劉書言, 于 靜

(遼寧石油化工大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 撫順 113001)

在凝聚態(tài)物理中,材料的宏觀性質(zhì)與能帶結(jié)構(gòu)有著密不可分的聯(lián)系。根據(jù)能帶的填充情況,可以將材料劃分為金屬、半導(dǎo)體和絕緣體[1]。隨著對(duì)拓?fù)湮飸B(tài)研究的不斷深入,傳統(tǒng)意義上的能帶理論也被極大地拓展,材料的類別被更詳細(xì)地劃分。對(duì)拓?fù)湮飸B(tài)的研究已成為凝聚態(tài)物理學(xué)的重點(diǎn)研究方向之一[2]。Lieb lattice模型不僅具有獨(dú)特的簡(jiǎn)立方對(duì)稱結(jié)構(gòu),在該模型上可以研究量子霍爾效應(yīng)[3]和量子反?；魻栃?yīng)[4],探究拓?fù)淞孔酉嘧兯枰臈l件還具有其他有趣的性質(zhì),如非線性衍射、超導(dǎo)躍遷、自旋漲落與超導(dǎo)配對(duì)對(duì)稱性[5],磁霍爾效應(yīng),磁相圖,分?jǐn)?shù)階chern絕緣子[6]等。近年來,已有多個(gè)研究團(tuán)隊(duì)對(duì)二維(2D)Lieb lattice模型進(jìn)行深入研究并取得突破性的進(jìn)展[7-10],但對(duì)三維(3D)的研究還處于初級(jí)階段。本文研究了3D模型的能譜特征,并在模型上施加自旋軌道耦合作用,分析了對(duì)其能譜產(chǎn)生的影響。

1 3D Lieb lattice模型

2D Lieb lattice模型是一種具有各向同性最近鄰躍遷的正方邊心格子[11]。由于其特殊的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)在近些年得到了研究者們廣泛的關(guān)注與研究。2D Lieb lattice模型上的每個(gè)原胞中都含有3個(gè)不同的原子,其幾何結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示,3個(gè)原子分別標(biāo)記為A,B,C,2個(gè)最近鄰格點(diǎn)間的晶格常數(shù)為a[12]。在Lieb lattice模型上可以實(shí)現(xiàn)對(duì)拓?fù)湮镔|(zhì)狀態(tài)的研究。其能譜是由在單個(gè)Dirac點(diǎn)上接觸的2個(gè)色散帶和1個(gè)零能平帶組成的具有對(duì)稱性的三能帶結(jié)構(gòu),這也是Lieb lattice模型最為顯著的特點(diǎn)。對(duì)于2D Lieb lattice模型,在沒有自旋軌道耦合作用時(shí),其能譜中的2個(gè)色散帶始終有1個(gè)接觸點(diǎn)位于零能平帶上,也就是說其能帶間隙始終是閉合狀態(tài)。而若想打開其能帶間隙則必須要施加1個(gè)非零的自旋軌道耦合作用[13]。這不禁引起了本文思考,這一特性在3D Lieb lattice模型中是否也同樣適用。

本文在2D Lieb lattice模型中施加層間耦合作用,可以得到如圖1(b)所示的立方結(jié)構(gòu),該立方結(jié)構(gòu)仍然是由A,B,C 3種原子構(gòu)成,模型的晶格常數(shù)為a。

(a)—2D Lieb lattice模型; (b)—3D Lieb lattice模型圖1 Lieb lattice模型Fig.1 Lieb lattice model

在緊束縛近似下,該模型的哈密頓量由以下幾部分組成,可以表示為

H=H0+H1+H2+HI

其中:H0為化學(xué)勢(shì)項(xiàng);H1為最近鄰格點(diǎn)之間的躍遷項(xiàng);H2為次次近鄰格點(diǎn)之間的躍遷項(xiàng):

模型的哈密頓量在動(dòng)量空間可以表示為

基矢為Ψk=(cA,k,↑,cB,k,↑,cC,k,↑,cA,k,↓,cB,k,↓,cC,k,↓)T,在此基礎(chǔ)上,其哈密頓量可以展開成為矩陣的形式:

為方便計(jì)算,均取晶格常數(shù)a為單位長(zhǎng)度1,其中h±(k)可以表示為

其中:Cu=cos(ku);u=x,y,z;Cu/2=cos(ku/2);Su/2=sin(ku/2)。

對(duì)此哈密頓矩陣進(jìn)行對(duì)角化,可以得到該立方格子模型的體能帶表達(dá)式為

其中Cx±y=cos(kx±ky)。若不考慮次次近鄰躍遷,3D Lieb lattice模型將退化成2D Lieb lattice模型,取λ=0,t′=0,ky=kz=π,取t為單位能量,可以看到圖2(a)所示的處于簡(jiǎn)并狀態(tài)的能帶圖,由圖像可以觀察到中間的能帶為平帶,上下2條色散帶與該平帶相形成狄拉克錐結(jié)構(gòu),3條能帶有且僅有1個(gè)簡(jiǎn)并點(diǎn)在(π,π,π)。

(a)—t=1; μ=0.5;λ=0; t′=0; ky=kz=π; (b)—t=1; μ=0.5; λ=0; t′=0.1; ky=kz=π;(c)—t=1; μ=0.5; λ=0.1; t′=0.1; ky=kz=π; (d)—t=1; μ=0.5; λ=0.2; t′=0.1; ky=kz=π圖2 3D Lieb lattice模型能譜Fig.2 Energy spectrum of 3D Lieb lattice model

若在此基礎(chǔ)上加入層間次次近鄰躍遷的影響,看到如圖2(b)的能帶圖,通過和圖2(a)的對(duì)比不難看出其能譜圖像仍為狄拉克錐結(jié)構(gòu),3條能帶在(π,π,π)點(diǎn)有且僅有一個(gè)簡(jiǎn)并點(diǎn)。不同的是,加入次次近鄰作用后其中間的能帶在零能附近,為近似平帶。當(dāng)施加自旋軌道耦合作用在次近鄰躍遷上,即λ≠0時(shí)可以得到如圖2(c) 所示的能譜圖像,可以看到當(dāng)λ≠0時(shí),能帶間打開了一個(gè)完整的間隙,并且隨著自旋軌道耦合強(qiáng)度的增加,能隙將越來越大(圖2(d))。

2 3D廣義Lieb lattice模型

圖3 3D廣義Lieb lattice模型,由A(方形), B(圓形),C(三角形)3個(gè)原子組成Fig.3 3D generalized Lieb lattice model, consisting of three atoms: A(square), B(circle) and C(triangle)

上一節(jié)本文將2D Lieb lattice模型加入層間耦合從而得到1個(gè)新的3D Lieb lattice模型,討論了其能譜隨自旋軌道耦合強(qiáng)度的改變從而發(fā)生的變化,得到的結(jié)果與2D Lieb lattice模型類似,即要想打開能帶間隙消除簡(jiǎn)并點(diǎn)的必要條件是施加非零的自旋軌道耦合作用,那么對(duì)于這一結(jié)論是否適用于3D廣義Lieb lattice模型呢?3D廣義Lieb lattice模型同樣是由A,B,C 3種原子組成,值得注意的是,3種類型的原子不僅存在于立方體的邊和面心上,在立方體的中心還存在1個(gè)A原子(圖3)。

在緊束縛近似下,該模型的哈密頓量可以表示為

該哈密頓量的基矢為

Ψk=(cA,k,↑,cB,k,↑,cC,k,↑,cA,k,↓,cB,k,↓,cC,k,↓)T,

在此基礎(chǔ)上,哈密頓矩陣可表示為

h±(k)可以表示為

其中:Cu=cos(ku);Cu/2=cos(ku/2),u=x,y,z。

選取參數(shù)t1= 1,t2= 0.8,t3= 0.5,t4=0.1,t5= 0.2,ky=kz=π,并對(duì)角化該矩陣得到圖4(a),由圖像可知,在未施加自旋軌道耦合作用時(shí),廣義三維Lieb lattice模型的能譜圖像仍是由3條能帶構(gòu)成且在低能下呈狄拉克錐結(jié)構(gòu),上下2條色散帶與中間帶有1個(gè)簡(jiǎn)并點(diǎn), 中間帶在零帶附近為近似平帶。

若只在該模型其中1個(gè)平面(如XY平面)的次近鄰躍遷上施加自旋軌道耦合作用時(shí),

其中:Sx/2=sinx/2;Sy/2=siny/2;λ為自旋軌道耦合強(qiáng)度。

選取參數(shù)kz=π,t3=t4=t5時(shí)對(duì)矩陣進(jìn)行對(duì)角化可以得到三維廣義Lieb lattice模型的能帶表達(dá)式為

其中:Cu=cosku,Cx±y=cos(kx±ky)。

取各個(gè)躍遷項(xiàng)躍遷強(qiáng)度參數(shù)為t1=1,t2=0.8,t3=0.5,t4=0.1,t5=0.2,λ=0.2,且kz=ky=π時(shí),可以得到圖4(b)所示的能譜圖。

(a)—無自旋軌道耦合作用; (b)—在XY平面施加自旋軌道耦合作用圖4 3D廣義Lieb lattice模型能譜圖Fig.4 Energy spectrum of 3D generalized Lieb lattice model

在XZ與YZ平面的次近鄰躍遷上施加自旋軌道耦合作用得到的帶隙結(jié)構(gòu)與在XY平面施加自旋軌道耦合作用相似。因此,若要在能帶中間打開1個(gè)完整的帶隙,可以通過在模型空間中的任意1個(gè)平面施加自旋軌道耦合作用來實(shí)現(xiàn)。

3 結(jié) 論

本文在自旋軌道耦合作用存在的情況下研究和討論了2種3D Lieb lattice模型的能譜結(jié)構(gòu)。研究結(jié)果表明,在3D Lieb lattice模型中,加入次次近鄰躍遷會(huì)影響其能譜圖像中的零帶,使其產(chǎn)生帶寬成為近似零平帶。若在模型中加入自旋軌道耦合作用,當(dāng)自旋軌道耦合強(qiáng)度為零時(shí),其能譜由3條能帶組成,且3條能帶有且僅有1個(gè)簡(jiǎn)并點(diǎn),只有在自旋軌道耦合強(qiáng)度不為零時(shí),才能打開其能帶間隙,并隨著自旋軌道耦合強(qiáng)度的增加,能帶間隙會(huì)逐漸變大。

Lieb lattice模型為研究拓?fù)湮镔|(zhì)的特性和拓?fù)淞孔酉嘧兲峁┝丝赡?在該模型上施加自旋軌道耦合作用時(shí)其能帶間隙被打開,這一研究有助于實(shí)現(xiàn)物質(zhì)由其拓?fù)浒虢饘傩缘酵負(fù)浣^緣體性的轉(zhuǎn)變。