莊 順
(福建省廈門第六中學(xué) 361000)
在近年的高考題、自主招生題、競(jìng)賽題或模擬題中,經(jīng)常會(huì)有求解涉及雙變?cè)蚨嘧冊(cè)獑栴}中的最值或取值范圍問題.此類問題由于變?cè)^多,切入點(diǎn)沒有太大規(guī)律,往往導(dǎo)致難度較大,且比較難加以突破.也正是由于變?cè)^多,此類問題破解的思維方式多變,切入點(diǎn)眾多,方法有時(shí)也多樣.
【高考真題】(2018·北京理·7)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)θ,m變化時(shí),d的最大值為( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
思維角度1:三角函數(shù)法
點(diǎn)評(píng)把點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為含有二元函數(shù)θ、m的最值問題,分別結(jié)合三角函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì),依次來轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得以確定相應(yīng)的最值問題.在這里的解決關(guān)鍵是對(duì)二元函數(shù)θ、m沒有直接關(guān)系的條件下,分別有針對(duì)性地處理,從而得以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.
思維角度2:數(shù)形結(jié)合法
分析根據(jù)題條件確定點(diǎn)P的軌跡與直線恒過定點(diǎn)A(2,0)的性質(zhì),先讓直線x-my-2=0保持“靜止”時(shí)確定點(diǎn)P到直線的距離的最大值問題,再進(jìn)一步讓直線x-my-2=0進(jìn)行“轉(zhuǎn)動(dòng)”,通過數(shù)形結(jié)合來確定最值即可.
解法2 由于點(diǎn)P(cosθ,sinθ),則知點(diǎn)P的軌跡是單位圓O:x2+y2=1,而直線x-my-2=0恒過定點(diǎn)A(2,0)的動(dòng)直線,如圖所示.先讓直線x-my-2=0保持“靜止”,過O垂直于直線x-my-2=0的直線交單位圓O:x2+y2=1于點(diǎn)Q,交直線x-my-2=0于點(diǎn)B,而單位圓O:x2+y2=1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D.根據(jù)平面幾何知識(shí)可知點(diǎn)P到直線x-my-2=0的距離的最大值為點(diǎn)Q到直線x-my-2=0的距離1+|OB|,接下來,再讓直線x-my-2=0進(jìn)行“轉(zhuǎn)動(dòng)”,數(shù)形結(jié)合可知1+|OB|≤1+|OA|,所以當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí),1+|OB|的最大值為3.所以當(dāng)直線x-my-2=0的方程為x=2(此時(shí)m=0),且點(diǎn)P為點(diǎn)D(-1,0)時(shí),d的最大值為|AD|=3.故選擇答案C.
點(diǎn)評(píng)根據(jù)單位圓與過定點(diǎn)的直線束之間的關(guān)系,依次在保持直線“靜止”時(shí)讓點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng),再讓直線“轉(zhuǎn)動(dòng)”起來,通過數(shù)形結(jié)合并利用平面幾何的知識(shí)來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,進(jìn)而數(shù)形結(jié)合得以確定相應(yīng)的二元問題的最值.
其實(shí),當(dāng)我們破解完一道數(shù)學(xué)問題后,要加以不斷總結(jié),不斷領(lǐng)悟反思,進(jìn)而可以有效達(dá)到多角度切入,并能有效進(jìn)行深度挖掘,進(jìn)行有效深度學(xué)習(xí),從而真正達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果,有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)科學(xué)的思維習(xí)慣,良好的核心素養(yǎng)以及能力素質(zhì).