文何君青
近幾年來,各地中考加強(qiáng)了對函數(shù)的意義和性質(zhì)的考查,凸顯了數(shù)形結(jié)合思想,增強(qiáng)了對運用函數(shù)模型解決問題的意識與能力的考查。這些試題不僅考查了函數(shù)的相關(guān)概念,還考查了函數(shù)與數(shù)學(xué)其他知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,如函數(shù)與方程的聯(lián)系、函數(shù)圖像與幾何圖形的聯(lián)系等。本文就以函數(shù)中幾個容易答錯的問題為例予以剖析,以期對同學(xué)們的復(fù)習(xí)有所幫助。
圖像以幾何直觀的方式體現(xiàn)量與量之間的關(guān)系,對揭示函數(shù)的性質(zhì)、探索幾何圖形特征、解決實際問題都具有較好的價值與意義。
A.y1<y2B.y1>y2
C.y1=y2D.不能確定
【錯解】B。
【錯因分析】反比例函數(shù)圖像的增減性是這樣描述的:當(dāng)k>0 時,在每一象限內(nèi),y隨x的增大而減??;當(dāng)k<0 時,在每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大。做題時,很多同學(xué)容易忽視反比例函數(shù)增減性中“在每一象限內(nèi)”這一條件,故而做錯此題。
【正解】D。
例2 “如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個公共點,那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有兩個不相等的實數(shù)根?!薄K科版《數(shù)學(xué)》九年級(下冊)P25。參考上述教材中的話,判斷方程x2-實數(shù)根的情況是( )。
A.有三個實數(shù)根
B.有兩個實數(shù)根
C.有一個實數(shù)根
D.無實數(shù)根
【錯解】B。
【錯因分析】很多同學(xué)做此題時,不能將教材中二次函數(shù)圖像與x軸的交點問題和相對應(yīng)的一元二次方程的解的個數(shù)問題遷移至判斷方程實數(shù)根的情況中,從而憑借感覺錯選B。
【正解】解決本題,只需畫出二次函數(shù)y=x2-2x+2 的圖像與反比例函數(shù)的圖像,再數(shù)出圖像公共點的個數(shù)即可,故選C。
應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題是各地數(shù)學(xué)中考中必不可少的內(nèi)容。這類試題主要考查同學(xué)們運用函數(shù)模型分析、解決實際問題的能力及建模思想。
例3 (2018·浙江嘉興)小紅幫弟弟蕩秋千(如圖1),秋千離地面的高度h(m)與擺動時間t(s)之間的關(guān)系如圖2所示。
(1)根據(jù)函數(shù)的定義,請判斷變量h是否為關(guān)于t的函數(shù)?
(2)結(jié)合圖像回答:
①當(dāng)t=0.7s時,h的值是多少?并說明它的實際意義。
②秋千擺動第一個來回需多少時間?
【錯解】第(1)小題中變量h不是t的函數(shù)。
【錯因分析】由于我們在初中階段主要學(xué)習(xí)三種函數(shù):一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù),故會錯誤地認(rèn)為函數(shù)的圖像不是直線就是雙曲線或是拋物線。這是對函數(shù)的實質(zhì)認(rèn)識不清晰所致。
【正解】(1)因為對于每一個擺動時間t,都有一個唯一的h的值與其對應(yīng),所以變量h是關(guān)于t的函數(shù)。
(2)①h=0.5m。它的實際意義是秋千擺動0.7s時,離地面的高度為0.5m。
②2.8s。
例4 如圖3,AB=5,P是線段AB上的動點,分別以AP、BP為邊,在線段AB的同側(cè)作正方形APCD和正方形BPEF,連接CF,則CF的最小值是 。
【錯解】2.5。
【錯因分析】很多同學(xué)在做此題時,無從下手,憑直觀感覺猜測當(dāng)點P為AB中點時,CF的值最小。
【正解】設(shè)AP=x(0≤x≤5),則EF=5-x,EC=5-2x。
所以當(dāng)AP=3 時,CF有最小值,最小值是
很多地區(qū)的壓軸題都以函數(shù)為主要知識載體,將眾多知識有機(jī)聯(lián)系,著重考查同學(xué)們的綜合能力,同時對所運用的數(shù)學(xué)方法提出了較高的要求。
例5 如圖4,把函數(shù)y=x的圖像上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,橫坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=2x的圖像;也可以把函數(shù)y=x的圖像上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼目v坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=2x的圖像。
類似地,我們可以認(rèn)識其他函數(shù)。
(2)已知下列變化:①向下平移2個單位長度;②向右平移1個單位長度;③向右平移個單位長度;④縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍,橫坐標(biāo)不變;⑤橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,縱坐標(biāo)不變;⑥橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變。
(ⅰ)函數(shù)y=x2的圖像上所有的點經(jīng)過④→②→①,得到函數(shù)的圖像;
(ⅱ)為了得到函數(shù)的圖像,可以把函數(shù)y=-x2的圖像上所有的點( )。
A.①→⑤→③ B.①→⑥→③
C.①→②→⑥ D.①→③→⑥
【錯因分析】由于對題目中的閱讀材料理解不到位,認(rèn)為縱坐標(biāo)變成原來的6倍與橫坐標(biāo)變成原來的意義一樣。這是將生活感受與本題結(jié)合的錯解,從而導(dǎo)致第(2)小題也會出現(xiàn)類似錯誤。
【正解】(1)6,6。(2)(ⅰ)y=4(x-1)2-2。(ⅱ)D。