余澍民

(中國(guó)電子科技集團(tuán)第三十八研究所，安徽 合肥 230088)

0 引言

人字齒輪因其重合度高、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于船舶和航空等各個(gè)傳動(dòng)領(lǐng)域[1]；但在人字齒輪傳動(dòng)中由于誤差和變形不可避免，會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲影響系統(tǒng)使用壽命和可靠性，而適當(dāng)?shù)男扌慰梢杂行У馗纳讫X面載荷分布不均，降低受載產(chǎn)生的應(yīng)力集中。因此修形在高速重載人字齒輪傳動(dòng)中顯得尤為重要。

Wu等[2]通過有限元靜力學(xué)分析確定最優(yōu)齒廓修形類型及修形參數(shù)，通過動(dòng)態(tài)接觸試驗(yàn)證明齒廓修形在減振方面的作用，但未涉及到齒向修形理論。宋樂明等[3-4]展開了齒向修形的理論研究與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得出鼓形設(shè)計(jì)的齒輪即使在歪斜度較大的情況下也能保證接觸端面相切不相交，避免棱邊效應(yīng)。但是并未考慮到由于制造、安裝誤差和變形的存在，兩端斜齒輪傳動(dòng)時(shí)左右不完全對(duì)稱造成兩端傳遞扭矩的不同，導(dǎo)致兩端受載變形的扭轉(zhuǎn)角不相同，在對(duì)人字齒輪進(jìn)行鼓形修形時(shí)，應(yīng)對(duì)兩側(cè)斜齒修形量單獨(dú)考慮。袁哲等[5]采用有限元計(jì)算時(shí)變嚙合剛度，并結(jié)合遺傳算法進(jìn)行齒輪修形優(yōu)化，取得了較好的減振優(yōu)化效果。雖然基于有限元法的齒輪修形優(yōu)化精度高，但因?yàn)樾扌嗡枰拇罅繕颖就ㄟ^有限元法計(jì)算龐大且操作煩瑣，每一次樣本需手動(dòng)調(diào)節(jié)不同嚙合位置，通過不同嚙合位置結(jié)果擬合曲線然后由傅里葉展開得到時(shí)變嚙合剛度函數(shù)[6-8]。為減少計(jì)算量，優(yōu)化模型有必要對(duì)齒輪修形做進(jìn)一步研究。

本文針對(duì)人字齒輪傳動(dòng)，對(duì)人字齒輪兩側(cè)鼓形修形量分開研究，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與Kriging多響應(yīng)預(yù)測(cè)模型結(jié)合，建立時(shí)變嚙合剛度各參數(shù)的響應(yīng)面，基于人字齒輪彎扭軸耦合動(dòng)力學(xué)模型，以動(dòng)載系數(shù)最小來確定兩側(cè)最佳鼓形修形參數(shù)，并與傳統(tǒng)ISO修形方法對(duì)比，確定了本文最佳修形設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 齒向修形理論

1.1 齒向修形方法

人字齒輪齒向修形主要包括鼓形修形、齒端修形和螺旋線修形。由于齒端修形只能進(jìn)行端面附近的局部修形，而齒輪傳動(dòng)中由于誤差和變形的存在，在端面容易造成應(yīng)力集中，影響修形效果；螺旋線修形微量改變螺旋角的大小，其效果比齒端修形要好但是由于改變的角度很小，不易加工控制；鼓形修形是采用一種等半徑圓弧來設(shè)計(jì)修形，可以有效地補(bǔ)償齒輪制造誤差和受載變形，如圖1所示。本文主要研究的是鼓形修形[9]。

圖1 鼓形修形示意

由于人字齒輪兩側(cè)傳遞扭矩不同導(dǎo)致變形的扭轉(zhuǎn)角不一致，對(duì)人字齒輪兩端修形量單獨(dú)考慮，Δ1和Δ2分別為輸出端斜齒和輸入端斜齒鼓形修形量。

在齒輪手冊(cè)[10]，鼓形修形量計(jì)算公式

Δ=0.5(fsh+1.5fHβ)+5～10

(1)

fsh,fHβ分別為綜合變形產(chǎn)生的嚙合齒向誤差分量和螺旋線傾斜極限偏差;Δ為鼓形量。

對(duì)于高精度、高可靠度的高速齒輪，鼓形修形量Δ為上述計(jì)算值的60%～70%,即鼓形修形量為10≤Δ≤25 μm，加上制造誤差5 μm。

2 預(yù)測(cè)嚙合剛度的Kriging改進(jìn)算法

為了探究人字齒輪修形參數(shù)與剛度的關(guān)系，建立Kriging預(yù)測(cè)模型。Kriging預(yù)測(cè)模型適用于強(qiáng)非線性空間估計(jì)問題，在工程優(yōu)化領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[11]。但是在求解過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)已知樣本點(diǎn)達(dá)到75組以上時(shí)，Kriging預(yù)測(cè)模型才有實(shí)際意義。由于用有限元法獲取樣本復(fù)雜。為此對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，即采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過20組訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)出75組樣本數(shù)據(jù)，為Kriging預(yù)測(cè)模型提供樣本，大大減小了計(jì)算量。

2.1 有限元綜合嚙合剛度計(jì)算與數(shù)據(jù)處理

采用有限元法計(jì)算人字齒輪時(shí)變嚙合剛度，人字齒輪參數(shù)如表1所示。

在1個(gè)齒輪嚙合周期內(nèi)均勻提取10個(gè)位置，可以轉(zhuǎn)換為通過旋轉(zhuǎn)相同的角度得到10個(gè)不同嚙合位置的模型，分別導(dǎo)入ANSYS軟件中給主動(dòng)輪施加轉(zhuǎn)矩T=5 094 N·m,從動(dòng)輪約束6個(gè)自由度，求得從動(dòng)輪嚙合線上的變形量l，由此可求出人字齒輪綜合嚙合剛度。

表1 人字齒輪參數(shù)

(2)

(3)

(4)

θ為從動(dòng)輪變形角度；ra為從動(dòng)輪齒頂圓半徑；rb為從動(dòng)輪基圓半徑；T為主動(dòng)輪施加的轉(zhuǎn)矩;αt為端面壓力角;βb為基圓螺旋角。

由于齒輪剛度激勵(lì)通常采用傅里葉變換，取其一階分量[12]，即

(5)

A為綜合嚙合剛度的半均值;ε為比例系數(shù)；φ為嚙合相位，只要確定了這3個(gè)參數(shù)，齒輪振動(dòng)微分方程的剛度激勵(lì)也就確定。

由1.1節(jié)知，兩側(cè)鼓形量Δ1和Δ2的取值范圍都在[10,25] μm.通過拉丁超立抽樣方法抽樣，在輸出端鼓形量Δ1區(qū)間[10,25] μm、輸入端鼓形量Δ2區(qū)間[10,25] μm進(jìn)行抽樣，抽樣75個(gè)點(diǎn)，其中前20組為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本，后55組為BP預(yù)測(cè)樣本，其中5組為檢驗(yàn)樣本。

利用訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并抽取5個(gè)預(yù)測(cè)的樣本，用有限元方法求解，求解后的數(shù)據(jù)如表2所示。

對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果與ANSYS有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行Pearson相關(guān)性分析，分析結(jié)果如表3所示。

由表3可見，Sig<0.01，A,ε,φ相關(guān)系數(shù)分別為0.918，0.929，0.924，查表3可得結(jié)論為極強(qiáng)相關(guān)，故BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)是合理的。

表2 BP預(yù)測(cè)樣本與有限元計(jì)算比較

表3 Pearson相關(guān)性分析

2.2 Kriging預(yù)測(cè)模型

Kriging預(yù)測(cè)模型采用Gaussion隨機(jī)過程函數(shù)，在某一點(diǎn)的預(yù)測(cè)是通過空間上已知所有點(diǎn)的數(shù)據(jù)加權(quán)求和得來的[13]。真實(shí)響應(yīng)值是由回歸多項(xiàng)式和隨機(jī)過程2個(gè)部分組成，即

f(x)Tβi,l+zl(x),l=1,…,q

(6)

f(x)=[f1(x),f2(x),…,fp(x)]T為回歸多項(xiàng)式基函數(shù)向量;{βi,l}為多項(xiàng)式參數(shù);zl(x)為第l個(gè)響應(yīng)分量對(duì)應(yīng)的Gaussian隨機(jī)過程函數(shù)協(xié)方差矩陣，表示為

(7)

w=[w1,w2,…,wn]T和x=[x1,x2,…,xn]T分別為2個(gè)不同的隨機(jī)變量；R(θ,w,x)為帶有參數(shù)θ的相關(guān)函數(shù)，Gaussian相關(guān)函數(shù)R(θ,w,x)可以表示為

(8)

考慮Kriging線性預(yù)測(cè)，未知點(diǎn)x的預(yù)測(cè)值可以表示為

(9)

c=c(x)=[c1(x),c2(x),…,cm(x)]T為待求權(quán)系數(shù)向量;Yi,j為試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)S=[s1,s2,…,sm]T處對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值。

為保證預(yù)測(cè)值無偏和預(yù)測(cè)均方誤差最小，即采用Lagrangian求最小值，可得

(10)

將BP得到的樣本數(shù)據(jù)導(dǎo)入Kriging預(yù)測(cè)模型中，分別得到A,ε,φ的預(yù)測(cè)面，利用拉丁抽樣抽取5組數(shù)據(jù)，并采用ANSYS有限元法計(jì)算再與其對(duì)比，如圖2所示。

圖2 各響應(yīng)值Kriging預(yù)測(cè)面與有限元結(jié)果對(duì)比

表4為ANSYS有限元法和Kriging多響應(yīng)預(yù)測(cè)法的結(jié)果，Pearson相關(guān)性分析結(jié)果如表5所示，發(fā)現(xiàn)在Sig<0.01的情況下，A,ε,φ相關(guān)性達(dá)到0.988，0.948，0.998查表為極強(qiáng)相關(guān)，證明采用Kriging多響應(yīng)預(yù)測(cè)模型的精確性。

表4 Kriging多響應(yīng)預(yù)測(cè)與ANSYS有限元計(jì)算

表5 Pearson相關(guān)性分析

3 人字齒輪動(dòng)力學(xué)模型求解

3.1 人字齒輪動(dòng)力學(xué)方程建立

本文建立一對(duì)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的三維離散模型，如圖3所示。對(duì)于單個(gè)人字齒來說，將其分為左右斜齒和中間退刀槽部分，每一部分具有徑向、軸向、軸線扭轉(zhuǎn)共4個(gè)自由度，加入輸入盤和輸出盤2個(gè)自由度，利用梁?jiǎn)卧▽⒆笥覂蛇呅饼X耦合起來獲得人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)共26個(gè)自由度的動(dòng)力學(xué)方程。

圖3 人字齒輪動(dòng)力學(xué)模型

(11)

系統(tǒng)的阻尼由比例阻尼矩陣表示[14]，為了推導(dǎo)的方便，在公式中不列舉。推導(dǎo)出的人字齒輪副中單側(cè)斜齒輪嚙合副j(j=L,R)的彎扭軸耦合線性動(dòng)力學(xué)方程為

(12)

Jin,Jout分別為輸入和輸出盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;θin,θout分別為輸入輸出盤的扭轉(zhuǎn)位移;θpM,θgM分別為主、從動(dòng)齒輪中間連接部分的扭轉(zhuǎn)位移量;kin,kout分別為輸入盤與主動(dòng)輪、輸出盤與從動(dòng)輪之間的扭轉(zhuǎn)剛度，cg=cos(g),sg=sin(g)，齒輪副δj相對(duì)嚙合位移為

δj=[(xpj-xgj)sψ+(ypj-ygj)cψ+rpjθpj+

rgjθgj]cβ+(zpj-zgj)sβ-ej

(13)

ej為齒輪副的靜態(tài)傳遞誤差，這里取5 μm。

人字齒輪左右兩側(cè)斜齒輪通過中間軸段固連在一起，利用有限元理論，采用Euler梁?jiǎn)卧刃俗铸X輪中間軸段，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有4個(gè)自由度，Euler梁質(zhì)量矩陣Me和剛度矩陣Ke如下，具體的矩陣見文獻(xiàn)[15]。

(14)

(15)

圖4為人字齒輪三片式模型，按照L、M、R節(jié)點(diǎn)組裝，中間節(jié)點(diǎn)通過軸承或花鍵剛度矩陣，將齒輪和支撐結(jié)構(gòu)相連。

圖4 人字齒輪三片式模型

連接結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量矩陣為

(16)

(17)

ζ=p,g，下標(biāo)e1,e2分別表示梁?jiǎn)卧?和梁?jiǎn)卧?。

系統(tǒng)的整體方程為

(18)

M為質(zhì)量矩陣;q為位移矢量;K為整個(gè)系統(tǒng)的剛度矩陣同，由嚙合剛度陣和支承剛度矩陣組成;F為力矩陣;C為阻尼矩陣，定義為

C=μK+vM

(19)

μ和v分別為比例系數(shù)和阻尼系數(shù)。

3.2 不同修形參數(shù)下的人字齒輪動(dòng)載系數(shù)

由3.1節(jié)可求出不同修形下人字齒輪副的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，即可得到不同修形下的動(dòng)載系數(shù)，其中動(dòng)載系數(shù)定義為動(dòng)態(tài)嚙合力與靜態(tài)嚙合力之比，即Kpg=Fpg/Fn，取每次穩(wěn)態(tài)下最大動(dòng)載系數(shù)建立響應(yīng)面如圖5所示。

圖5 不同修形參數(shù)下的人字齒輪動(dòng)載系數(shù)

通過響應(yīng)面可以得到在某些修形參數(shù)下，如輸出端修形量Δ1=20.253 2 μm，輸入端修形量Δ2=24.6 203 μm時(shí)，動(dòng)載系數(shù)達(dá)到最大值為1.654 3，這是因?yàn)槿俗铸X輪傳動(dòng)時(shí)由于制造和誤差所引起的齒面載荷從動(dòng)力輸入端至輸出端逐漸降低，且隨著齒寬的增加，兩側(cè)載荷相差增大，如果兩側(cè)修形量都偏大，會(huì)造成輸出端斜齒修形過大，導(dǎo)致齒面接觸相交，產(chǎn)生應(yīng)力集中，動(dòng)載系數(shù)變大；而當(dāng)輸出端修形量Δ1=12.468 4 μm，輸入端修形量Δ2=20.063 3 μm時(shí)，動(dòng)載系數(shù)最小為1.140 4，此時(shí)修形量能夠有效補(bǔ)償輸入端到輸出端由于變形產(chǎn)生的不同嚙合歪斜度，使得齒輪傳動(dòng)時(shí)接觸面相切而不相割，大大減少了動(dòng)態(tài)嚙合力。為了驗(yàn)證本文修形參數(shù)的正確性，與傳統(tǒng)的ISO修形方法對(duì)比，結(jié)果如表6所示。

表6 兩種修形方法動(dòng)載系數(shù)對(duì)比

由表6可知，未修形下動(dòng)載系數(shù)幅值為1.942 3，采用傳統(tǒng)的ISO修形方法得到的動(dòng)載系數(shù)幅值為1.342 3，而本文修形方法的動(dòng)載系數(shù)幅值為1.140 4。

本文修形方法相比于未修形下動(dòng)載系數(shù)下降了(1.942 3-1.140 4)/1.942 3×100%=41.29%。相比于ISO修形下動(dòng)載系數(shù)下降了(1.342 3-1.140 4)/1.342 3×100%=15.04%。從而證明本文修形方法大大減少了未修形下的動(dòng)載系數(shù)幅值，且比ISO方法效果更好。

4 結(jié)束語

利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)快速預(yù)測(cè)人字齒輪嚙合剛度；Kriging多響應(yīng)面建立全局各參數(shù)響應(yīng)面保證能夠在全范圍內(nèi)得到最佳齒向鼓形量，實(shí)現(xiàn)人字齒輪齒向修形優(yōu)化。

采用人字齒輪彎扭軸耦合動(dòng)力學(xué)模型求解不同鼓形下的動(dòng)載系數(shù)并建立響應(yīng)面，結(jié)果表明兩側(cè)最佳鼓形量并不一致，輸入端斜齒鼓形量為20.063 3 μm，輸出端斜齒鼓形量為12.468 4 μm，兩側(cè)不同的修形量能夠有效地補(bǔ)償兩端由于變形產(chǎn)生的不同嚙合歪斜度，得到最優(yōu)修形效果。

本文所得修形參數(shù)帶入動(dòng)力學(xué)求解動(dòng)載系數(shù)為1.140 4，相比較ISO修形下動(dòng)載系數(shù)為1.342 3和未修形參數(shù)下動(dòng)載系數(shù)1.942 3，本文所得最佳修形參數(shù)更為優(yōu)越，在人字齒輪減振，降噪等方面有重要意義。

文中采取的響應(yīng)面優(yōu)化算法，可以在全局參數(shù)下得到最優(yōu)修形參數(shù)，但是響應(yīng)面會(huì)隨著工況、齒輪副參數(shù)改變而改變，不能一概而論，且提高動(dòng)力學(xué)求解效率是響應(yīng)面得到的關(guān)鍵一步，有待進(jìn)一步優(yōu)化。