韓裕生， 張延厚， 王 碩， 姜兆禎

(1.陸軍炮兵防空兵學院信息工程系， 安徽合肥 230031； 2.偏振光成像探測技術安徽省重點實驗室， 安徽合肥 230031)

0 引言

雷達在作戰(zhàn)中擔負著戰(zhàn)場環(huán)境感知的作用，分布式無源雷達建設成本低、易安裝、有較強的抗干擾能力和高隱蔽性，使其成為現(xiàn)代新體制雷達的研究熱點之一[1-2]。分布式無源雷達不依靠自身發(fā)射信號，強調(diào)的是多空間輻射源(如電視廣播、衛(wèi)星和無線網(wǎng)絡等信號)和多接收機在空間中相對于目標的充分展開性[3]。因此，可以通過空間多通道一次采樣來增強目標探測能力和成像性能。但分布式無源雷達成像中存在的布站不規(guī)則以及輻射源復雜隨機等原因?qū)е履繕嘶夭〝?shù)據(jù)在其傅里葉變換域分布不均勻，目標反演成像質(zhì)量不佳的問題還沒得到較好的解決[4]。

傅里葉變換是處理雷達回波數(shù)據(jù)的基本方法，目前普遍使用的快速傅里葉變換(FFT)算法[5]對數(shù)據(jù)的均勻性和致密性都要求較高。針對非均勻分布的數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)方法通過對離散數(shù)據(jù)進行各種插值獲得相對均勻的笛卡爾網(wǎng)格形式，再利用IFFT獲得目標圖像，這類方法統(tǒng)稱為插值傅里葉變換法[6-7]。但插值本身會引入不可避免的誤差，同時回波數(shù)據(jù)的稀疏性會加劇插值誤差。為避免插值的誤差，文獻[8]提出了極坐標成像法，對回波數(shù)據(jù)在極坐標系下直接求解，文獻[9]在文獻[8]的基礎上，在具有一般意義的球坐標系統(tǒng)下，提出逐點匹配濾波成像方法，對目標所在的反演區(qū)域開展匹配搜尋，將獲得的不同觀測通道的目標反演像進行相干融合，文獻[8-9]對分布式無源雷達的構(gòu)型非規(guī)則性有一定的適應性，但卻帶來了運算量的大幅增加。

Dutt等[10]提出的非均勻快速傅里葉變換法(NUFFT)能直接對非均勻數(shù)據(jù)進行快速處理，在CT成像和雷達信號處理等領域已得到應用[11-12]。文獻[13-14]將NUFFT與CS算法相結(jié)合應用于有源SAR成像中，充分體現(xiàn)了NUFFT降低CS重構(gòu)算法計算復雜度的作用。文獻[15]提出基于余弦尺度因子和最小均方差準則的NUFFT方法，在分布式無源雷達圖像重建精度和穩(wěn)定性取得了較好的結(jié)果，但重建圖像受振鈴作用的顯著影響，同時文中也指出適用于NUFFT的更好的尺度因子還有待研究。為了進一步提高分布式無源雷達非均勻采樣條件下的目標成像質(zhì)量和性能，本文給出了一種基于快速高斯網(wǎng)格的非均勻傅里葉變換(記作FGG-NUFFT)[16-17]分布式無源雷達成像方法，結(jié)合空間譜理論分析了回波采樣信號的空間譜非均勻性及與所提算法下的分布式無源雷達成像質(zhì)量的關系，并進行了算法仿真驗證。

1 分布式無源雷達成像模型

考慮實際場景中，分布式無源雷達成像系統(tǒng)在球坐標下的幾何構(gòu)型，如圖1所示。成像系統(tǒng)由目標、輻射源和接收機組成，假設目標任意一點P的坐標是(r,θ,φ)；M個輻射源的俯仰角和方位角分別表示為θt和φt，N個接收機的俯仰角和方位角分別表示為θr和φr，則第i個輻射源的坐標是(ri,θi,φi)，第j個接收機的坐標是(rj,θj,φj)。

圖1 分布式無源雷達成像構(gòu)型

為分析簡單同時保留三維空間構(gòu)型下的完整構(gòu)型信息，本文基于分布式無源雷達三維構(gòu)型下的二維投影成像平面進行討論，建模如下。

設第i個外輻射源所發(fā)出的信號形式為

Si(t)=ui(t)ej(2πfit+φi)

(1)

設空間中目標的散射系數(shù)為σ(r,θ,φ)，對應二維平面直角坐標是σ(x,y)，則投影后得到二維平面上第j個接收機所接收到的第i個外輻射源信號經(jīng)目標反射回來的回波為

ej(2πfi(t-Δtij)+φi)dxdy+nj(t)

(2)

式中，s為輻射源照射的平面成像區(qū)，α為回波傳播衰減系數(shù)，Δtij為傳播時延，nj(t)為接收噪聲。實際場景下可對信號的傳播路徑做遠場近似，同時對回波進行去載頻去噪處理[18]，總的散射回波可表示為

G(f,θi,θj,φi,φj)=

ej2πfi[(cosθicosφi+cosθjcosφj)y]/cdxdy

(3)

利用時間與空間、頻譜與波數(shù)譜具有對偶關系，將多通道獲得的目標回波信息轉(zhuǎn)換到空間譜去處理，令

(4)

式中：i=1,…，M;j=1,…,N；(kx,ky)構(gòu)成回波的空間譜域，kx，ky組成空間譜域的填充點?？傻?/p>

(5)

式中，G(kx,ky)為空間譜域觀測樣本。從式(5)可得目標回波G(kx,ky)與目標散射系數(shù)σ(x,y)之間構(gòu)成了傅里葉映射關系對。每一個輻射源和每一個接收機構(gòu)成一路采樣通道，對應于空間譜域上的一個填充點，分布式的空間分布就形成了多路采樣通道，映射為整個空間譜填充，空間譜填充結(jié)果由收發(fā)布站構(gòu)型和發(fā)射信號決定，若空間譜填充是相對均勻的，則通過式(5)利用傅里葉逆變換就能反演出目標像。而實際構(gòu)型下空間譜填充有以下關系：

(6)

式中，λi=c/fi。式(6)表明，在投影下的成像模型中回波信號采樣在空間譜中的填充點是關于輻射源波長、輻射源和接收機方位角及俯仰角大小的兩條非規(guī)則弧線的交點，式(6)所示關系表明空間譜填充點的分布必然是非均勻的，如圖2所示為任一構(gòu)型仿真結(jié)果示例。

圖2 空間譜填充點分布情況示意圖

從空間譜的填充結(jié)果可以很直觀地分析目標回波采樣數(shù)據(jù)的分布情況，因此，考慮通過空間譜域填充的角度分析分布式無源雷達的成像性能和對成像算法進行分析研究是一個很好的方法[3]。

2 基于二維FGG-NUFFT分布式無源雷達成像算法

本文給出基于快速高斯網(wǎng)格(FGG)的NUFFT算法，主要從信號采樣角度和卷積尺度方面對非均勻回波進行處理，實現(xiàn)分布式無源雷達目標圖像重建的同時且大幅度提高冗余數(shù)據(jù)的運算速度，具體算法推導如下。

根據(jù)式(5)求目標散射函數(shù)方程并離散化得

(7)

式中，-Mo/2≤xi,yj≤Mo/2，Mo為散射系數(shù)維數(shù)，MN表示總的采樣通道，kxq，kyq為頻域上的采樣點且在各自方向上是非均勻排列的。設

δ(kX-kxq,kY-kyq)

(8)

式中，δ(·)表示狄拉克δ函數(shù)。顯然可以看出G(kX,kY)在網(wǎng)格中是非均勻排布的。由文獻[19]可知，NUFFT的核心思想是利用窗函數(shù)對非均勻的原始數(shù)據(jù)進行加權(quán)平滑，因此窗函數(shù)的選擇至關重要，文獻[16-17]在研究中得出高斯核函數(shù)具有鐘型結(jié)構(gòu)，是一個用于平滑效果很好的卷積核的結(jié)論。因此，為實現(xiàn)對分布式無源雷達目標回波非均勻采樣數(shù)據(jù)進行良好的平滑處理，本文選擇周期為[0,2π]×[0,2π]的二維高斯周期核函數(shù)作為卷積核，即窗函數(shù)，表示如下：

e-(kY-2l2π)2/4τ

(9)

式中，τ為高斯核函數(shù)參數(shù)，決定核函數(shù)的指數(shù)衰減率。接著對G(kX,kY)做卷積運算，得

Gτ(kX,kY)=G(kX,kY)*gτ(kX,kY)=

gτ(kX-ξX,kY-ξY)dξXdξY

(10)

則Gτ(kX,kY)經(jīng)過高斯平滑后可利用標準FFT在過采樣網(wǎng)格上進行高精度計算，首先對其進行均勻過采樣，得

Gτ(mΔw,nΔw)=

(11)

式中，m，n為網(wǎng)格采樣點，Δw為過采樣時采樣間隔，Δw=2π/Mr，Mr為過采樣點數(shù)。接著對Gτ(mΔw,nΔw)進行FFT可得其離散傅里葉變換譜為

e-j(ximΔw+yjnΔw)

(12)

最后必須消除窗函數(shù)gτ(kX,kY)造成的平滑效應，進行去卷積處理得到最終的反演目標函數(shù)為

(13)

在求式(11)時，需要遍歷所有非均勻分布的數(shù)據(jù)點(kxq，kxq)，可想而知運算量極大，因此可利用高斯核函數(shù)的指數(shù)衰減特性，對遠離(kxq，kxq)的網(wǎng)格點忽略不計，設置網(wǎng)格擴散范圍，只考慮(mΔw,nΔw)附近的Msp個點(Msp=6為單精度；Msp=12為雙精度[16])，則將大大降低運算量。同時對高斯核函數(shù)式(9)指數(shù)項考慮使用分裂思想進行分解可得

e-(kX-2l1π)2/4τ·e-(kY-2l2π)2/4τ=

e-(kX2+kY2)/4τ·ekXπl(wèi)1/τ·ekYπl(wèi)2/τ·

e-(πl(wèi)1)2/τ·e-(πl(wèi)2)2/τ

(14)

式(14)的后兩項與kX，kY無關，因此對非均勻數(shù)據(jù)點平滑處理時只需預計算一次，避免了重復計算，減少了計算所占的內(nèi)存空間。

綜合上述，可將基于FGG-NUFFT的分布式無源雷達成像算法概述如下：

1) 設置過采樣比例R=Mr/Mo，網(wǎng)格擴散參數(shù)Msp，高斯核函數(shù)參數(shù)τ=πMsp/[Mo2R(R-0.5)]，核參數(shù)精度根據(jù)需要確定；

2) 預計算和存儲高斯核參數(shù)與非均勻點無關的固定指數(shù)項；

3) 找到非均勻采樣數(shù)據(jù)過采樣網(wǎng)格上小于或等于(kX,kY)最近的均勻網(wǎng)格點(ζ1,ζ2)=Δw(m,n)；

4) 將高斯核函數(shù)與回波采樣信號進行卷積平滑處理，計算式(10)、式(11)；

3 仿真實驗與分析

先對分布式無源雷達的空間譜填充非均勻性進行分析，從式(4)可發(fā)現(xiàn)空間譜填充結(jié)果受外輻射源載頻、收發(fā)站數(shù)量、布站情況等因子影響。本仿真實驗選擇收發(fā)站的空間布站影響因子對空間譜分布進行討論分析，然后再對FGG-NUFFT算法的成像效果進行驗證和評估。所有仿真實驗均采用相同設備和編程環(huán)境，所有操作均在Windows 10、CPU為2.6 GHz酷睿i5，內(nèi)存為4G的PC機上運行，編程環(huán)境為Matlab R2014a。

本文選取空中目標為研究對象，給出其二維強散射點模型，選取9個坐標點(-4,-2)，(-4,2)，(0,-4)，(0,0)，(0,4)，(2,-2)，(2,2)，(4,0)，(6,0)構(gòu)成飛機目標，如圖3所示。選擇地面電視基站信號作為外輻射源，以20個外輻射源、24個接收站進行空間布站仿真實驗。外輻射源的頻率采用480～632 MHz范圍，且假設以8 MHz為間隔均等分配，方位角φt在-108°～-70°，間隔2°均等分布，俯仰角θt在6°～ 14°間隔0.4°均等分布；保持上述條件不變，通過改變接收站的方位角或俯仰角改變系統(tǒng)的布站情況，設置3種布站構(gòu)型方式(如表1所示)，并針對每一種構(gòu)型進行分析討論。

表1 接收站仿真參數(shù)

圖3 目標強散射點模型

3.1 空間譜非均勻度特性分析

首先分別對3種構(gòu)型的空間譜分布情況仿真實驗，如圖4所示。

對空間譜填充點的分布情況進行分析，將圖4(a)空間譜局部填充區(qū)域利用相同的矩形框進行放大，如圖5所示。

(a) 構(gòu)型1

(b) 構(gòu)型2

(c) 構(gòu)型3

圖5 構(gòu)型1空間譜局部填充區(qū)域放大圖

(15)

為了更客觀地描述不同條件下的空間譜填充的非均勻程度，本文建立了3項評估指標對其進行量化分析，分別是空間譜支撐域大小、空間譜扭曲度和空間譜RMSE，根據(jù)已有知識[9]，在支撐域一定時一般空間譜扭曲度越小越均勻，空間譜RMSE越小越均勻，因此需綜合利用這三項評估指標實現(xiàn)對空間譜填充質(zhì)量的評價。

空間譜支撐域是對空間譜填充最大范圍的表示，分別用Δkxmax和Δkymax表示kx，ky方向上的最大填充范圍，Δkxmax和Δkymax組成的矩形區(qū)域即空間譜的支撐域大小，如圖5所示；空間譜扭曲程度由空間譜填充弧線的曲率Kq來表示，由式(4)可知，每一個接收機接收到的所有外輻射源的回波對應空間譜填充的一條弧線，曲率公式如式(16)所示；空間譜RMSE表示整個空間譜填充點之間的離散程度，計算公式如式(17)。

(16)

(17)

基于上述三種構(gòu)型，計算各空間譜填充結(jié)果評價指標如表2所示。

表2 空間譜非均勻度指標分析

從表2數(shù)據(jù)對空間譜填充質(zhì)量進行量化分析，此仿真實驗是在控制相同收發(fā)機數(shù)量的條件下進行的，即空間譜填充點的數(shù)量一樣。構(gòu)型1與構(gòu)型2是基于方位角的角度分析，在保持外輻射方位角不變的情況下，改變收發(fā)站的方位角相對位置，構(gòu)型2的支撐域變小了，空間譜填充變得更緊致，但其扭曲程度較構(gòu)型1變大，縱向的扭曲程度變化更明顯，同時RMSE增大，綜合指標分析構(gòu)型2空間譜非均勻度增加；同理可分析構(gòu)型3空間譜填充的非均勻度，得出構(gòu)型3較構(gòu)型2的空間譜填充非均勻度進一步增加。通過對空間譜量化可基本實現(xiàn)對不同條件下空間譜非均勻度的客觀比較，本文建立的3項評估指標可推廣到其他不同影響因子影響下的空間譜分析案例中去。

3.2 FGG-NUFFT成像算法仿真及空間譜非均勻度影響成像質(zhì)量驗證

基于上述空間譜的分析結(jié)果進行仿真驗證，為了證明FGG-NUFFT算法的有效性以及驗證本文成像算法對非均勻度空間譜的適應性，與目前已有的一些分布式無源雷達成像方法：常規(guī)插值法[3]、文獻[15]中基于余弦尺度因子的NUFFT算法和文獻[9]逐點匹配濾波法進行對比。成像仿真結(jié)果對比如圖6所示。

為評估3種算法的成像質(zhì)量，參考文獻[10]中的精度評價指標L2，定義目標反演成像誤差為式(18)。

(18)

式中，g′表示重建圖像，g表示用于成像質(zhì)量對比的參考圖像，這里以均勻致密空間譜下的良好重建圖像作為參考圖。文獻[15]NUFFT法、文獻[9]逐點匹配濾波與本文FGG-NUFFT法誤差如圖7所示，由于插值法誤差過大不列入繪圖對比。

圖6 目標反演成像結(jié)果對比

最后針對每種構(gòu)型下3種算法進行效率對比，仿真時間如表3所示，單位是s。

如圖6所示，3種構(gòu)型下插值法都不能較好地進行目標反演，而本文算法和文獻[9]、文獻[15]方法都能較好地將目標進行反演，但總體上本文的FGG-NUFFT比文獻[15]方法效果要好，與文獻[9]效果差不多。從圖7誤差分析上，可以看出3種構(gòu)型下3種非均勻快速傅里葉變換算法重建目標的誤差都控制在5%以下，且本文方法FGG-NUFFT成像精度相較文獻[15]的NUFFT高；從表3運算時間效率上，本文FGG-NUFFT明顯優(yōu)于其他3種方法，在實際大批量數(shù)據(jù)運算時將占絕對優(yōu)勢，總體上本文算法在成像質(zhì)量和效率上優(yōu)于其他方法。

表3 目標反演成像運算時間

圖7 誤差分析對比圖

圖7中橫坐標構(gòu)型1、構(gòu)型2、構(gòu)型3分別指各自的空間譜非均勻度，且構(gòu)型3的空間譜非均勻度>構(gòu)型2的空間譜非均勻度>構(gòu)型1的空間譜非均勻度。

4種方法都受空間譜非均勻度的直接影響，隨著空間譜非均勻度的增加，成像質(zhì)量會隨之變差，NUFFT算法對空間譜的填充質(zhì)量有著一定的要求，與空間譜的支撐域、扭曲程度、離散程度密切關聯(lián)，因此可通過空間譜的3項評價指標優(yōu)化空間譜分布的各影響因子，獲得相對均勻的空間譜填充，獲得高質(zhì)量的目標反演像。

4 結(jié)束語

本文基于空間譜分析和FGG-NUFFT成像算法對分布式無源雷達成像進行了研究分析，針對分布式無源雷達非規(guī)則構(gòu)型和外輻射源非合作導致目標回波采樣數(shù)據(jù)在空間譜域的填充往往是非均勻的問題，本文對其進行定量分析評估空間譜的非均勻度，提出3種簡單評價指標，空間譜非均勻度評價指標的提出對改善空間譜填充和算法效果的驗證具有指導意義；利用一種具有更好平滑效果的快速高斯網(wǎng)格NUFFT算法，進一步改善空間譜非均勻填充下的成像質(zhì)量，同時大幅提升計算效率，對非均勻填充的空間譜具有一定的適用性。