甘志國(guó)

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

題1(2010年高考福建卷理科第15題)已知定義域?yàn)?0,+)的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：(1)對(duì)任意x∈(0,+)，恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f(x)=2-x.給出如下結(jié)論：

①對(duì)任意m∈Z，有f(2m)=0；

②函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+)；

③存在n∈Z，使得f(2n+1)=9；

④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得(a,b)?(2k,2k+1)”.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.(答案：①②④)

解可把區(qū)間(0,+)分割成：(0,+)

即f(x)=2k+1-x(x∈(2k,2k+1](k∈Z)).

這就是函數(shù)f(x)在(0,+)上的解析式(是分段函數(shù)的形式).

下面由此解析式來(lái)判斷所給選項(xiàng)哪些是正確的.

在解析式中選x=2k+1(k=m-1,m∈Z)，立得選項(xiàng)①正確.

在解析式中選k=n(n∈Z)后可令x=2n+1，得f(2n+1)=2n-1.若f(2n+1)=9，得n=log210，這與n∈Z矛盾！所以選項(xiàng)③錯(cuò)誤.

由求得的解析式知，選項(xiàng)④正確.

題1的變式1已知定義域?yàn)?0,+)的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：(1)對(duì)任意x∈(0,+)，恒有f(ax)=af(x)(a>1,a是常數(shù))成立；(2)當(dāng)x∈(1,a]時(shí)，f(x)=φ(x)(當(dāng)x∈(1,a]時(shí)，φ(x)是已知的函數(shù)).請(qǐng)求出函數(shù)f(x)的解析式.

解可把區(qū)間(0,+)分割成：(0,+)

這就是此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,+)上的解析式(是分段函數(shù)的形式).

題1的變式2已知定義域?yàn)?0,+)的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：(1)對(duì)任意x∈(0,+)，恒有f(bx)=bf(x)(0

(2)猜測(cè)數(shù)列{an}是否有極限？如果有，寫(xiě)出極限的值(不必證明)；

此題顯然是以高等數(shù)學(xué)中的調(diào)和級(jí)數(shù)為背景的，出題者為了降低這道壓軸題的難度而給出了題目開(kāi)頭的那個(gè)已知不等式.下面來(lái)證明這個(gè)不等式：

全體正整數(shù)集N*可分割成

N*=[20,21)Z∪[21,22)Z∪…∪[2k,2k+1)Z∪…

這里[2k,2k+1)Z(k∈N)表示區(qū)間[2k,2k+1)中的整數(shù)組成的集合.

分割區(qū)間來(lái)解題，也是一種好方法！

題3(2019年高考全國(guó)卷Ⅱ理科第12題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足f(x+1)=2f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)=x(x-1).若對(duì)任意x∈(-,m]，都有則m的取值范圍是( ).

(2)當(dāng)x∈(n,n+1](n∈N*,n≥2)時(shí)，x-n∈(0,1]，所以f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=…=2nf(x-n)=2n(x-n)(x-n-1),f(x)∈[-2n-2,0].

證明分割區(qū)間(6,+)=(6,7]∪(7,8]∪…∪(n,n+1]∪….

題5 證明不等式：2x>x(x∈R).

證法1 分割區(qū)間R=(-,0)∪[0,1)∪[1,2)∪[21,22)∪[22,23)∪…∪[2n,2n+1)∪….

當(dāng)x∈(-,0)時(shí)，2x>0>x.

當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，2x≥20=1>x.

當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，2x≥21=2>x.

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

進(jìn)而可得：函數(shù)f(x)在(-,x0],[x0,+)上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，所以因?yàn)橛?e>4>e，可得eln2>1,ln(eln2)>0),因而f(x)>0,2x>x(x∈R).