鄭 金

(凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500)

在貴刊2014年第7期發(fā)表的《為什么發(fā)射速度越大線速度越小》一文中，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律和引力勢(shì)能公式定量推導(dǎo)了衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度與發(fā)射速度的數(shù)量關(guān)系；利用離心現(xiàn)象理論說明了衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)改變衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向可做圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)萬有引力恰好等于所需的向心力.不僅解答了疑難問題，而且提供了解題的兩條途徑，即從能量觀點(diǎn)和動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)分別進(jìn)行解析，但沒有明確得出衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)到何處變軌才能恰好做圓周運(yùn)動(dòng).再者，只論證了衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度隨高度變化的關(guān)系，而沒有論證衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速度如何隨高度變化的關(guān)系.下面應(yīng)用機(jī)械能守恒定律和天體橢圓運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能公式對(duì)這兩方面問題進(jìn)行舉例分析.

對(duì)于在半長軸為a的橢圓軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星，在從近地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，即

由角動(dòng)量守恒定律有mv1r1=mv2r2，聯(lián)立方程可得衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為

可知衛(wèi)星的機(jī)械能為

可見，沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星的機(jī)械能公式跟沿圓周軌道運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星的機(jī)械能公式很相似，而且都為負(fù)值.

1 衛(wèi)星在橢圓軌道何處變軌才能做圓周運(yùn)動(dòng)

當(dāng)衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行到頂點(diǎn)時(shí)，只有當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)提供動(dòng)力突然加速時(shí)才能沿切線方向做圓周運(yùn)動(dòng).另一種情況是，當(dāng)衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行到某高度處時(shí)保持速率不變而改變運(yùn)行方向，使衛(wèi)星受到的萬有引力恰好等于所需的向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng).那么當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到離地面的高度為多大時(shí)，或者說衛(wèi)星在橢圓軌道何處變軌時(shí)，才能恰好做圓周運(yùn)動(dòng)呢？為了回答這個(gè)問題，可通過一道例題來分析說明.

圖1

例1.如圖1所示，兩顆質(zhì)量相等的人造衛(wèi)星分別在圓軌道和橢圓軌道上繞地球運(yùn)動(dòng)，兩軌道和地心O在同一平面內(nèi)，軌道的交點(diǎn)為C、D.已知橢圓軌道的半長軸為a，如果兩顆衛(wèi)星先后運(yùn)動(dòng)到軌道交點(diǎn)C時(shí)的速率相等，那么軌道交點(diǎn)到地心的距離為多少？

由橢圓的定義可知短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于半長軸，而圖1中的圓周半徑OC恰好等于橢圓的半長軸，因此交點(diǎn)C是橢圓短軸的端點(diǎn)，所以兩個(gè)交點(diǎn)平分橢圓軌道.有趣的是，只要圓周半徑恰好等于橢圓的半長軸，兩顆衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期就相等，這與開普勒第三定律是一致的.

綜上可知，對(duì)于沿橢圓軌道運(yùn)行的衛(wèi)星，只要變軌位置在橢圓短軸的端點(diǎn)，或者說到地心的距離等于橢圓的半長軸，且在此處保持衛(wèi)星的速率不變，僅改變速度方向，使速度垂直于此處與地心的連線，那么衛(wèi)星即可繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng).若衛(wèi)星在同一近地點(diǎn)的速度越大，則橢圓的半長軸就越長，那么使衛(wèi)星恰好能做圓周運(yùn)動(dòng)而變軌的位置就越高，對(duì)應(yīng)的圓周半徑就越大，在此處的速度就越小.

2 衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度如何隨橢圓長軸而變化

如果衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)被發(fā)動(dòng)機(jī)加速，變軌到更高的橢圓軌道，那么到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速度也增大嗎？或者說，如果衛(wèi)星分別沿兩個(gè)相切于近地點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，那么到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速度哪個(gè)較大？下面進(jìn)行舉例說明.

圖2

例2.如圖2所示，兩顆質(zhì)量相同的衛(wèi)星運(yùn)行的橢圓軌道在同一平面內(nèi)相切于同一近地點(diǎn)A，這相當(dāng)于同一衛(wèi)星在近地點(diǎn)的發(fā)射速率不同，沿不同的橢圓軌道運(yùn)動(dòng).設(shè)地球的質(zhì)量為M，半徑為R，衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)到地面的距離為h，試求： (1) 衛(wèi)星在不同遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能總量哪個(gè)較大？(2) 衛(wèi)星在不同遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速度哪個(gè)較大？

橢圓的長軸為2a=H+2R+h，所以

由于橢圓軌道1的長軸較小，因此衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速度較大.

式中只含有一個(gè)未知量a，由此可見，若橢圓軌道半長軸的長度越大，則衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速度就越小.對(duì)于沿橢圓軌道運(yùn)行的衛(wèi)星，若在同一近地點(diǎn)時(shí)的速度越大，則在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的高度就越大，那么在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速度就越小.

從解題過程可見，在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解答有關(guān)以地心為焦點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，可直接利用地球衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能公式和天體沿橢圓運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能公式列方程.這種方法在解答物理競(jìng)賽題時(shí)應(yīng)用比較廣泛，而且能化繁為簡(jiǎn).