文陳正亮
在戰(zhàn)爭中,將帥經(jīng)常通過排兵布陣來迷惑對手,以最小的代價換取最大的殺傷力。但作為對手方,如何找到此陣法的弱點即突破口,應該是最重要的事情了。數(shù)學解題過程中,命題人“絞盡腦汁”設下的局,而同學們該怎樣才能撥開重重迷霧,找到線索,一舉拿下呢?在此老師舉一例,希望同學們細細品味。
例 (1)【操作與發(fā)現(xiàn)】如圖1,在△MNQ中,MQ≠NQ。請你以MN為一邊,在MN的同側(cè)構(gòu)造一個與△MNQ全等的三角形,畫出圖形,并簡要說明構(gòu)造的方法。
(2)【借鑒與應用】參考你畫圖構(gòu)造全等三角形的方法解決下面問題:如圖2,在四邊形ABCD中,∠ACB+∠CAD=180°,∠B=∠D,求證:CD=AB。
解:(1)如圖1,以N為圓心,以MQ為半徑畫圓弧;以M為圓心,以NQ為半徑畫圓弧;兩弧的交點為點P?!鱊MP即為所畫的三角形。根據(jù)“SSS”可以判斷△NMP與△MNQ全等。
【分析】(2)觀察條件∠ACB+∠CAD=180°,兩個角是內(nèi)錯角,分別位于兩個三角形中。聯(lián)系曾經(jīng)學過的知識點,涉及兩個角互補的問題,常見的思路有:鄰補角的定義;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補;當然還有圓的內(nèi)接四邊形內(nèi)對角互補。千萬不能小看自己冒出的思維火花,用好以上的這些知識點就相當于獲取了解題的法寶。
解法一:如圖4,延長BC至E,使得CE=AD,連接AE。
在△EAC和△DCA中,
解法二:如圖5,與解法一類似,延長DA到點E,使得AE=BC,連接EC。同學們可以參照解法一自行完成。
解法三:如圖6,過點C作AD的平行線,在平行線上截取CE=CB,連接
AE。
在△EAC和△BAC中,
解法四:如圖7,過點A作CB的平行線,在平行線上截取AF=AD,連接CF。同學們可以參照解法三自行完成。
本題的難點在于構(gòu)造全等三角形,然后轉(zhuǎn)化相應的線段和角。點穴破陣的關鍵在于如何轉(zhuǎn)化兩個互補角這個條件,然后選擇屬于你的好方法,剩下的就是你大膽發(fā)揮的空間了。