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（湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

2017年發(fā)生的美聯(lián)航事件引起各方關(guān)注，事件起因是美國由來已久的機(jī)票超售制度。超售制度起源于20世紀(jì)初的歐洲國家，是航空公司為了避免出現(xiàn)空位損失，在飛機(jī)起飛前售出大于飛機(jī)實際座位數(shù)的一種銷售模式。在實際運營過程中，總有訂座之后因為各種原因不能來登機(jī)和起飛前退票的旅客，這種現(xiàn)象稱為No-show[1]。文獻(xiàn)[2]提出即使是完全售空的航班，在航班起飛前都會有5%～15%的旅客No-show，而為了減少No-show 旅客帶來的空座損失，航空公司會采取超售的方式使得利益達(dá)到最大化。所以早期學(xué)者們主要根據(jù)No-show 人數(shù)分布來研究最優(yōu) 超 售 水 平。1958年，M.J.Beckmann等[1]將Noshow 旅客帶來的總損失用泊松分布和伽馬分布進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)伽馬分布與航空實際情況比較符合，并依此提出一個靜態(tài)超售模型，文獻(xiàn)[3]運用Bellman-Jacobi 方程對模型進(jìn)行分析，并求解了分段超售限制的最優(yōu)解，該模型得到了各大航空公司的認(rèn)可，并進(jìn)行試用。但這一模型也有不利的一面，當(dāng)?shù)菣C(jī)人數(shù)超過了飛機(jī)實際座位數(shù)時，就會造成有些買了票的旅客無法登機(jī)，這種旅客被稱為DB（denied boarding）旅客，而因此產(chǎn)生的一系列費用稱為DB 補償[4]，文獻(xiàn)[4]重點研究DB 旅客對超售收益的影響，并提出在保證盈利情況下航班能承受的最大DB 率。在美聯(lián)航事件中就是因為被DB 旅客拒絕放棄登機(jī)，其他乘客也沒人愿意放棄登機(jī)，才導(dǎo)致了事件的發(fā)生。相對發(fā)達(dá)國家來說我國的超售制度引入較晚，相關(guān)的制度也不夠完善。但是隨著人們生活水平的提高，航運已經(jīng)成為人們經(jīng)常選擇的交通方式，特別是在節(jié)假日時，通常會出現(xiàn)一票難求的現(xiàn)象。所以，為了保證航班最大限度地使用運力，讓更多旅客享受便捷的航空服務(wù)，機(jī)票超售不可避免。因為大眾對機(jī)票超售的認(rèn)同感很低，還有一部分甚至不知道機(jī)票超售概念，所以由“機(jī)票超售”引起的投訴和訴訟也不少。我國在這方面的研究還很少，其中文獻(xiàn)[5-6]建立了基于二項分布的超售模型，但都只討論No-show 人數(shù)對總收益的影響，未考慮DB 人數(shù)對總收益的影響；文獻(xiàn)[7]同時考慮了這兩個因素，借助Matlab 軟件采用枚舉法對問題進(jìn)行求解，求出不同條件下的最佳銷售量與其對應(yīng)的超售總成本，并通過分析得出No-show 人數(shù)和DB 人數(shù)對最佳銷售量和超售總成本的影響。

本文從航班總收益和最佳超售水平的角度出發(fā)，綜合考慮了No-show 人數(shù)和DB 人數(shù)對最佳銷售量和超售總成本的影響，最后得出了與文獻(xiàn)[7]一致的部分結(jié)論，同時利用Matlab 軟件繪制了函數(shù)圖像，更直觀地呈現(xiàn)了在不同條件下航班總收益與訂票水平的關(guān)系，并從航班收益最高點附近的圖像走勢中得出No-show 人數(shù)和DB 人數(shù)對航班總收益的影響，然后在結(jié)論的基礎(chǔ)上給出有效建議，并通過實例加以驗證，增加了模型的可靠性。

2 基于二項分布的航空機(jī)票超售模型的建立

2.1 模型的假設(shè)與符號說明

為了強(qiáng)化旅客No-show 人數(shù)分布對于航空機(jī)票超售量的影響作用，便于模型的構(gòu)建，作出如下3個假設(shè)：

假設(shè)1由于旅客到達(dá)機(jī)場是相互獨立的，所以假設(shè)旅客達(dá)到是離散的。

假設(shè)2不考慮多級票價的情況，即航班的座位具有無差異性。

假設(shè)3No-show 人數(shù)k服從二項分布。

為了便于模型的構(gòu)建以及問題的理解與說明，作以下符號設(shè)定：

f，為航班的飛行總成本，不隨旅客人數(shù)的變化而變化，是一個固定值，作為常數(shù)處理；N，為航班飛機(jī)所載額定旅客數(shù)，即實有座位量；n，為飛行中飛機(jī)所載旅客數(shù)；g，為旅客所購機(jī)票的票價；m，為航班起飛前訂座人數(shù)；k，為航班起飛時，Noshow 旅客人數(shù)；b，為航班起飛時，處理一名被DB的旅客給航空公司所在成的平均損失費用；s，為本次飛行完成后，航空公司所得的利潤；p，為一個訂座的旅客到達(dá)的概率；q，為一個訂座的旅客“Noshow”的概率；p(k)，為k人“No-show”的概率。

2.2 預(yù)期收益模型的建立

根據(jù)以上假設(shè)以及符號說明可知：在某次航班飛行周期中，需要登機(jī)的旅客人數(shù)為m-k，航空公司的預(yù)期收益為

因為對于某一特定的航班來說，No-show 人數(shù)k是一個隨機(jī)變量，所以航空公司的預(yù)期收益用預(yù)期收益的數(shù)學(xué)期望來表示，會更加適當(dāng)和準(zhǔn)確，它表示所有可能No-show 人數(shù)k值對應(yīng)的情況下的預(yù)期收益乘以相對應(yīng)的概率的和，記為，因此航班的預(yù)期收益為

本模型的難點是如何確定Pk的值，需要考慮眾多因素，對大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對航班的實時動態(tài)進(jìn)行長時間的監(jiān)控，才能確定Pk的值。為了便于問題的研究，假設(shè)旅客到達(dá)機(jī)場的概率是p，旅客被No-show的概率為q，又因為每個旅客到達(dá)機(jī)場是相互獨立的事件，所以k服從二項分布，且

研究超售的任務(wù)是找一個最佳平衡點，使得航班的期望收益盡可能的大，而旅客被DB的人數(shù)盡可能的少，即最佳訂票水平。所以在超售模型中，怎樣正確評估航空公司對每個航班不同的DB，計算出航空公司所能承受的最大DB 旅客人數(shù)，是保證航班最大期望收益的關(guān)鍵。

設(shè)X為一次航班飛行周期中旅客被DB的人數(shù)，則可以算出至少z個旅客被DB的概率：

2.3 模型求解

在k服從二項分布的狀態(tài)下，建立了航班的預(yù)期收益模型。因為且是k的期望值，用來表示，則可以簡化模型（2），變?yōu)?/p>

式中：f、g、b為不被航空公司短期因素影響的參數(shù)；N為不可變參數(shù)；k為外部不可控參數(shù)，不受航空公司控制；m為航空公司短期靈活可控參數(shù)。

則在某一特定情況下g、b、f、k、N是固定值，此時只隨訂票水平m的變化而變化。所以只要用Matlab 數(shù)學(xué)軟件編制程序，輸入任意g、b、f、k、N和訂票水平m，就可以求出對應(yīng)的。當(dāng)取得最大值時，此時對應(yīng)的m就是最優(yōu)的超售水平。

又因為在一次飛行中，在載客率超過60%時，航空公司才能盈利，所以假設(shè)f=0.6Ng，且=qm，繼續(xù)化簡式（5）得：

則此時最大期望收益變成了最大期望收益率的問題，且最大期望收益與處理一名DB 旅客的賠償額和票價的比值b/g建立了函數(shù)關(guān)系。

3 模型分析

對式（7）用Matlab 軟件編制計算機(jī)程序進(jìn)行數(shù)值分析。以南方航空公司的波音B737-700為例，N=120，分以下兩種情況討論。

3.1 b 保持不變

取b/g=0.3，可得最大訂票水平m的值隨旅客的到達(dá)率p的變化曲線，如圖1所示。

圖1 不同p值下期望收益率/f 隨訂票水平m的變化情況Fig.1 Expected return /f changes with booking level m under different values of p

此時根據(jù)式（4）計算可得出，當(dāng)獲得最大期望收益時所對應(yīng)的至少z個旅客被DB的概率，在本次模型中根據(jù)2017年本航班在每個飛行周期中被DB人數(shù)的眾數(shù)來確定z的值，取z=3，則有：

當(dāng)p=0.95，m=128時，P(X≥3)=0.378 4；

當(dāng)p=0.90，m=136時，P(X≥3)=0.503 9；

當(dāng)p=0.85，m=145時，P(X≥3)=0.579 5。

從圖1中的曲線走勢可以看出：

2）最佳訂票水平m與旅客到達(dá)機(jī)場的概率p值成負(fù)相關(guān)，所以當(dāng)旅客到達(dá)機(jī)場的概率p較低時，為了彌補因為No-show 帶來的空位損失，就要提高超售水平，以保證航班的收益率；

3）最大期望收益率基本穩(wěn)定，雖然隨著旅客到達(dá)機(jī)場的概率p值的減小，最大期望收益率也在減小，但是收益率減少量與最優(yōu)訂票水平的上升量完全不成正比，這就說明了期望收益率受p值的影響較小，基本上是穩(wěn)定的，也從側(cè)面說明了采取超售的方式進(jìn)行售票，可以在一定程度上保證航空公司的收益率，證明該方式是可行的；

4）至少有3 人被DB的概率與旅客到達(dá)機(jī)場的概率值成負(fù)相關(guān)，而旅客被DB的概率越大，航空公司進(jìn)行DB 補償?shù)目偨痤~就越大，航空公司的期望收益率就越小，所以，為了保證收益率，需要將P(X≥z)限制在某個范圍內(nèi)。

3.2 p 保持不變

取p=0.9，可得最大訂票水平m隨b/g變化的曲線，如圖2所示。

圖2 不同b/g值下期望收益率/f 隨訂票水平m的變化情況Fig.2 Expected return /f changes with booking level m under different values of b/g

此時可根據(jù)式（4）計算得出，當(dāng)獲得最大期望收益時所對應(yīng)的至少3個旅客被DB的概率分別如下：

當(dāng)b/g=0.2，m=137時，P(X≥3)=0.604 0；

當(dāng)b/g=0.3，m=136時，P(X≥3)=0.503 9；

當(dāng)b/g=0.4，m=135時，P(X≥3)=0.400 9；

當(dāng)b/g=0.5，m=135時，P(X≥3)=0.378 4。

從圖2的曲線走勢可以看出：

1）隨著b/g值的增大，最大期望收益率減小，與之相對應(yīng)的最大期望收益的訂票水平m有所減少但是幅度比較小，這就說明最大期望收益率對于b/g的變化不敏感，結(jié)果與實際情況是相符合的，當(dāng)處理一名DB的旅客的費用b很高時，航空公司一般會采取保守的超售政策，降低訂票水平來規(guī)避DB的發(fā)生，減少因此而帶來的損失；

2）至少3 人被DB的概率隨著b/g值的增大而顯著下降，直至不再發(fā)生變化變。這說明被DB的人數(shù)對b/g的變化非常敏感，所以確定合適的DB 補償值b可以減少DB的概率，從而提高航空公司的預(yù)期收益率。

4 實例分析

選取廣州-昆明航線，飛機(jī)型號為B737-300的航班進(jìn)行實例分析，已知客容量N=120，機(jī)票價格g=1 000，DB 補償額b=300。根據(jù)2017年1月—2017年12月中國民用航空局發(fā)表的旅客訂票信息數(shù)據(jù)統(tǒng)計航班起飛時旅客登機(jī)狀態(tài)分布，如表1所示（數(shù)據(jù)來源為http//www.caac.gov.cn）。

表1 航班起飛時旅客登機(jī)狀態(tài)分布Table1 Passenger boarding status distribution at flight departure

根據(jù)航班起飛時旅客登機(jī)狀態(tài)分布表中的數(shù)據(jù)，利用Matlab可得旅客在航班起飛前到達(dá)機(jī)場的概率p的均值為

分別將N=120、g=1 000、b=300以及p=E(P)= 0.897 5 代入式（7）中，并利用Matlab 進(jìn)行計算，得出航班在本次飛行中的最大期望收益率所對應(yīng)的訂票水平，如圖3所示。

圖3 實例結(jié)果圖Fig.3 Case results chart

由圖3可以看出，期望收益率隨著訂票水平的增加先增加后減少，在訂票水平m=136時，期望收益率取得最大值。即航空公司在該航線上的最優(yōu)訂票水平為m=136。

雖然得出的結(jié)果136 略大于實際運營中的旅客的訂票需求量134，但是這個結(jié)果仍然具有很大的現(xiàn)實意義以及較高的參考價值。第一，在不考慮多級票價的情況下，這個模型在一定程度上很大地降低了實際運營過程中存在的空座率和被DB 率，使更多的人能夠成功出行的同時也提高了航空公司的收益；第二，根據(jù)實例中的條件，計算所得最大訂票水平m所對應(yīng)的收益率接近航班最大收益率；第三，這個結(jié)果為航空公司制定訂票水平提供了量化依據(jù)。

綜上所述，本模型與在實際運營過程中的擬合度較高，可以作為航空公司制定訂票水平時的參考。

5 結(jié)語

本研究從No-show 旅客人數(shù)的分布入手，基于二項分布的航空機(jī)票超售模型，通過對模型的求解和分析，得到了航班的最優(yōu)訂票水平與旅客到達(dá)機(jī)場的概率以及處理DB 旅客的費用關(guān)系[8-10]。從仿真數(shù)值分析的結(jié)果可以看出，最大期望收益率的值基本穩(wěn)定，這也說明了采用超售方式進(jìn)行售票可以保證航空公司的穩(wěn)定收益。從理論上來說模型具有一定的價值性。但是由于計算的復(fù)雜性，本研究暫時沒有考慮多等級票價和旅客在訂票周期中的訂票狀態(tài)對最優(yōu)訂票水平的影響，另外由于網(wǎng)上訂票的普及性，人們訂票越來越便捷的同時，退票也越來越迅速，所以如何對訂票周期進(jìn)行細(xì)分并建立動態(tài)多等級票價的最優(yōu)訂票水平是有待進(jìn)一步研究的問題。