張 帥，方龍祥

（安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽蕪湖241002）

在日常生活中，次序統(tǒng)計量被廣泛運(yùn)用在應(yīng)用概率、生命實驗、可靠性理論、統(tǒng)計推斷等領(lǐng)域，是近些年來的研究熱點(diǎn)。當(dāng)觀察樣本是獨(dú)立同分布時，次序統(tǒng)計量的研究已經(jīng)非常廣泛，但在許多現(xiàn)實情形中，觀察樣本通常是獨(dú)立非同分布或者是既不獨(dú)立也不同分布的?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中，研究最多的是來自于指數(shù)分布的次序統(tǒng)計量。最早在文獻(xiàn)[1]中被討論，令X1,X2,…,Xn是一組獨(dú)立指數(shù)隨機(jī)變量，且Xi～E(λi)，i=1,2,…,n；令是另一組獨(dú)立指數(shù)隨機(jī)變量，且其證明了[1]

隨后，Proschan等[2]將上述結(jié)果從普通隨機(jī)序加強(qiáng)到普通多元隨機(jī)序，緊接著Khaledi 等[3]將(1)式部分改進(jìn)后，得出在p-larger 下對于其他結(jié)論可以參閱文獻(xiàn)[4-5]等。

本文主要研究在非獨(dú)立情形下的指數(shù)分布。為了刻畫指數(shù)分布下隨機(jī)變量的相關(guān)性，這里引入了Copula函數(shù)[6]，并使用阿基米德Copula工具[7-8]來刻畫隨機(jī)變量的相依性。

1 有關(guān)概念及性質(zhì)

優(yōu)化序是重排向量元素以后的一種偏序。

定 義 1[9]（1）令表 示 兩 個n維 實 向 量 ，令分別為λ和λ*的分量由小到大的有序排列。若

對所有的k=1,2,…,n-1成立，且那么稱λ優(yōu)化于λ*，記為λ≥mλ*。

成立，則稱在p-larger序下λ比λ*大，記為λ≥pλ*。

定義2[10]對定義在n維實數(shù)空間上的多元函數(shù)φ:?n→?，如果對于所有其定義域內(nèi)的向量x≥my滿足：（1）φ(x)≥φ(y)，則稱φ是Schur凸函數(shù)；（2）φ(x)≤φ(y)，則稱φ是Schur凹函數(shù)。

下面的不等式通常用來判定Schur凸（凹）函數(shù)。若多元實值函數(shù)中的φ為置換對稱函數(shù)且可導(dǎo)，則稱φ為Schur凸（凹）函數(shù)的充要條件是對所有的i≠j滿足如下不等式：

定義3[8]阿基米德Copula是Copula函數(shù)的一種，其表達(dá)式為

其中，φ(u)稱為阿基米德Copula函數(shù)C(u1,u2,…,un)的生成元，滿足以下性質(zhì)：

（2）(-1)kφk(x)≥ 0，k=0,1,…,n-2；

（3）ψ=φ-1。

阿基米德Copula 函數(shù)的生成元φ(u)決定了其函數(shù)表達(dá)式。下面以阿基米德Copula 中Frank 連接函數(shù)為例其形式為

當(dāng)α＞ 0時，tψ′(t)是關(guān)于t單調(diào)遞增的函數(shù)；當(dāng)α＜ 0時，tψ′(t)是關(guān)于t單調(diào)遞減的函數(shù)。

注1當(dāng)生成元φ(t)=e-t，ψ為φ反函數(shù)，則此時為獨(dú)立情形。

定義4[11]（1）設(shè)X和Y是兩個隨機(jī)變量，若對任意的t∈ ?，都有P(X＞t)≤P(Y＞t)成立，則稱隨機(jī)變量X在普通隨機(jī)序的意義下小于Y，記為Y≥stX。

（2）設(shè)X=(X1,X2,…,Xn) 和Y=(Y1,Y2,…,Yn) 是兩個隨機(jī)向量，若對任意的單調(diào)增加函數(shù)f(x1,x2,…,xn)(每個分量是增加的)有f(Y)≥st f(X)，則稱隨機(jī)向量X在普通多元隨機(jī)序下小于Y，記為Y≥stX。

2 主要結(jié)論

定理1令X1,X2,…,Xn是一組隨機(jī)變量，且Xi～E(λi)，i=1,2,…,n，其相依性由生成元為φ(t)的阿基米德Copula刻畫；令是另一組隨機(jī)變量，且其相依性由生成元為φ(t)的阿基米德Copula刻畫。若則。

證明當(dāng)只要證明對于x＞ 0，

關(guān)于(λ1,λ2,…,λn)是Schur凸函數(shù)即可。

故可得，

由于φ′≤ 0，則

令h(t)=ψ′(t)(1-t)，h′(t)=ψ″(t)(1-t)-ψ′(t)。因ψ′(t)≤ 0，ψ″(t)≥ 0，t∈ [ 0 ,1 ]，h′(t)≥ 0，故h(t)是一個單調(diào)遞增的函數(shù)。當(dāng)λi≥λj時，F(xiàn)λi(x)是隨著λi的增大而增大，ti=Fλi(x)，i=1,2,…,n，ti∈[ 0 ,1 ]，則

由（2）式和（3）式，可得：

例 1令X1,X2,X3是一組隨機(jī)變量，且Xi～E(λi)，i=1,2,3，對應(yīng)參數(shù)向量λ=(0.6,0.2,0.2)；令是另一組隨機(jī)變量，且，對應(yīng)參數(shù)向量λ*=(0.4,0.3,0.3)，都有一樣的Frank Copula和生成元當(dāng)α=5時如圖1所示；同樣，當(dāng)α=-5，有如圖2所示。由兩圖的圖像可以看出與定理1結(jié)論一致。

定理2令X1,X2,…,Xn是一組隨機(jī)變量，且Xi～E(λi)，i=1,2,…,n，其相依性由生成元為φ(t)的阿基米德Copula 刻畫；令是另一組隨機(jī)變量其相依性由生成元為φ(t)的阿基米德Copula刻畫，

圖1 α=5時(x)與(x)的圖像

證 明（1）當(dāng)且關(guān)于t單調(diào)遞增，若證只要證明對于關(guān)于(λ1,λ2,…,λn)是Schur凹函數(shù)即可。

由于φ′≤ 0，則

若tψ′(t)關(guān)于t單調(diào)遞增，則λi≥λj時，

由（4）式和（5）式，可得：

類似的，若tψ′(t)關(guān)于t單調(diào)遞減，則λi≥λj時

由（4）和（6）式，可得：

因此，F(xiàn)ˉX1:n(x)是關(guān)于(λ1,λ2,…,λn)的Schur凸函數(shù)，于是由定義2和定義4得。

注2當(dāng)φ(t)=e-t時既是關(guān)于t單調(diào)遞增的函數(shù)，也是關(guān)于t單調(diào)遞減函數(shù)，從而由定理2得同時成立，也即此結(jié)論與文獻(xiàn)[1]中研究來自于獨(dú)立指數(shù)分布的次序統(tǒng)計量的結(jié)論一致。

例 2令X1,X2,X3是一組隨機(jī)變量，且Xi～E(λi)，i=1,2,3，對應(yīng)參數(shù)向量λ=(0.6,0.2,0.2)；令是另一組隨機(jī)變量，且對應(yīng)參數(shù)向量λ*=(0.4,0.3,0.3)，都有一樣的Frank Copula和生成元當(dāng)α=5時，tψ′(t)是關(guān)于t單調(diào)遞增的如圖3所示，當(dāng)α=-5，tψ′(t)是關(guān)于t單調(diào)遞減的，如圖4所示。由兩圖的圖像可以看出與定理2結(jié)論一致。

圖3 α=5時，(x)與(x)的圖像

圖4 α=-5，(x)與(x)的圖像

3 總 結(jié)

本文主要討論了相依指數(shù)分布下最大與最小次序統(tǒng)計量的隨機(jī)比較，具體地說就是通過優(yōu)化序這個工具，找到了指數(shù)分布中參數(shù)滿足的條件，同時，運(yùn)用阿基米德Copula刻畫指數(shù)隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，最后，研究了由n個不獨(dú)立且不同分布的指數(shù)隨機(jī)向量的最大與最小次序統(tǒng)計量在普通隨機(jī)序下的隨機(jī)比較。但是，本文僅給出了相依指數(shù)分布下最大與最小次序統(tǒng)計量的隨機(jī)比較，對于其它階次序統(tǒng)計量Xi:n(i=2,3,…,n-1)的隨機(jī)比較，仍然是個挑戰(zhàn)。