黃江濤，劉剛，高正紅，周鑄，陳作斌，江雄

1.中國空氣動力研究與發(fā)展中心，綿陽 621000 2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 西安 710072

伴隨高性能計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值優(yōu)化設(shè)計將在未來飛行器研發(fā)中扮演著越來越重要的角色，數(shù)值優(yōu)化的基礎(chǔ)科學(xué)研究和關(guān)鍵技術(shù)各項環(huán)節(jié)不斷進(jìn)展、突破，對民用飛機(jī)、作戰(zhàn)飛機(jī)乃至航天類飛行器的研制過程起到積極的變革性的作用，各個學(xué)科的耦合程度將越來越高，學(xué)科級之間的協(xié)同優(yōu)化、仿真技術(shù)作為重要角色登上了裝備研發(fā)的歷史舞臺。國內(nèi)外著名研發(fā)機(jī)構(gòu)如美國國家航空航天局(NASA)、德國宇航局(DLR)、荷蘭國家航空航天實驗室(NLR)、日本宇宙航空研究開發(fā)機(jī)構(gòu)(JAXA)等均在多學(xué)科協(xié)同數(shù)值優(yōu)化、仿真分析方面投入了大量的人力物力，并在應(yīng)用方面進(jìn)行了大量嘗試與驗證。

多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計研究中采用的優(yōu)化算法可以分為梯度[1-5]和非梯度類[6-12]兩個方向，兩類方法各有所長。基于伴隨方法的梯度類是近年來較為熱門的研究方向，基于伴隨方程的梯度優(yōu)化以其獨有的優(yōu)勢，在氣動設(shè)計等領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用，也是國內(nèi)外空氣動力學(xué)研究機(jī)構(gòu)一個重要的研究方向[13-17]，而基于交叉學(xué)科變分思想的多學(xué)科伴隨優(yōu)化方法也開始在工程領(lǐng)域發(fā)揮重要作用[18-24]。例如考慮氣動彈性變形的柔性機(jī)翼設(shè)計，若采用基于差分的梯度優(yōu)化以及進(jìn)化算法開展多學(xué)科多目標(biāo)優(yōu)化，其計算量非常龐大，甚至難以忍受，設(shè)計效率極為低下。此時基于多學(xué)科耦合伴隨靈敏度分析的優(yōu)化方法在綜合設(shè)計上具有更加突出的優(yōu)勢。不僅如此，在氣動、結(jié)構(gòu)、電磁、聲學(xué)、紅外、能量管理等與飛行器設(shè)計息息相關(guān)的學(xué)科，多學(xué)科耦合伴隨方法也具有較大的發(fā)展?jié)摿ΑＳ捎诙鄬W(xué)科耦合伴隨方法具有優(yōu)化代價小，梯度計算量與各個學(xué)科設(shè)計變量個數(shù)基本無關(guān)等優(yōu)點，且通過耦合伴隨方程的求解能夠快速計算出各個學(xué)科關(guān)心的各個目標(biāo)函數(shù)對各學(xué)科設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)，倍受研究人員與工程師的關(guān)注與喜愛，該方法必將在未來多學(xué)科優(yōu)化領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。

本文對多學(xué)耦合伴隨優(yōu)化方法研究進(jìn)展、應(yīng)用現(xiàn)狀進(jìn)行詳細(xì)總結(jié)、歸納，對飛行器氣動外形綜合設(shè)計涉及的典型學(xué)科變分/耦合變分/關(guān)鍵環(huán)節(jié)的變分推導(dǎo)、耦合伴隨方程的求解以及應(yīng)用存在的難點進(jìn)行深入分析，并進(jìn)一步提出了耦合伴隨方程幾項值得關(guān)注的技術(shù)方向及發(fā)展趨勢。希望能夠為多學(xué)科耦合伴隨方法的研究人員提供有價值的參考，促進(jìn)國內(nèi)航空航天飛行器多學(xué)科協(xié)同數(shù)值優(yōu)化設(shè)計技術(shù)的發(fā)展。

1 離散伴隨方程求解梯度基本原理

對于任意學(xué)科，這里的學(xué)科可以是流體、結(jié)構(gòu)、噪聲、電磁、熱力學(xué)分析等，其對應(yīng)的設(shè)計目標(biāo)函數(shù)的最小化優(yōu)化問題[25]為

(1)

在學(xué)科殘差R(W,X,D)=0約束條件下，引入拉格朗日算子可以構(gòu)造以下目標(biāo)函數(shù)：

L=I+ΛTR

(2)

對式(2)進(jìn)行求導(dǎo)可得

(3)

(4)

式(4)就是各個學(xué)科對應(yīng)的伴隨方程，通過求解Λ之后，則可進(jìn)行各個學(xué)科對設(shè)計變量的梯度信息快速求解，即

(5)

(6)

可以看出，伴隨方程實質(zhì)是對學(xué)科分析及其對應(yīng)的物理場進(jìn)行變分，通過鏈?zhǔn)角髮?dǎo)進(jìn)行靈敏度求解，其根本目的是避免學(xué)科分析大規(guī)模迭代、直接求解問題帶來的靈敏度分析計算量，消除靈敏度分析計算量與設(shè)計變量個數(shù)的關(guān)系，其計算量最終僅與目標(biāo)函數(shù)個數(shù)相關(guān)。

實際上，上述伴隨算子既可以是單學(xué)科伴隨算子，也可以是多學(xué)科伴隨算子，對應(yīng)的殘差同樣也可以是多學(xué)科約束，采用相同方式進(jìn)行伴隨方程推導(dǎo)，可以得到多學(xué)科耦合伴隨方程。

2 學(xué)科離散伴隨方法研究現(xiàn)狀

從目前的研究成果來看，在飛行器氣動外形綜合設(shè)計領(lǐng)域，基于流場伴隨方程的優(yōu)化是最活躍的一個分支，而對于結(jié)構(gòu)、電磁、噪聲等學(xué)科伴隨研究較少，這里面的一個重要原因是某些特殊學(xué)科獨立伴隨優(yōu)化在飛行器設(shè)計領(lǐng)域工程應(yīng)用中價值不大，例如結(jié)構(gòu)伴隨方程單獨優(yōu)化無法兼顧氣動結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計要求。

2.1 流場伴隨優(yōu)化在內(nèi)外流動優(yōu)化問題中的應(yīng)用

伴隨優(yōu)化在外部流動優(yōu)化問題中的應(yīng)用較多，主要應(yīng)用于機(jī)翼、增升裝置、整流罩等氣動外形優(yōu)化。由于該項技術(shù)求解梯度信息的工作量幾乎與設(shè)計變量個數(shù)無關(guān)，因此，倍受CFD研究人員以及氣動優(yōu)化設(shè)計研究人員的重視。其中，離散伴隨方程與Navier-Stokes方程清晰的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，具有實現(xiàn)起來比較方便、梯度信息更為準(zhǔn)確等優(yōu)點。流場伴隨方法的核心工作是組裝流場殘差對守恒變量的雅克比矩陣：

(7)

依賴于伴隨方程的求解方式，該矩陣的處理主要有兩種形式，直接全矩陣組裝存儲、結(jié)合伴隨變量乘積形式存儲；雅克比矩陣處理完畢后，對于不同目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題，僅需改動右端項目標(biāo)函數(shù)對狀態(tài)變量的變分表達(dá)式：

(8)

該項一般作為源項形式加入通量表達(dá)式或方程組右端。

邊界條件處理方式也分為源項形式[1]以及邊界雅克比矩陣形式[25]。對于內(nèi)外流問題，矩陣形式的流場伴隨方程只需要改變邊界條件變分雅克比矩陣表達(dá)式, 即

(9)

式中:E、MBC分別對應(yīng)單位矩陣以及邊界條件矩陣。可以看出，離散伴隨無黏項的不同邊界條件變分，只需替換對應(yīng)邊界條件矩陣MBC，對于實現(xiàn)不同邊界類型以及內(nèi)外流伴隨之間的轉(zhuǎn)換、匹配以及模塊化編程十分有利。由于離散伴隨無黏項的主導(dǎo)作用，該項邊界條件處理很大程度直接影響梯度的計算精度。

離散伴隨方法在梯度優(yōu)化研究領(lǐng)域最受關(guān)注，也是國內(nèi)外空氣動力學(xué)研究機(jī)構(gòu)重點發(fā)展的研究方向。世界上大多數(shù)知名空氣動力學(xué)研究機(jī)構(gòu)均基于自身研發(fā)的大型并行CFD計算代碼發(fā)展了離散伴隨優(yōu)化平臺，例如NASA Langley研究中心采用手工推導(dǎo)方式建立了非結(jié)構(gòu)化求解器FUN3D的離散伴隨優(yōu)化平臺[14]；德國宇航局基于結(jié)構(gòu)化求解器Flower、非結(jié)構(gòu)化求解器TAU發(fā)展了離散伴隨優(yōu)化平臺[15]，法國宇航院基于CFD代碼elsA開發(fā)了離散伴隨優(yōu)化[16],英國謝菲爾德大學(xué)[17]開展了基于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的并行離散伴隨優(yōu)化。實際推廣應(yīng)用方面也開展了系列研究，NASA的 Liou和Kim[26]使用伴隨方法在考慮動力條件下開展了飛翼布局一體化優(yōu)化工作，取得了明顯的減阻效果；Vincent和Siva[27]基于離散伴隨方法開展了B747機(jī)翼氣動設(shè)計；密歇根大學(xué)的Lyu等[28]基于離散伴隨方法，針對CRM寬體飛機(jī)標(biāo)模機(jī)翼氣動優(yōu)化開展了大量研究，取得了較好的優(yōu)化結(jié)果；如圖1～圖3所示。

國外在內(nèi)流伴隨優(yōu)化方向也取得了長足的進(jìn)展，尤其在進(jìn)氣道、壓氣機(jī)葉片優(yōu)化方面成績斐然。NASA的 Lee和Liu[29]基于伴隨方法開展了BLI(Boundary-Layer-Ingestion)進(jìn)氣道優(yōu)化，減小了50%流場畸變特性，提高了3%的總壓恢復(fù)系數(shù)；首爾國立大學(xué)的Yi和Kim[30]基于伴隨方法開展了S彎進(jìn)氣道渦流發(fā)生器優(yōu)化，在保持總壓恢復(fù)性能的同時，降低了流場畸變；斯坦福大學(xué)Heather和Francisco[31]基于伴隨方法對高超聲速進(jìn)氣道進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，表現(xiàn)出較高的優(yōu)化設(shè)計效率；Heath和Gray[32]基于伴隨方法與自由變形技術(shù)開展了噴管優(yōu)化；麥吉爾大學(xué)Benjamin和Siva[33]基于離散伴隨方法進(jìn)行了多級壓氣機(jī)優(yōu)化，在保證總壓比的條件下提高了等熵效率；圖4～圖8給出了內(nèi)流伴隨優(yōu)化的典型應(yīng)用。

圖1 飛翼布局帶動力一體化設(shè)計[29]Fig.1 Integrated design of flying wing configuration with power[29]

圖2 波音747機(jī)翼優(yōu)化設(shè)計前后對比[30]Fig.2 Comparison of initial and optimized configurations of Boeing 747 wing [30]

國內(nèi)在離散伴隨方程求解器自主研發(fā)方面也取得了一定的進(jìn)展，尤其在外流優(yōu)化設(shè)計方面，已應(yīng)用于實際工程型號。西北工業(yè)大學(xué)左英桃等基于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格求解器開展了M6機(jī)翼離散伴隨優(yōu)化[34]；熊俊濤等[35]基于顯式時間推進(jìn)實現(xiàn)了離散伴隨方程的求解；屈崑等利用Tapenade自動微分工具進(jìn)行通量變分，按照矩陣模式組裝到全局稀疏矩陣，實現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)CFD的伴隨方程求解[36]；南京航空航天大學(xué)高宜勝等基于非結(jié)構(gòu)求解器進(jìn)行了翼型離散伴隨無黏優(yōu)化[37]；中國空氣動力研究與發(fā)展中心李彬等基于非結(jié)構(gòu)求解器實現(xiàn)了離散伴隨優(yōu)化平臺的開發(fā)[38]；本文作者基于并行化結(jié)構(gòu)網(wǎng)格求解器實現(xiàn)了全機(jī)離散伴隨優(yōu)化[39]；圖9～圖12給出了國內(nèi)外流伴隨優(yōu)化在典型飛行器氣動設(shè)計方面的應(yīng)用。

內(nèi)流優(yōu)化方面，基于伴隨方程的氣動外形靈敏度分析優(yōu)化主要集中在進(jìn)氣道、尾噴管、壓氣機(jī)葉片設(shè)計等領(lǐng)域，也是近年來十分活躍、應(yīng)用潛力較大的研究方向。本文作者[25,40]基于邊界變分形式實現(xiàn)了超聲速無附面層隔道進(jìn)氣道總壓恢復(fù)系數(shù)對設(shè)計變量的靈敏度分析與驗證，并分析了動力效應(yīng)對設(shè)計變量靈敏度的影響，進(jìn)一步開展了BLI進(jìn)氣道DC60穩(wěn)態(tài)畸變伴隨優(yōu)化；北京理工大學(xué)宋紅超等[41]基于離散伴隨方法進(jìn)行了單邊膨脹噴管的優(yōu)化，提高了噴管推力系數(shù)；西安交通大學(xué)張朝磊等基于離散伴隨理論和自動微分技術(shù)構(gòu)建離散伴隨優(yōu)化平臺，應(yīng)用于透平葉柵的氣動優(yōu)化[42]，優(yōu)化后透平葉柵進(jìn)出口熵增率減少8.82%；航空工業(yè)集團(tuán)航空動力機(jī)械研究所唐方明等[43]進(jìn)行了排間界面靜壓約束伴隨方法的多級壓氣機(jī)葉片優(yōu)化，解決了伴隨優(yōu)化應(yīng)用在多級壓氣機(jī)中出現(xiàn)的優(yōu)化工況點漂移問題，提高了5級壓氣機(jī)效率；吉林大學(xué)劉浩等[44]基于伴隨方法進(jìn)行了葉片三維氣動外形優(yōu)化設(shè)計，清華大學(xué)馬燦等[45]采用諧波平衡法高效求解非定常流場和非定常伴隨場，開展了單級壓氣機(jī)非定常伴隨優(yōu)化；西北工業(yè)大學(xué)劉峰等[46]基于黏性伴隨方法開展了低展弦比渦輪壓氣機(jī)葉片多點優(yōu)化設(shè)計；圖13～圖20給出了國內(nèi)內(nèi)流伴隨優(yōu)化、內(nèi)外流一體化伴隨優(yōu)化的典型應(yīng)用。

圖3 CRM標(biāo)準(zhǔn)模型單點、多點優(yōu)化設(shè)計對比[31]Fig.3 Comparison of single-point and multi-point optimization design of CRM standard model [31]

圖4 BLI進(jìn)氣道優(yōu)化[32]Fig.4 BLI inlet optimization [32]

圖5 基于伴隨方法進(jìn)氣道渦流發(fā)生器優(yōu)化[33]Fig.5 Inlet vortex generator optimization based on adjoint method [33]

圖6 基于伴隨方法的高超聲速進(jìn)氣道設(shè)計[34]Fig.6 Hypersonic inlet design based on adjoint method [34]

圖7 基于伴隨方法的超聲速噴管設(shè)計[35]Fig.7 Supersonic nozzle design based on adjoint method[35]

圖8 基于伴隨方法的多級壓氣機(jī)設(shè)計[37]Fig.8 Multistage compressor design based on adjoint method [37]

圖9 基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格翼身組合體離散伴隨氣動優(yōu)化[26]Fig.9 Discrete adjoint aerodynamic optimization of wing-body assembly based on unstructured grid [26]

圖10 全機(jī)第一伴隨變量云圖[25]Fig.10 First adjoint variable contour of aircraft[25]

圖11 FFD參數(shù)化[39]Fig.11 FFD parameterization [39]

圖12 機(jī)翼機(jī)身平尾立尾離散伴隨氣動優(yōu)化Fig.12 Discrete adjoint aerodynamic optimization of wing-body-tail configuration

圖13 進(jìn)氣道參數(shù)化[25]Fig.13 Inlet parameterization [25]

圖14 進(jìn)氣道總壓恢復(fù)靈敏度驗證[25]Fig.14 Validation of total pressure recovery sensitivity of inlet [25]

圖15 BLI進(jìn)氣道DC60伴隨優(yōu)化Fig.15 Adjoint optimization for BLI inlet DC60

圖16 機(jī)體-推進(jìn)系統(tǒng)一體化參數(shù)化 [40]Fig.16 Integrated parameterization of airframe-propulsion system [40]

圖17 機(jī)體-推進(jìn)系統(tǒng)一體化伴隨方程求解與靈敏度驗證[40]Fig.17 Verification of sensitivity of adjoint equation for airframe-propulsion system [40]

圖18 尾噴管伴隨優(yōu)化云圖[41]Fig.18 Tail nozzle contour based on adjoint optimization [41]

圖19 壓氣機(jī)伴隨優(yōu)化前后馬赫數(shù)云圖[43]Fig.19 Mach number contour of compressor before and after concomitant optimization[43]

圖20 低展弦比渦輪壓氣機(jī)葉片多點優(yōu)化設(shè)計[46]Fig.20 Multi-point optimization design of low aspect ratio turbine compressor blades [46]

2.2 電磁散射伴隨方程

雷達(dá)散射截面(Radar Cross Section, RCS)反映了物體在給定方向上對入射雷達(dá)波散射的強(qiáng)弱，是衡量飛機(jī)隱身性能的重要指標(biāo)?？紤]隱身的飛行器設(shè)計常以減小RCS作為隱身設(shè)計的主要目標(biāo),現(xiàn)有飛行器氣動外形隱身設(shè)計研究中多采用幾何光學(xué)法(GO)、物理光學(xué)法(PO)、幾何繞射理論(GTD)、物理繞射理論(PDT)等高頻近似算法評估散射體的RCS,高頻算法根據(jù)高頻場的局部性原理，僅根據(jù)入射場獨立地近似確定表面感應(yīng)電流[47]，計算速度快，所需內(nèi)存小。但高頻算法的理論模型粗糙，近似過程中會忽略一些關(guān)鍵部件間的重要電磁耦合關(guān)系，在處理電大尺寸和細(xì)節(jié)上電小尺寸并存的復(fù)雜結(jié)構(gòu)時精度較低[48-49]。

飛行器隱身性能與其外形密切相關(guān)，設(shè)計中需解決隱身與氣動之間的矛盾?；谔荻鹊膬?yōu)化算法效率較高，其關(guān)鍵在于如何高效、精確地取得梯度信息。矩量法從電磁積分方程(Stratton-Chu方程)出發(fā)，將感應(yīng)電流展開成基函數(shù)的有限級數(shù)，形成線性方程組，通過求解表面感應(yīng)電流分布獲得散射場。矩量法可以精確求解三維復(fù)雜外形目標(biāo)的電磁散射，隨著高性能計算技術(shù)的發(fā)展，矩量法逐漸成為飛行器隱身設(shè)計中重要的電磁分析手段。伴隨方法可以通過求解伴隨方程，由兩次線性方程組求解得到目標(biāo)關(guān)于所有設(shè)計變量的梯度，顯著減小計算量，為矩量法在飛行器隱身設(shè)計的應(yīng)用創(chuàng)造了條件。Natalia[50-51]將伴隨方法引入矩量法，推導(dǎo)了矩量法伴隨方程的形式，并對天線陣列的輸入阻抗進(jìn)行了優(yōu)化，取得了顯著的效果。

然而，從公開發(fā)表文獻(xiàn)上看，國內(nèi)外在飛行器氣動隱身一體化優(yōu)化設(shè)計方面應(yīng)用較少，國內(nèi)周琳和本文作者[52]將該方法應(yīng)用于飛行器隱身特性靈敏度分析，為氣動隱身綜合優(yōu)化設(shè)計奠定了技術(shù)基礎(chǔ)。

矩量法[53]的本質(zhì)為求解線性方程組ZI=V，在伽略金法條件下，采用RWG(Rao-Wilton-Glisson)基函數(shù)檢測電場積分方程，即

(10)

整理成矩陣形式為

ZI=V

式中：阻抗元素和激勵項的表達(dá)式為

采用第1部分推導(dǎo)方法可得矩量法方程的伴隨方程：

(11)

則基于伴隨方法的目標(biāo)梯度的求解方法為

(12)

圖21和圖22分別給出了基于矩量法(MoM)的電流分布數(shù)值模擬以及基于矩量法伴隨方程的靈敏度求解校核，精度滿足工程需求，相對于有限差分計算，電磁伴隨求解將靈敏度計算效率提高了100倍以上，且隨著入射電磁波頻率的增加，這種加速效果更加明顯。

圖21 1024核心并行電磁散射數(shù)值模擬Fig.21 Numerical simulation of 1024 core parallel electromagnetic scattering

圖22 某外形0°～180°照射角靈敏度驗證Fig.22 Verification of sensitivity at different incident angles 0°-180°

然而，從目前計算機(jī)條件來看，盡管基于矩量法電磁伴隨求解靈敏度相對于有限差分效率有了大幅度提升，仍然面臨兩個問題。與正問題一樣，基于矩量法的電磁伴隨方程求解面臨存儲瓶頸；不僅如此，即便是伴隨方程求解完畢，利用式(12)進(jìn)行梯度信息求解時，電流分布保持不變不需要再迭代，仍然需要針對幾何擾動進(jìn)行阻抗矩陣裝配。本文作者曾做過測試，對于C波段電磁散射問題(飛行器展長16 m量級)，256核并行條件下，阻抗矩陣組裝仍耗時30 s，也就是說，基于式(12)進(jìn)行梯度求解單個耗時30 s，對于200個設(shè)計變量設(shè)計問題，除去伴隨方程求解時間，靈敏度求解也要耗掉1.66 h，這也是計算效率值得關(guān)注的問題。該兩方面因素對計算機(jī)配置要求較高，一定程度限制了矩量法電磁伴隨優(yōu)化在電大尺寸問題中的應(yīng)用。

針對該問題本文基于多層快速多極子算法(MLFMA)開展了伴隨方程構(gòu)造以及梯度計算研究，大幅度降低了內(nèi)存需求，提高了梯度求解效率，取得了較好的加速效果，并通過典型導(dǎo)彈外形進(jìn)行驗證，如圖23及表1所示，為進(jìn)一步開展基于高可信度雷達(dá)隱身優(yōu)化提供高效的靈敏度分析平臺。

圖23 MLFMA的梯度校核Fig.23 Gradient validation of MLFMA

表1 矩量法與MLFMA效率對比Table 1 Comparison of efficiency of MoM and MLFMA

2.3 噪聲伴隨方程

噪聲問題是飛行器氣動設(shè)計解決的主要問題之一，對于民用飛機(jī)的適航認(rèn)證、作戰(zhàn)飛機(jī)的戰(zhàn)場隱蔽性起到關(guān)鍵作用，鑒于計算量龐大，當(dāng)前工程中的噪聲分析優(yōu)化大多數(shù)基于近場/輻射傳播模型混合計算方法[54-56]進(jìn)行。

目前噪聲伴隨方程的研究工作主要針對低速流動問題以及超聲速聲爆問題開展，面向?qū)ο笾饕侵鄙龣C(jī)旋翼噪聲、低速構(gòu)型流動噪聲、超聲速客機(jī)聲爆抑制等問題。主控方程主要是FWH(Ffowcs Williams-Hawkings)方程以及聲爆預(yù)測增廣Burgers方程,對于數(shù)值模擬來講，無論是FWH伴隨方程還是聲爆預(yù)測增廣Burgers方程，幾乎都無法脫離流場分析、伴隨而獨立有效地使用，一般與流場進(jìn)行耦合使用。

2.4 伴隨方程在其他領(lǐng)域的應(yīng)用

在航空航天領(lǐng)域，伴隨方法不僅在涉及上述幾個學(xué)科方面得到了充分應(yīng)用，同樣在熱傳導(dǎo)、化學(xué)反應(yīng)等方面也得到了一定應(yīng)用。再入飛行器表面熱流通過反演方法確定飛行器再入的熱環(huán)境，伴隨方程可以為該類熱傳導(dǎo)逆問題提供高效的靈敏度計算，錢煒祺和何開鋒[57]基于三維熱傳導(dǎo)方程及其伴隨方程，進(jìn)行了三維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)逆問題反演研究，取得了與試驗數(shù)據(jù)較為一致的結(jié)果，如圖24所示，圖中:t為時間，T為溫度，P1和P2代表兩個測溫點。Kouhi和Houzeaux[58]基于離散伴隨方法開展了與化學(xué)反應(yīng)流動相關(guān)的參數(shù)靈敏度分析，獲得了與差分較為一致的結(jié)果。

圖24 反演結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)對比[57]Fig.24 Comparison of inversion results with experimental data [57]

3 多學(xué)科耦合伴隨體系發(fā)展現(xiàn)狀

國內(nèi)在流場伴隨方程求解器自主研發(fā)方面取得了系列的進(jìn)展。然而，大多研究工作局限于單學(xué)科伴隨方法，在多學(xué)科耦合伴隨方法自主研發(fā)方面較為欠缺，研究基礎(chǔ)比較薄弱。

在涉及復(fù)雜耦合系統(tǒng)綜合優(yōu)化方面，傳統(tǒng)的優(yōu)化手段、靈敏度分析手段，由于學(xué)科強(qiáng)耦合因素，往往表現(xiàn)得力不從心，多學(xué)科耦合伴隨理論的出現(xiàn)，使得高效計算多學(xué)科耦合靈敏度成為可能。在飛行器氣動外形多學(xué)科優(yōu)化領(lǐng)域，最活躍的是氣動、結(jié)構(gòu)、電磁、噪聲等學(xué)科，由于目標(biāo)函數(shù)個數(shù)、學(xué)科交叉耦合變分推導(dǎo)難度以及交叉變分雅克比矩陣存儲的限制，從目前發(fā)表的文獻(xiàn)來看，大部分研究工作針對兩個學(xué)科耦合伴隨優(yōu)化展開。耦合伴隨方法中交叉學(xué)科導(dǎo)數(shù)項的具體推導(dǎo)方法，各類雅克比矩陣組裝的大型稀疏矩陣求解，變分簡化處理方式以及學(xué)科之間物理場信息、伴隨變量交換、存儲方式直接影響了多學(xué)科變分的簡捷性、多學(xué)科耦合系統(tǒng)計算效率以及梯度信息的計算精度，因此，下面將對典型多學(xué)耦合伴隨方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)進(jìn)行論述和總結(jié)。

3.1 氣動結(jié)構(gòu)耦合伴隨方程

考慮氣動彈性變形的柔性機(jī)翼若采用傳統(tǒng)差分的梯度優(yōu)化以及進(jìn)化算法開展靈敏度分析以及多學(xué)科多目標(biāo)優(yōu)化，其計算量非常龐大，當(dāng)前計算條件難以忍受，設(shè)計效率極為低下。未來飛機(jī)發(fā)展的一個重要方向是重量較輕的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)柔性機(jī)翼設(shè)計(如B787、B747-8等寬體客機(jī))，此時氣動、結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)將更加明顯，基于氣動/結(jié)構(gòu)多學(xué)科耦合伴隨方法的耦合靈敏度分析在綜合設(shè)計上將具有更加突出的優(yōu)勢，為多學(xué)科優(yōu)化提供有力技術(shù)支持。

氣動/結(jié)構(gòu)優(yōu)化中有4種原因引起耦合靈敏度效應(yīng)。第一，氣動外形設(shè)計變量變化引起氣動力的變化；第二，氣動外形設(shè)計變量變化引起氣動力載荷、結(jié)構(gòu)屬性的變化，導(dǎo)致彈性變形變化，從而引起結(jié)構(gòu)應(yīng)力變化；第三，有限元結(jié)構(gòu)設(shè)計變量變化引起結(jié)構(gòu)屬性的變化，導(dǎo)致彈性變形變化，從而引起氣動力變化；第四，有限元結(jié)構(gòu)設(shè)計變量變化引起結(jié)構(gòu)屬性的變化，導(dǎo)致彈性變形變化，從而引起結(jié)構(gòu)應(yīng)力變化。以上4點是氣動結(jié)構(gòu)耦合復(fù)雜程度的最直觀體現(xiàn)，也是氣動/結(jié)構(gòu)綜合優(yōu)化成為最為復(fù)雜、困難問題的原因之一。將式(4)中的殘差、狀態(tài)變量直接展開為氣動、結(jié)構(gòu)對應(yīng)的殘差、狀態(tài)變量，可以得到氣動結(jié)構(gòu)耦合伴隨方程為

(13)

(14)

(15)

盡管如此，仍然帶來交叉導(dǎo)數(shù)項反復(fù)計算的問題，即解決了空間存儲問題，又帶來時間需求問題。對各項進(jìn)行進(jìn)一步展開：

(16)

針對該問題，國外開展了系列研究，密歇根大學(xué)Martins等基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格CFD求解器以及有限元方法發(fā)展了氣動/結(jié)構(gòu)延遲耦合伴隨LCA(Lagged Coupled Adjoint)方法，實現(xiàn)了板殼單元條件下氣動結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計[18-19]；德國宇航局Abu-Zurayk等基于非結(jié)構(gòu)化求解器TAU[59-60]，斯坦福大學(xué)Kasidit和Antony基于耦合伴隨方法進(jìn)行了機(jī)翼平面形狀與剖面的氣動結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化[20]，法國宇航院Marcelet等基于CFD代碼elsA發(fā)展了LCA優(yōu)化方法[61]，倫敦瑪麗女王大學(xué)Mülle和Verstraete[62]基于多學(xué)科耦合伴隨方法開展了葉片氣動結(jié)構(gòu)綜合優(yōu)化，保證應(yīng)力約束條件下提高了葉片氣動效率，懷俄明大學(xué)Mishra和Mani[63]基于氣動結(jié)構(gòu)伴隨方程開展了直升機(jī)四槳葉旋翼非定常氣動優(yōu)化等；典型應(yīng)用如圖25～圖27所示。

中國空氣動力研究與發(fā)展中心立足自主研發(fā)，建立了氣動結(jié)構(gòu)耦合伴隨優(yōu)化平臺[64-65]，基于延遲耦合處理方式實現(xiàn)了CRM機(jī)翼氣動結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化，圖28給出了氣動結(jié)構(gòu)耦合伴隨(Coupled Aero-Structrual Adjoint，CASA)優(yōu)化平臺的裝配關(guān)系流程圖，圖29和圖30給出了氣動力、結(jié)構(gòu)應(yīng)力von Mises對應(yīng)的耦合伴隨方程收斂歷程；圖31 給出了不同設(shè)計約束的優(yōu)化結(jié)果。

圖25 氣動結(jié)構(gòu)耦合伴隨優(yōu)化[19]Fig.25 Aero-structural coupled adjoint optimization[19]

圖27 基于氣動結(jié)構(gòu)伴隨方程的旋翼非定常氣動優(yōu)化[63]Fig.27 Rotor unsteady aerodynamic optimization based on aero-structural coupled adjoint equation[63]

圖28 CASA優(yōu)化平臺組裝關(guān)系Fig.28 Relationship of CASA optimization platform assembly

圖29 氣動力耦合伴隨方程收斂歷程[64]Fig.29 Convergence history of aerodynamic coupled adjoint equation [64]

圖30 結(jié)構(gòu)應(yīng)力耦合伴隨方程收斂歷程[65]Fig.30 Convergence history of structural stress coupled adjoint equation [65]

圖31 不同方法設(shè)計結(jié)果[65]Fig.31 Design results of different methods [65]

3.2 氣動電磁伴隨方程

氣動隱身一體化始終是作戰(zhàn)飛機(jī)研制的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，兩個學(xué)科在一定程度上是矛盾體?，F(xiàn)有的氣動隱身一體化設(shè)計多采用粒子群算法、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等搜索算法。進(jìn)化搜索算法開發(fā)難度較低，具有收斂到全局最優(yōu)的能力，但優(yōu)化效率較低，調(diào)用CFD、RCS求解程序的次數(shù)隨設(shè)計變量的增加而增加，同時電磁散射較高的計算要求對進(jìn)化類算法提出了較大挑戰(zhàn)。采用式(4)展開形式推導(dǎo)氣動電磁“耦合”伴隨方程，即

(17)

式中：Ra、RE分別代表流場殘差與電磁數(shù)值計算殘差；wi、Ai分別代表流場變量與電流分布，顯然上式交叉導(dǎo)數(shù)雅克比矩陣為0，即

(18)

“耦合”伴隨方程退化為

(19)

從式(19)可以看出，氣動電磁多學(xué)科伴隨方程完全解耦，不存在耦合，這對研發(fā)體系來講難度大大降低，兩個伴隨方程完全獨立求解?；诟呖尚哦攘鲌鲭姶虐殡S優(yōu)化方面的研究從發(fā)表文獻(xiàn)上看幾乎是空白的主要原因是學(xué)科跨度較大，變分困難，計算量龐大。在流場伴隨與電磁伴隨優(yōu)化基礎(chǔ)上，本文作者構(gòu)建了氣動隱身高可信度優(yōu)化平臺，為氣動隱身綜合優(yōu)化設(shè)計奠定了技術(shù)基礎(chǔ)[52]。

3.3 流場噪聲耦合伴隨方程

流動控制方程與聲學(xué)預(yù)測方程組合求解是當(dāng)前評估飛行器噪聲的一個重要途徑。該方面的研究主要集中在直升機(jī)旋翼噪聲、發(fā)動機(jī)噴流噪聲、低速構(gòu)型流動噪聲、超聲速客機(jī)聲爆抑制等方向上。

對于亞聲速流動噪聲問題，例如增升構(gòu)型、旋翼噪聲，大多數(shù)研究工作基于FW-H方程以及LEE方程進(jìn)行，對FW-H聲輻射方程前向模式轉(zhuǎn)置可以很方便得到FW-H伴隨方程[66]：

進(jìn)一步與流場伴隨方程進(jìn)行耦合求解，最終獲得設(shè)計變量對遠(yuǎn)場噪聲的梯度。國外針對該方向開展了一系列研究工作，例如懷俄明大學(xué)Fabiano等[66]基于流場與噪聲耦合伴隨方法進(jìn)行了直升機(jī)旋翼噪聲降噪研究，顯著降低了觀測點噪聲水平，如圖32和圖33所示?；贚EE方程的伴隨方程構(gòu)造略微復(fù)雜，邱昇[67]基于流場數(shù)值模擬以及多模態(tài)線化歐拉方程進(jìn)行了多模態(tài)伴隨優(yōu)化方法研究，圖34和圖35給出了初始外形以及最優(yōu)外形近場傳播模態(tài)。

噪聲優(yōu)化的另一個重要方向就是超聲速民機(jī)的聲爆抑制，該方向目前是一個研究熱點。超聲速民機(jī)面臨的最大挑戰(zhàn)之一就是民航對其超聲速飛行時聲爆水平的嚴(yán)格限制，目前用于預(yù)測遠(yuǎn)場聲爆信號的方法主要包含波形參數(shù)法與Burgers方程，兩者在聲爆預(yù)測中具有良好的表現(xiàn)。波形參數(shù)法[68-69]存在無法預(yù)測激波上升階段、預(yù)測解存在間斷導(dǎo)致聲爆信號不可微等問題，無法進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)，且在梯度優(yōu)化體系中應(yīng)用受限。

基于伴隨方程的聲爆優(yōu)化進(jìn)而也分為兩個方向：近場聲壓變分伴隨與流場/聲爆伴隨方程，即可以對地面聲爆信號進(jìn)行變分，也可以對近場進(jìn)行變分。近場變分[70]實現(xiàn)方式更為簡單，但無法直接設(shè)計地面聲爆信號。單獨聲爆伴隨方程推導(dǎo)比較簡單，詳細(xì)過程可以參考文獻(xiàn)[71]。

圖32 直升機(jī)噪聲觀測點[66]Fig.32 Helicopter noise observation point [66]

圖33 優(yōu)化前后聲壓級對比[66]Fig.33 Comparison of sound pressure levels of initial and optimized configurations[66]

圖34 初始外形近場傳播模態(tài)[67]Fig.34 Near-field propagation mode of initial shape [67]

圖35 最優(yōu)外形近場傳播模態(tài)[67]Fig.35 Near-field propagation mode of optimized shape [67]

聲爆伴隨求解過程是聲傳播的一個反向過程，利用最終的伴隨變量可以很方便的獲取遠(yuǎn)場目標(biāo)信號對近場信號的梯度：

詳細(xì)推導(dǎo)及變量定義可參考文獻(xiàn)[71]。

流場聲爆耦合伴隨方程的推導(dǎo)思路與上述方法一致，在聲爆目標(biāo)函數(shù)中引入流場以及聲爆拉格朗日算子λf、λb：

(20)

進(jìn)行變分展開后，變分表達(dá)式為

(21)

(22)

可以看出，與氣動結(jié)構(gòu)耦合伴隨方程不同，流場/聲爆耦合伴隨方程在求解當(dāng)前代優(yōu)化問題上，只需要耦合一次即可。國外在該方面開展了一系列具有代表性的研究工作，例如，Jameson等基于近場變分形式進(jìn)行了氣動力/聲爆優(yōu)化[70]，如圖36 所示，Rallabhandi采用 FUN3D求解器自適應(yīng)網(wǎng)格進(jìn)行了超聲速飛機(jī)流場聲爆耦合伴隨方法的聲爆反設(shè)計與壓力敏感性分析[71]，如圖37 和圖38所示。

國內(nèi)在聲爆預(yù)測、優(yōu)化設(shè)計方面也開展了一定的研究，取得了一定的進(jìn)展，大多研究工作基于進(jìn)化算法以及波形參數(shù)方法等進(jìn)行[72-74]，在基于伴隨方法的可導(dǎo)型聲爆優(yōu)化上的研究非常少。本文作者開展了基于廣義Burgers方程的聲爆預(yù)測、流場/聲爆耦合伴隨優(yōu)化研究[75-76]，在伴隨方程推導(dǎo)中，引入網(wǎng)格劃分規(guī)則、不同坐標(biāo)系之間插值準(zhǔn)則大幅簡化了耦合變分的難度，并對中型公務(wù)機(jī)開展了優(yōu)化，驗證了耦合伴隨方法的有效性與高效率，圖39和圖40給出了超聲速飛機(jī)流場/聲爆耦合伴隨變量云圖以及優(yōu)化設(shè)計對比。

圖36 近場伴隨優(yōu)化[70]Fig.36 Near-field adjoint optimization[70]

圖37 NASA超聲速民機(jī)布局[71]Fig.37 NASA supersonic civil aircraft configuration[71]

圖38 壓力敏感度云圖[71]Fig.38 Pressure sensitivity contour[71]

圖39 第一伴隨變量云圖(Y=0)[76]Fig.39 First adjoint variable contour (Y=0 )[76]

圖40 耦合伴隨優(yōu)化設(shè)計歷程[76]Fig.40 Coupled adjoint optimization design history[76]

4 多學(xué)科耦合伴隨方程的發(fā)展趨勢與應(yīng)用前景

結(jié)合伴隨方程求解靈敏度工作量與設(shè)計變量無關(guān)、與目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的特征，以及多學(xué)科伴隨方法高效求解耦合靈敏度的優(yōu)勢，可以預(yù)測，耦合伴隨方法將在更高維多學(xué)科優(yōu)化、不確定度分析、學(xué)科對系統(tǒng)影響定量評估方面發(fā)揮重要作用。

4.1 多學(xué)科耦合伴隨方程發(fā)展趨勢

從現(xiàn)有文獻(xiàn)上來看，多學(xué)科耦合伴隨方法的研究工作主要集中在兩個學(xué)科范圍內(nèi)，兩個以上學(xué)科耦合伴隨方法研究較少。實際上，工程型號中兩個學(xué)科以上的耦合現(xiàn)象并不少見，盡管在實際應(yīng)用中兩個學(xué)科以上的耦合分析較少，也通常采用解耦的形式，但對于復(fù)雜系統(tǒng)耦合靈敏度分析這一基礎(chǔ)科學(xué)問題來說，該方向具有重要的研究價值，能夠為高維度多學(xué)科耦合靈敏度分析、設(shè)計提供重要技術(shù)支撐。

以超聲速飛機(jī)低聲爆設(shè)計為例，流場、聲爆傳播進(jìn)行耦合伴隨能夠為氣動力、聲爆一體化設(shè)計提供技術(shù)支持，若考慮結(jié)構(gòu)優(yōu)化引起的彈性變形，又將產(chǎn)生一系列耦合現(xiàn)象，這是一個重要的基礎(chǔ)科學(xué)問題。NASA Glenn 研究中心的Silva等分析了彈性變形對聲爆信號的影響[77]，如圖41和圖42 所示，可以看出彈性外形和剛性外形對應(yīng)的地面聲爆信號有著較為明顯的區(qū)別。因此，在詳細(xì)設(shè)計階段，必須考慮結(jié)構(gòu)彈性變形的影響，才能充分挖掘設(shè)計潛力。若考慮結(jié)構(gòu)優(yōu)化引起的彈性變形，又將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)應(yīng)力、載荷分布、氣動力、聲爆特性等發(fā)生變化等一系列耦合現(xiàn)象，這是當(dāng)前一體化設(shè)計面臨的難點，也是關(guān)鍵技術(shù)。

圖41 超聲速客機(jī)氣動彈性變形[77]Fig.41 Aeroelastic deformation of supersonic passenger aircraft[77]

圖42 彈性外形與剛性外形聲爆信號對比[77]Fig.42 Comparisons of sonic boom signals of elastic and rigid shapes [77]

如果能夠快速獲取各個子系統(tǒng)靈敏度以及氣動/結(jié)構(gòu)/聲爆耦合靈敏度，將為超聲速民機(jī)氣動外形多學(xué)科綜合設(shè)計提供有力的技術(shù)支撐。不僅如此，對于復(fù)雜系統(tǒng)的耦合靈敏度計算本身，也是一個具有挑戰(zhàn)性和重要研究意義的基礎(chǔ)科學(xué)問題，多學(xué)科耦合伴隨理論為之提供了一個有效的解決途徑。

然而，考慮氣動、結(jié)構(gòu)、聲爆耦合伴隨方程的研究工作較少，本文針對該問題，結(jié)合不同學(xué)科的伴隨算子進(jìn)行了對應(yīng)的耦合伴隨方程推導(dǎo)：

(23)

式中：Rb=p0-T，對式(20)進(jìn)行求導(dǎo)展開，

(24)

(25)

實際上，利用學(xué)科殘差對狀態(tài)變量進(jìn)行變分的雅克比矩陣，也能夠很方便組裝出該三學(xué)科耦合伴隨方程：

(26)

將式(26)展開可以得到與式(25)一致的結(jié)果。進(jìn)一步進(jìn)行高效耦合靈敏度計算，即

通過以上分析可以看出，不僅在流、固、聲耦合靈敏度分析領(lǐng)域，在其他領(lǐng)域該思想也能夠進(jìn)行有效推廣，例如，對于大展弦比隱身作戰(zhàn)飛機(jī)來講，氣動、結(jié)構(gòu)、電磁等多學(xué)科耦合伴隨方法能夠為綜合設(shè)計提供高效的耦合靈敏度計算途徑；對于尾噴管部件設(shè)計，氣動/電磁/紅外耦合伴隨同樣能夠為綜合設(shè)計提供高效的耦合靈敏度計算途徑，為充分挖掘飛行器多學(xué)科綜合設(shè)計潛力提供技術(shù)支撐。因此，高維度多學(xué)科耦合伴隨體系是值得關(guān)注的研究方向。

多個學(xué)科耦合伴隨方程的構(gòu)建關(guān)鍵是進(jìn)行學(xué)科交叉導(dǎo)數(shù)雅克比的推導(dǎo)與組裝，其推導(dǎo)工作量、存儲量與學(xué)科數(shù)目以及學(xué)科類型緊密相關(guān)，沒有顯式變分關(guān)系的學(xué)科之間交叉雅克比將自動為零。多個學(xué)科耦合伴隨方法同樣也帶來龐大的存儲問題，這點可以參照延遲處理方式來緩解該方面壓力；對于不同的目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生不同的右端項，將對應(yīng)不同的耦合伴隨方程，計算量隨學(xué)科個數(shù)增加而線性增長，實際工程中大多數(shù)問題是目標(biāo)函數(shù)個數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于設(shè)計變量，因此對耦合伴隨來講，學(xué)科耦合數(shù)目帶來的計算量基本可以承受?？梢灶A(yù)見，隨著多學(xué)科分析(MDA)方法與高性能計算機(jī)設(shè)備的發(fā)展，高維度多學(xué)科耦合伴隨方法將在飛行器氣動外形多學(xué)科優(yōu)化(MDO)設(shè)計領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。

4.2 多學(xué)科耦合伴隨在不確定性分析中的應(yīng)用

如前面所述，耦合伴隨方法在多學(xué)科優(yōu)化中起到了舉足輕重的作用，不僅如此，在不確定分析中同樣也正在發(fā)揮重要作用。例如基于不確定性的氣動結(jié)構(gòu)耦合設(shè)計中，基于氣動結(jié)構(gòu)耦合伴隨方程的敏感性分析將會大大減少計算花費[78]，尤其面對高維不確定性問題。Beran等[79]闡述了氣彈系統(tǒng)不確定分析的方法以及目前他們的進(jìn)展和難點，如維度災(zāi)難問題，并強(qiáng)調(diào)了基于耦合伴隨敏感性分析構(gòu)建梯度加強(qiáng)隨機(jī)代理模型將會有效緩解不確定分析維度災(zāi)難問題[80]。Allen[81-82]、Stanford[83]、Mani[84]、Nikbay[85]等早期開展了基于一階可靠性分析的氣動結(jié)構(gòu)耦合可靠性優(yōu)化設(shè)計，他們使用基于氣動結(jié)構(gòu)耦合伴隨方法快速求解關(guān)于耦合系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)的敏感性，如極限環(huán)振蕩和抖振速度的可靠性分析等。設(shè)計結(jié)果證明了他們的方法相對于確定性設(shè)計兼顧了效率和工程實用性。圖43給出了Stanford和Beran[86]給出的金屬薄板抖振速度的物理和正規(guī)空間分布，其中最大概率點采用一階可靠性分析給出。他們對比了抖振速度在物理和正規(guī)空間的分布，其最大概率點采用一階可靠性分析給出。然而一階可靠性分析用于近似復(fù)雜失敗概率空間時，分析精度往往難以滿足。因此，Verhoosel等[87]使用二階可靠性近似以提高抖振問題可靠性分析精度，Manan[88]、Scarth[89]、Hosder[90]和Missoum[91]等使用多項式混沌展開的方法來直接積分獲得可靠性指標(biāo)，以提供更為準(zhǔn)確的結(jié)果[92]。圖44給出了蒙特卡羅方法與多項式展開方法近似臨界速度的對比。結(jié)合伴隨敏感性分析，文獻(xiàn)[93]基于多項式混沌展開提出了穩(wěn)健性和可靠性指標(biāo)梯度計算準(zhǔn)則。目前基于多項式展開不確定分析方法結(jié)合氣動結(jié)構(gòu)耦合伴隨敏感性分析正得到更多的關(guān)注，尤其對于復(fù)雜氣動結(jié)構(gòu)耦合問題。雖然大量的氣動結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)不確定優(yōu)化應(yīng)用正在開展研究，但其難點仍然集中在高維設(shè)計變量與高維不確定變量帶來的巨大計算花費問題，即維度災(zāi)難問題[94]。通過前述研究可以發(fā)現(xiàn)，目前有希望的解決途徑是基于氣動結(jié)構(gòu)耦合伴隨敏感性分析以提高高維不確定分析的效率和精度，和基于氣動結(jié)構(gòu)耦合伴隨敏感性的不確定優(yōu)化過程。

圖43 考慮前后緣扭轉(zhuǎn)剛度不確定性的薄板抖振速度物理和正規(guī)空間分布(*指示最大概率點)[86]Fig.43 Physical and normal spatial distribution of buffeting velocity of thin plate considering uncertainty of torsional stiffness of front and rear edges (* indicates the maximum probability point) [86]

圖44 考慮不確定參數(shù)的某一范圍內(nèi)的臨界不穩(wěn)定速度及概率密度函數(shù)(PDF)分布[94]Fig.44 Critical instability velocity and probability density function (PDF) distribution in a range of uncertain parameters [94]

5 結(jié)論和展望

面向飛行器氣動外形綜合設(shè)計，文中首先系統(tǒng)回顧了各個學(xué)科的伴隨方法發(fā)展及其在優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域的應(yīng)用現(xiàn)狀。系統(tǒng)梳理了多學(xué)科耦合伴隨方法發(fā)展現(xiàn)狀及其關(guān)鍵技術(shù)，總結(jié)了多學(xué)科伴隨優(yōu)化方法在氣動/結(jié)構(gòu)、氣動/隱身、流場/噪聲等方面的耦合優(yōu)化應(yīng)用。

結(jié)合多學(xué)科耦合伴隨方程構(gòu)建以及在工程應(yīng)用中面臨的實際問題，并基于現(xiàn)有研究工作提出了解決途徑。基于耦合伴隨方程高效求解耦合靈敏度的優(yōu)勢，展望了多學(xué)科耦合伴隨方法將在高維多學(xué)科伴隨、不確定度分析、學(xué)科對系統(tǒng)影響定量評估等幾個方向的發(fā)展趨勢。

多學(xué)科耦合伴隨能夠快速獲取各個子系統(tǒng)的靈敏度以及復(fù)雜問題耦合系統(tǒng)的靈敏度，將為未來先進(jìn)飛行器氣動外形多學(xué)科一體化綜合設(shè)計提供有力的技術(shù)支撐。不僅如此，對于復(fù)雜系統(tǒng)的耦合靈敏度計算本身，無論是對基礎(chǔ)科學(xué)問題還是工程應(yīng)用，尤其對于新一代先進(jìn)飛行器研制來講，該方向具有重要研究意義。

致 謝

在本文的研究工作中，周琳、劉沛、趙歡、張繹典等給予了數(shù)據(jù)和技術(shù)支持， 大連理工大學(xué)陳飆松教授、張盛副教授等在結(jié)構(gòu)有限元建模、有限元分析方面給予了建議，在此表示感謝！