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        豎直面內變速圓周運動中極值問題的解法

        2020-06-06 11:10:02
        數(shù)理化解題研究 2020年16期

        袁 茵

        (安徽省碭山中學 235300)

        題1 如圖1所示,一個質量為M的人站在稱盤上,人拉著一根長L的輕繩的一端,繩的另一端拴著一個質量為m的鉛球,若讓鉛球在豎直平面內做圓周運動,當運動到最高點A受到繩子的拉力恰好為mg,鉛球可看做質點.問:鉛球在運動過程中,運動到何處,稱盤上的讀數(shù)最小值為多少?

        解析設鉛球運動到A點時速度為vA,運動到P點時(如圖2所示)稱盤上讀數(shù)最小,值為N,其中OP與豎直方向夾角為θ,P點速度設為vP,輕繩對鉛球的拉力為T,在A點,有:

        鉛球從A點運動到P,有動能定理得:

        在P點,在法向上,由牛頓第二定律,得

        稱盤上讀數(shù)N=Mg-Tcosθ.

        可得N=Mg-4mgcosθ+3mgcos2θ,

        在本例題中,秤盤上的讀數(shù)最小不是小球運動到最高點的時候,有的同學憑著以往解題的經(jīng)驗,不假思索,就當成小球運動到最高點的時候去解題,很容易出現(xiàn)錯誤.

        題2 如圖3所示,在質量為M的飛輪上固定著一個質量為m的重物,重物到轉軸的距離為r,重物隨電動機一起轉動,為使電動機不從地面跳起,則電動機的飛輪角速度不超過多少?若以上述角速度勻速轉動,電動機對地面最大壓力是多少?

        解析如圖4所示,當重物運動到P處電動機對地面的壓力最小,OP與豎直方向的夾角為α.由于重物隨電動機做勻速圓周運動,

        有F合=Fn=mω2r,

        則電動機對地面的壓力為

        N=Mg+mg-mω2rcosα.

        由上式可知,當α=0時,即重物到達最高點時,電動機對地面的壓力最小,電動機不從地面跳起的臨界條件為:N=0.

        同理可得,當α=π時,即重物運動到最低點時,電動機對地面的壓力最大,最大值為Nmax=2(M+m)g.

        在本題中,與題1不同,電動機勻速轉動,重物的速率不變,所以經(jīng)過推導重物運動到最高點時電動機對地面的壓力最小.

        題3如圖5所示,在傾角α=30°的、質量為M的斜面上,有一根長為L=0.8m的細繩,一端固定在O點,另一端系一質量為m=0.2kg的小球,小球沿斜面做圓周運動,在A點繩中的拉力為1N.那么小球運動到哪里,斜面對地面的壓力最???壓力是多大?

        解析如圖6所示,設小球在A點速度為vA,繩中拉力為TA,沿繩有

        當小球運動至P點時,斜面對桌面壓力最小,此時

        繩與AB的夾角為θ,速度為vP,繩中拉力為TP,沿繩有

        從A點運動到P點,有動能定理有

        斜面對地面的壓力

        本題雖不是豎直平面內的情形,但是屬于類豎直平面內變速圓周運動,分析方法相同,只不過把豎直平面內豎直向下的重力mg等效成了mgsinα,采用類比的方法使得問題簡化.

        題4如圖7所示,細線的上端固定,下端系一小球,細線長為l,將小球與細線拉至同一水平位置后從靜止開始釋放,求小球的細線運動到與水平方向成多大角度時,小球獲得最大的豎直分速度(用反三角函數(shù)表示,重力加速度為g)

        解析設小球質量為m,當細線運動到與水平方向夾角為θ時,小球獲得的速度為v,豎直方向的分速度為vy,如圖8所示:由動能定理,小球從A運動到B,有

        又vy=vcosθ,

        下面考慮函數(shù)f(θ)=sinθ(1-sin2θ),令sinθ=t,t∈[0,1],

        則y=t(1-t2)=t-t3,

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