同時還是數(shù)學(xué)中的又一重要工具,那么能否從向量的角度來研究BD的長度呢?我們結(jié)合三角形面積這一已知條件,不妨從選擇基底開始,尋找思路切口.

解法3?ABC為等腰三角形,故取BC中點E,連接AE,且BC ·AE= 6.因此選擇以為基底,則

圖3

點評把線段的長理解成向量的模,根據(jù)平面向量基本定理,平面內(nèi)任一向量可用該平面內(nèi)兩個不共線的向量表示,條件中等腰三角形面積為定值的特點是解決問題的重要抓手,據(jù)此選擇基底,能較快的表示所求量.這樣的處理,運算量減少了,但需要對問題有較為深入的思考.

思路4(挖掘背景內(nèi)涵,設(shè)計解題思路,回歸幾何本質(zhì))本題更是一道平面幾何題,能否回歸幾何本質(zhì),結(jié)合圖形特征,借助平幾方法求解呢?那么我們不妨從構(gòu)造輔助線開始.

圖4

解法4取BC中點E,連接AE,設(shè)BD與AE交于點O,取CD中點為F.由平幾知識可知,為AE中點,所以,BO2=BE2+OE2,而BE ·則BO2=BE2+OE2≥2·BE·OE=3,當(dāng)且僅當(dāng)BE=OE=時,

點評深度挖掘問題內(nèi)涵,充分利用圖形幾何特征,適當(dāng)構(gòu)造輔助線,達(dá)到了優(yōu)化解題思路的目的.以思助算,大幅減少運算量,提高了解題速度及正確率.

我們還可以結(jié)合雷達(dá)圖對以上四種解法從知識面、思維量、計算量、能力等方面進(jìn)行比較:

不難看出,從計算量的角度來衡量我們應(yīng)當(dāng)選擇解法4,但它對學(xué)生的知識面及思維能力要求高,特別是對初中平面幾何知識的掌握;解法2 的運算量略大一些,但屬于高中階段重要的也是常見的方法,運用解析法解決與平面圖形有關(guān)的問題往往能產(chǎn)生意想不到的效果;解法3 則需要很強(qiáng)的思維能力,特別是在基底的選擇上,選擇不恰當(dāng)有可能適得其反;而解法1 對計算能力及思維能力均有較高要求,對于這樣一道填空題來說,顯然不是一個好的選擇.

三、教學(xué)反思

(一)明析問題背景,做多向之想

多向之想是在明析題目背景的基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行代數(shù)及幾何角度的思考.對于具體數(shù)學(xué)問題,我們要結(jié)合已知條件,深刻理解運算背景,尋求解題思路.案例中的運算背景為三角形,運算對象為三角形中的線段長,我們可以從解三角形的角度去研究,形成解法1;我們也可以抓住等腰這一特殊性及等分點,借助平面幾何知識去研究,形成解法4.對于數(shù)和形的不同角度,產(chǎn)生差異明顯的數(shù)學(xué)運算.在這個過程中,“多想”是關(guān)鍵,找到更為合適的方向切入,進(jìn)而提升解題速度,體現(xiàn)了變向求解的解題智慧.

(二)理解運算方式,做多面之想

高中數(shù)學(xué)中的運算有實數(shù)運算,也有向量運算.在不同的情境中,不同運算方式在解決問題時所產(chǎn)生的的運算量會有較大的差異.恰當(dāng)?shù)膶煞N運算相融合,會有意想不到的效果.案例中還含有向量形式,我們可以嘗試選擇合適的基底表示,進(jìn)而研究的模,形成解法3.這樣的處理,源于對問題的深入思考,更源于對運算方式進(jìn)行了多面之想,達(dá)到了“以想破算”的目地,體現(xiàn)了運算手段的靈活性.

(三)深挖情境內(nèi)涵,做多次之想

對運算情境內(nèi)涵的深刻挖掘,促使我們綜合的運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想方法將問題遷移到不同情境中去.高中階段學(xué)習(xí)了解析幾何,其本質(zhì)是用坐標(biāo)法研究幾何問題,而案例呈現(xiàn)出的就是一個幾何模型,由此形成解法2.1.再次解讀題意,剖析圖形特征,形成解法2.2.誠然解法2.2 在此題中并未展現(xiàn)出優(yōu)越性,但這樣的思考無疑對其它類題的求解提供了極好的思路.對同一類型方法做多次之想,它不僅僅是解了一道題,更促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

在解題教學(xué)中,我們應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生從問題背景、運算方式、情境內(nèi)涵等不同角度進(jìn)行全方位的思考,并進(jìn)一步厘清不同解法運算的煩簡程度.以思助算,用思簡算,算思結(jié)合,方能高效解題.