安澤，熊芬芬，梁卓楠

北京理工大學 宇航學院，北京 100081

近年來，隨著美國太空探索技術公司的獵鷹-9(Falcon 9)火箭一子級多次成功返回及重復使用，垂直起降可重復使用運載火箭子級返回技術由于可大幅降低航天發(fā)射成本、減少航天發(fā)射周期，引起了國內外學者的廣泛關注[1-2]?；鸺蛹壏祷剡^程中，需要利用有限的控制能力實現(xiàn)大范圍減速，且滿足過程約束和苛刻的定點垂直著陸終端約束(如：位置、速度、航跡角等)[3]。同時，要盡量減少燃料消耗以提高火箭運載能力并應對突發(fā)情況。除此之外，火箭在著陸返回時最小推力通常要遠大于火箭自身重力，因此火箭無法靠懸停等動作調整位置與姿態(tài)，而必須持續(xù)減速，這對制導控制也提出了更高的要求。子級返回制導可描述為復雜多約束條件下的最優(yōu)控制問題，傳統(tǒng)的上升段或經(jīng)典再入制導方法難以直接應用。

早年間已經(jīng)有大量關于有動力軟著陸制導方法的研究，文獻[4-5]針對月面著陸問題，將加速度表示為時間的二次函數(shù)，實時計算閉環(huán)形式的解析制導律，但無法應對推力限幅的情況[6]；之后幾十年間，數(shù)值方法和近似方法被逐漸提出，非線性最優(yōu)控制被越來越多地應用到火箭垂直軟著陸制導問題上。Sostaric和Rea[7]將Legendre偽譜法應用到火星和月球多約束定點著陸制導問題上，將最優(yōu)控制問題轉換為非線性規(guī)劃問題進行求解。但非線性規(guī)劃求解耗時長，收斂速度慢，無法應用于在線制導，而開環(huán)優(yōu)化又無法克服模型誤差和干擾等問題。

近年來，Acikmese等[8-9]將凸優(yōu)化方法成功應用于火星軟著陸問題，為火箭有動力回收著陸段制導提供了新的思路。由于凸優(yōu)化算法具有計算效率高的特點[10]，在飛行器軌跡優(yōu)化和制導中逐漸得到越來越多的應用。Liu和Lu[11]提出針對非凸約束的逐次線性化方法，將非凸約束轉化為凸約束，最終將非線性最優(yōu)控制問題轉化為二階錐規(guī)劃問題進行求解，并成功用于航天器交會對接、軌道轉移等問題。由于上述所涉及的最優(yōu)控制問題相對較為簡單，不涉及氣動非線性，所以能夠較方便地實現(xiàn)凸化和求解。然而，很多飛行器制導問題需要考慮氣動力的影響，控制方式也更為復雜，需要同時對推力的大小和方向進行設計。一種常用的方法是逐次逼近，利用序列凸優(yōu)化進行迭代求解，如：路釗利用序列凸優(yōu)化方法求解高超聲速再入軌跡規(guī)劃問題[12]；張志國等提出火箭回收著陸段的在線序列凸優(yōu)化方法，并結合滾動時域控制策略在線實時更新狀態(tài)信息，提高凸優(yōu)化制導方法的精度和魯棒性[13]?；谥鸫伪平那蠼夥椒?，可直接在小范圍內對非線性動力學等式約束進行線性化，通過序列凸優(yōu)化實現(xiàn)逐次逼近，無需對原問題進行前期繁瑣的凸化和變換，實現(xiàn)簡單，但該方法的效果在很大程度上依賴于模型的形式與復雜程度，對于許多模型存在迭代不容易收斂的問題，尤其是考慮氣動力的復雜模型。而且，當狀態(tài)量和約束較多時，求解效率達不到目前在線制導的要求。

針對以上問題，Liu等[14]指出凸優(yōu)化完全依賴線性化無法保證求解性能，尤其對于再入軌跡優(yōu)化這類非線性較強的問題，提出逐次線性化和松弛技術以更合理地對再入軌跡優(yōu)化問題進行凸化。進一步地，Liu[15]針對火箭返回著陸問題，考慮氣動力引入的非凸性，通過引入變量替換、松弛等凸化技術，較好地解決了序列線性近似逼近方法難以收斂的問題。顯然，通過引入合理的凸化和變換對最優(yōu)控制模型進行裁剪，明顯改善了凸優(yōu)化求解的性能，但凸化工作具有較強的經(jīng)驗性，不同的問題凸化變換處理方法可能完全不同，即使形式上非常相似的2個問題，凸化處理方式也很難照搬，且凸化上細微的不合理，都極有可能導致求解不收斂，通用性與工程應用性較差，工程人員難以快捷地應用。

火箭垂直軟著陸制導問題為一典型的約束落角、落速與落點位置的制導問題，工程常用的帶落角約束的比例導引方法[16]能較好地處理落角和落點位置約束，且產(chǎn)生的飛行軌跡平滑，但無法解決落速約束以及控制約束，而凸優(yōu)化能有效處理各種約束[17]。為了充分利用凸優(yōu)化求解效率高且能處理多約束的優(yōu)勢，同時避免凸優(yōu)化收斂困難和前期復雜繁瑣的凸化變換，提高凸優(yōu)化在求解火箭垂直軟著陸制導問題時的收斂性和通用性，本文提出將帶落角約束的比例導引和凸優(yōu)化進行結合，實現(xiàn)火箭垂直軟著陸制導。將火箭的運動分解為法向運動和切向運動，將帶落角約束的廣義比例導引方法應用到火箭的法向制導上，產(chǎn)生相應的攻角控制火箭著陸，使其滿足落點和落角約束。同時，將凸優(yōu)化和滾動時域控制方法應用到火箭的切向制導上，充分利用凸優(yōu)化的快速性，使軟著陸問題滿足落速和推力控制約束。由于將火箭的運動分解為切向和法向控制，落點和落角約束在法向非常方便地得以滿足，而切向控制的凸優(yōu)化求解在基準軌跡近似策略下動力學模型得以大為簡化，僅包含速度、推力和質量狀態(tài)量和推力控制量，無需對模型進行復雜繁瑣的凸化剪裁處理，求解效率和收斂性大為改善。而且，針對任意約束末速度的推力優(yōu)化問題，均可結合該模型與凸優(yōu)化方法進行求解。因此，相比于現(xiàn)有的凸優(yōu)化方法，提出的制導方法具有更強的工程適用性。

1 問題描述

1.1 火箭有動力著陸段動力學模型

圖1為火箭子級降落段二維幾何關系圖，圖中OXY為慣性坐標系，M為火箭返回體?；鸺祷伢w位置為(x,y)，速度為V，返回所經(jīng)過的路徑為r，航跡角為θ(速度方向與水平方向的夾角)，攻角為α(火箭速度方向與火箭軸向方向的夾角)。T為火箭期望落點(xt,yt)，P為火箭推力，其方向為火箭軸向的反方向。

圖1 火箭子級降落段縱向平面幾何關系圖Fig.1 Geometric diagram of rocket landing in longitudinal plane

由此建立火箭返回體著陸段的縱向平面質點動力學模型為

(1)

式中：g為地球表面重力系數(shù)；FD為氣動阻力；FY為氣動升力；Isp為火箭燃料的比沖;m為火箭質量。

FD和FY的表達式分別為

(2)

ρ=ρ0e-βy

(3)

1.2 箭-目相對運動學描述

火箭返回定點著陸的制導問題涉及火箭與目標落點的相對運動，圖2為縱向平面內“箭-目”相對運動的二維幾何關系圖，其中“箭-目”視線角為q、火箭速度與“箭-目”連線間的夾角為η、“箭-目”距離為s。

圖2 縱向平面“箭-目”相對運動幾何關系圖Fig.2 Geometric diagram of “rocket-target” relative motion in longitudinal plane

“箭-目”相對運動學方程為

(4)

1.3 火箭垂直著陸約束描述

火箭垂直返回著陸制導通過調整發(fā)動機的推力大小和箭體的攻角，對火箭加以控制，使其在盡可能降低燃料消耗的情況下，滿足各類約束，如：初始位置和速度、終端速度和航跡角等，降落到預定著陸點，并且能夠抵抗一定的干擾。其中，推力的方向由攻角和航跡角決定，因此控制量為推力大小P和攻角α。

制導過程中需要滿足的約束包括以下幾類：

1) 始端約束

(5)

2) 終端約束

返回任務要求火箭以接近0的速度和幾乎垂直的航跡角降落在指定落點。

(6)

3) 控制約束

火箭的控制能力有限，因此其攻角一般限制在一定范圍內，以防止過于劇烈的姿態(tài)變化；火箭的推力通常也會約束在一定范圍內。

(7)

2 火箭垂直著陸在線制導方案

本文提出的火箭垂直著陸在線制導方案將火箭飛行的法向控制與切向控制分離，將帶落角約束的廣義比例導引方法應用于法向控制，將在線滾動時域凸優(yōu)化應用于切向控制。對于火箭垂直著陸制導問題，沿速度切向的火箭主推力分量和氣動阻力主要決定了火箭的切向運動，沿速度法向的火箭推力分量和氣動升力主要決定了火箭的法向運動。帶落角約束的廣義比例導引制導律可有效解決火箭著陸的落角與落點約束，且形式解析、實現(xiàn)簡單，但無法滿足火箭的著陸的速度約束和推力范圍約束。為此，在切向運動上，利用凸優(yōu)化方法快速規(guī)劃推力，使之滿足落速約束。同時在滾動時域控制架構下實時更新狀態(tài)信息，實現(xiàn)在線制導。

圖3為本文提出的火箭垂直著陸制導方案的流程圖。對于切向控制，在每個制導周期開始，進行終端速度約束下的凸優(yōu)化求解，求取最優(yōu)推力序列(預測)，同時在當前制導周期將對應時域的推力序列作用于火箭動力學(控制)，并將預測的需用狀態(tài)(推力P、質量m、剩余飛行時間tgo)傳遞給法向控制；等到下一個制導周期到來，更新火箭當前的飛行狀態(tài)參數(shù)，開始新的制導周期的預測和控制。對于法向控制，獲取當前實測的狀態(tài)(速度V、大氣密度ρ)，以及無法直接實測、需要依靠凸優(yōu)化預測的狀態(tài)量(推力P、質量m、剩余飛行時間tgo)，生成需用攻角，控制火箭以要求的落角降落于指定點。

圖3 火箭垂直著陸制導方案流程圖Fig.3 Flow-chart of rocket vertical landing guidance

2.1 基于偏置比例導引的法向制導

采用文獻[18]中的基于多項式函數(shù)的落角約束比例導引律:

(8)

基于上述制導律可給出火箭的法向需用過載指令，火箭的法向控制最終體現(xiàn)在攻角α指令上，攻角指令產(chǎn)生的法向控制力主要來自火箭推力在速度方向法向上產(chǎn)生的分力，另外攻角還會附加產(chǎn)生垂直于速度方向的氣動升力。因此，由攻角產(chǎn)生的法向加速度an為

(9)

由于本文所研究的問題涉及的攻角約束在一小范圍，可看作一小量，因此sinα≈α?；谑?8) 和式(9)，可得需用攻角為

(10)

制導指令在執(zhí)行過程中需要當前的狀態(tài)信息，如速度V、質量m和推力P等，其中速度可通過傳感器實時測出；質量m、推力P和剩余飛行時間tgo將通過切向的滾動時域凸優(yōu)化在當前制導周期求解獲得。經(jīng)過上述方法可使火箭獲得實際攻角指令，控制火箭在滿足落角約束的同時降落在指定位置。關于tgo的計算將在2.2.2節(jié)中進行具體介紹。

2.2 基于凸優(yōu)化和滾動時域控制的推力在線規(guī)劃

2.2.1 速度切向運動模型的簡化

為了通過控制推力使速度在著陸時剛好降至0附近，本文提出將火箭垂直返回的切向運動制導從火箭制導的動力學模型中剝離出來，采用序列凸優(yōu)化方法對推力進行快速優(yōu)化，并結合滾動時域控制方法，在制導飛行過程中進行多周期的狀態(tài)更新和重新規(guī)劃，以消除誤差與干擾。

根據(jù)式(1)，剝離出與速度相關的式子，與速度V相關的量包括推力P、路程r和質量m，有

(11)

式(11)中以時間t為自變量，但火箭飛行至落點的時間無法提前確定，為了避免對飛行時間尋優(yōu)，提高凸優(yōu)化求解的效率，且考慮到路程r單調遞增，將r作為自變量，將式(11)中的第1和第3個方程分別除以第2個方程，有

(12)

式(12)中，涉及未知變量θ、α以及氣動阻FD。FD的表達式見式(2)，其中ρ與高度y有關，而高度y是未知項。攻角α通過式(10)求出，此項無法提前估計。由于攻角是小量，認為cosα≈1。進一步，若能將θ與y表示為自變量r的函數(shù)，式(12) 所示模型便可以進行優(yōu)化求解。為此，將式(12)變?yōu)?/p>

(13)

2.2.2 剩余飛行時間的求解

2.2.1節(jié)中為了便于凸優(yōu)化求解，進行了自變量替換，而求解出的控制量最終應當是時間t的函數(shù)?；谕箖?yōu)化求解出的V(r)和r可反解出時間t：

(14)

火箭垂直返回任務在速度法向上采取約束落角的偏置比例導引制導方法，如式(10)所示。可以注意到偏置比例導引中需要的tgo是未知的，tgo的估計精度直接決定了末端落角能否收斂至期望落角。剩余飛行時間tgo在很大程度上是由火箭的速度切向運動決定的，這部分運動由序列凸優(yōu)化求解，而通過式(14)對變量t的反求可知，飛行過程中的任意點上剩余飛行時間是很容易得到的?；跐L動時域控制的思想，在路徑上每一個狀態(tài)更新點時初始時間為t=0，由式(14)可求出預計到達落點的飛行時間為

(15)

式(15)積分的求解過程并非復雜，對于已知總的飛行路程R，由于凸優(yōu)化求解出的最優(yōu)狀態(tài)量是離散的，離散分段數(shù)為N，則式(15)中的積分可以簡單表示為

(16)

式中：T為凸優(yōu)化求解中自變量r的離散周期;Vi為第i個離散點上的速度。

已知狀態(tài)更新點至路徑上任意一點已經(jīng)飛過了時間tpass，那么剩余飛行時間應當為

(17)

這樣便可以通過速度切向的優(yōu)化求解估算出法向制導需要的預估剩余飛行時間。

2.2.3 基準軌跡生成

分析可知，在進行凸優(yōu)化求解的過程中，若要求解推力P、速度V與質量m，關鍵是要獲得較為準確的自變量r和相應的θ(r)與y(r)，但目前尚無法預知未來飛行軌跡的任何數(shù)據(jù)。為此，本文提出提前構建一條基于三次多項式的“基準軌跡”，以近似實際飛行軌跡。之所以使用三次多項式近似“基準軌跡”，原因有兩點。首先，在軌跡較為平滑的前提假設下，在滾動時域控制的每一個制導周期，軌跡x=f(y)可由初始點位置(x0,y0)與航跡角θ0(這些初始狀態(tài)由火箭當前狀態(tài)決定)、終點位置(xf,yf)與航跡角θf(這些終端狀態(tài)為火箭著陸的約束值)大致確定，共4個已知量(y0,θ0,yf,θf)剛好能確定一個三次多項式函數(shù)，因此這里沒有選擇二次多項式或更高階(>3)的多項式。

另外，使用多項式形式能保證快速生成基準軌跡，大為降低切向制導凸優(yōu)化求解的復雜度與計算量。雖然三次多項式近似必然存在偏差，但該軌跡僅用于為凸優(yōu)化提供參考軌跡數(shù)據(jù)，此處導致的誤差可以通過滾動時域控制的閉環(huán)制導策略進行消除，而且實際的飛行軌跡很大程度上由偏置比例導引確定。另一方面，對于工程實際而言，對制導算法的穩(wěn)定性和實時性要求更為迫切，基于三次多項式近似軌跡進行凸優(yōu)化所得軌跡雖非最優(yōu)，但是能在滿足各種約束的情況下，提供一個可行的近乎最優(yōu)的解，也是非常有意義的。

設軌跡曲線函數(shù)x=f(y)為

x=kay3+kby2+kcy+kd

(18)

對式(18)求導得

x′=3kay2+2kby+kc

(19)

由于初始位置(x0,y0)和初始航跡角θ0、終點位置(xf,yf)和終點航跡角θf=-90°已知，便可計算初始點和終點的斜率。將這些信息代入式(18) 和式(19)，可得

(20)

求解上述線性方程組，可得三次多形式軌跡曲線中的系數(shù)為

(21)

采用上述方法求解由初始點至落點的三次多項式曲線，完成對實際飛行軌跡的近似，從而近似預測θ(r)與y(r)。設飛行軌跡近似曲線為C(y,x)，可求取曲線上r和θ：

(22)

由于路程r為自變量，基于式(22)可求出近似的θ(r)和y(r)。至此，式(13)的簡化模型就能進行優(yōu)化求解。另外，優(yōu)化中需要給定自變量r的范圍[0,R]，可根據(jù)式(23)得到r的最大值，即：近似軌跡曲線的總路程為

(23)

2.2.4 求解推力的最優(yōu)控制問題描述

基于2.2.1～2.2.3節(jié)的描述，建立帶末速約束的最優(yōu)控制問題P1:

P1: FindP(r)

(24)

式(24)中的優(yōu)化目標沒有明確的實際物理意義，但與火箭制導能量最省的目標一致。而且，對于本項目的凸優(yōu)化求解，其中的約束都將轉化為線性約束，目標函數(shù)將離散為二次型函數(shù)，這將有利于獲得更加光滑的便于實際工程應用的控制量。

2.2.5 非線性約束的凸化處理

首先對非線性動力學等式約束式(13)進行凸化，為書寫方便將式(13)簡寫為

(25)

式中：X=[V,m]，U=[P]。

設某參考軌跡上狀態(tài)和控制量分別為Xref(k)=[Vk,mk]T和P(k)=Pk(k=0,1,2,…)。以下統(tǒng)一將Xref(k)記為Xk，在參考軌跡處對非線性狀態(tài)方程(25)進行一階泰勒展開，得

(26)

式中：各項系數(shù)矩陣中的下角標k表示對應第k條參考軌跡，分別表示為

Ck=f-AkXk-BkUk=

在經(jīng)過凸化處理的式(26)基礎上，進一步進行離散化。設離散周期為T，離散周期數(shù)為N，則狀態(tài)方程離散為

X(i+1)=A(i)X(i)+B(i)U(i)+C(i)

(27)

式中:A(i)=TAk+I2(I2為2×2的單位矩陣)，B(i)=TBk，C(i)=TCk。

經(jīng)過凸化和離散化處理后，形成二階錐規(guī)劃問題P2,即

P2:FindP(r)

(28)

上述凸優(yōu)化問題可采用序列凸優(yōu)化算法[15,19-20]進行求解。用于凸化動力學方程的“序列凸優(yōu)化”方法目前在諸多問題中都有應用并取得了較好的效果。但是其收斂性的證明非常困難，基本不可能[21]。目前只能通過仿真手段針對具體的問題從仿真結果去判斷序列線性近似方法的收斂性，如：是否在有限迭代次數(shù)內收斂至給定誤差限[19]。從第3節(jié)展示的數(shù)值仿真結果可以看出，序列線性近似方法對于本文涉及的火箭著陸制導問題具有很好的收斂性。

2.2.6 基于滾動時域在線優(yōu)化的制導算法

上述優(yōu)化模型(式(28))在推導構建中進行了若干簡化和近似，如：攻角小量處理、基于三次多項式的飛行軌跡近似、凸化中動力學方程的序列線性近似等，這將不可避免地導致優(yōu)化模型與原問題模型存在一定的偏差。此外，火箭返回過程中存在諸多隨機不確定性因素，如：推力偏差、氣動數(shù)據(jù)偏差和風干擾等。僅進行一次序列凸優(yōu)化求解的開環(huán)制導方式無法應對上述模型誤差與不確定性因素，進而導致較大制導誤差。為此，將凸優(yōu)化與滾動時域控制進行結合，形成閉環(huán)優(yōu)化制導。在每個制導周期內，利用凸優(yōu)化對推力進行快速規(guī)劃，得到未來所有時刻的推力指令，并在下一周期應用該指令；到達制導周期節(jié)點后，更新當前飛行狀態(tài)作為優(yōu)化初始狀態(tài)，并在下一周期內使用更新后的初始狀態(tài)迅速進行新一次的序列凸優(yōu)化求解，求解出新的未來所有時刻推力指令，以此類推直到火箭著陸。

3 仿真分析

下面給出一組帶落角與落速約束的火箭垂直返回著陸仿真算例，表1為火箭的基本參數(shù)，表2為火箭返回段的初始狀態(tài)參數(shù)和垂直著陸落點約束要求。

表1 火箭結構與氣動參數(shù)Table 1 Rocket structure and aerodynamic parameters

表2 火箭返回任務初始約束與著陸終端約束
Table 2 Initial and landing terminal constraints of rocket landing

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值初始速度V0/(m·s-1)253期望降落速度Vf/(m·s-1)0初始航跡角θ0/(°)-75期望落角θf/(°)-90初始橫坐標x0/m0期望落點橫坐標xf/m360初始縱坐標y0/m1 950期望落點縱坐標yf/m0初始質量m0/kg80 000

3.1 基于偏置比例導引與開環(huán)凸優(yōu)化的制導仿真

偏置比例導引設置比例系數(shù)n=3。為驗證序列凸優(yōu)化的有效性，首先不使用閉環(huán)滾動時域控制策略，而是只在軌跡初始位置進行一次開環(huán)序列凸優(yōu)化。對于序列凸優(yōu)化，設定優(yōu)化狀態(tài)、控制變量的離散點數(shù)均為50，凸優(yōu)化算法采用內點法(ipopt)。在使用雙核四線程i3 550 CPU、8 G內存的普通臺式機上進行仿真測試。序列凸優(yōu)化求解共迭代6次后滿足收斂條件，求解時間每次迭代約0.3 s，凸優(yōu)化求解一次耗時約1.8 s。圖4(a)～圖4(f) 展示了基于開環(huán)序列凸優(yōu)化與偏置比例導引的實際制導軌跡、速度、航跡角、質量變化、攻角和推力曲線。表3給出了軌跡終端落點約束的滿足情況。

從圖4和表3中可以看到，所得的控制量推力P始終在要求的約束范圍內，但落點速度、落角與落點均出現(xiàn)了一定的偏差。上述偏差產(chǎn)生的原因是本文建立的凸優(yōu)化模型(式(28))在推導構建中進行了若干簡化和近似，如：攻角小量處理、基于三次多項式的基準軌跡近似、凸化中動力學方程的序列線性近似等，這些都將不可避免地導致優(yōu)化模型與原問題模型存在一定的偏差，進而導致開環(huán)優(yōu)化存在誤差。圖4(a)展示了實際開環(huán)制導軌跡與凸優(yōu)化所用到的三次多項式基準軌跡，可以看到二者存在一定的偏差，但是偏差不明顯?；鶞受壽E為凸優(yōu)化提供航跡角θ(r)、高度y(r)和飛行軌跡距離R必備數(shù)據(jù)，保證火箭制導切向與法向的解耦，基準軌跡近似帶來的偏差成為開環(huán)制導出現(xiàn)偏差的主要原因之一。這些近似帶來的制導偏差包括基準軌跡近似偏差，可通過結合滾動時域控制的閉環(huán)制導策略得以消除。而且，在閉環(huán)制導的每個制導周期，基準軌跡會自動更新，將更加貼合實際飛行軌跡，這在3.2節(jié)的仿真結果中會得到證實。

圖4 基于比例導引和開環(huán)凸優(yōu)化的制導仿真曲線Fig.4 Simulation results of proportional guidance and open-loop convex optimization based guidance

表3 開環(huán)仿真終端落點約束滿足情況Table 3 Terminal constraints for open-loop guidance

3.2 基于偏置比例導引與閉環(huán)凸優(yōu)化的在線制導仿真

從3.1節(jié)的仿真可見，開環(huán)凸優(yōu)化將導致較大的制導誤差。因此，本節(jié)將對基于偏置比例導引與閉環(huán)凸優(yōu)化的制導進行測試。3.1節(jié)中已經(jīng)提到每次凸優(yōu)化求解耗時約1.8 s，仿真中只需要保證各周期優(yōu)化求解時間小于制導周期時間即可。在本節(jié)仿真中設定滾動時域優(yōu)化制導周期為2 s。

仿真依然使用表1和表2中設定的參數(shù)值。表4給出了火箭返回閉環(huán)制導下落點的滿足情況，相關的仿真結果如圖5所示。

圖5中間隔使用不同的顏色和線型以區(qū)別各個制導周期的狀態(tài)曲線。其中，圖5(a)中實線為閉環(huán)制導軌跡，同顏色虛線為相同制導周期內所生成的基準軌跡，可以看出隨著制導周期的往前推進，基準軌跡與實際軌跡越來越接近，偏差越來越小，到最后一個制導周期，二者幾乎重合。這也驗證了滾動凸優(yōu)化制導策略在消除偏差方面的有效性，同時也再次印證采用三次多項式近似基準軌跡的方案是合理可行的。圖5(f)為各制導周期中序列凸優(yōu)化求解出的推力曲線(從當前制導周期開始時刻到飛行結束)，在各狀態(tài)更新點經(jīng)過狀態(tài)更新后，再次進行序列凸優(yōu)化以更新推力優(yōu)化結果。圖5(g)為實際飛行中火箭應用的推力指令，也就是各制導周期內序列凸優(yōu)化求解所得的最優(yōu)推力指令的第一個序列，顯然推力始終在約束的范圍。從表4中可以看到，最終實際降落速度為0.01 m/s、落角為-89.95°，實際落點橫坐標與期望值相差幾乎可以忽略，實際落點縱坐標與期望相差不到1 m，落速、落角與落點約束的滿足情況均遠優(yōu)于開環(huán)凸優(yōu)化?；跐L動時域序列凸優(yōu)化和偏置比例導引的火箭垂直返回制導在落角約束、落點速度和落點偏差上都可以獲得令人滿意的結果。

表4 閉環(huán)仿真終端落點約束滿足情況Table 4 Terminal constraints for closed-loop guidance

圖5 閉環(huán)滾動時域凸優(yōu)化制導仿真結果Fig.5 Simulation results of closed-loop convex optimization based guidance

此外，采用序列凸優(yōu)化方法求解切向最優(yōu)推力，每個制導周期迭代次數(shù)為4～6次，且迭代均滿足收斂誤差要求。從圖5的仿真曲線也能看出序列凸優(yōu)化方法求解火箭切向制導問題能滿足各類約束，實現(xiàn)精確的定點著陸，具有很好的收斂性。

為了展示本文提出的切向和法向分開制導方法的優(yōu)勢，考慮完全同樣的火箭軟著陸動力學問題，設定同樣的制導周期、狀態(tài)和控制變量離散數(shù)量，采用滾動時域控制結合序列凸優(yōu)化方法[15,19,20](本文簡稱為現(xiàn)有方法)直接對火箭垂直著陸制導問題進行求解，同時獲取最優(yōu)推力和攻角。圖6為本文提出的制導方法與現(xiàn)有方法所得的飛行軌跡、推力、攻角曲線的對比圖。

圖6 兩種方法的仿真曲線對比Fig.6 Simulation curves of two methods

圖6中黑色實線表示本文提出方法的結果，虛線為現(xiàn)有滾動序列凸優(yōu)化方法的結果。從圖6(b)和圖6(c)中可以看到，使用提出的基于偏置比例導引與滾動凸優(yōu)化的制導方法所得的控制量(推力和攻角)曲線較為平滑，更加適合于工程應用；現(xiàn)有方法直接采用滾動凸優(yōu)化，所得控制量曲線震蕩較為劇烈。而且，從圖6(a) 中可以看出，提出方法的飛行軌跡更為平滑，原因在于該方法下火箭的法向運動基本由偏置比例導引決定，而偏置比例導引已經(jīng)被證明某些性能指標下具有最優(yōu)性，且所得控制量均勻平滑，飛行軌跡較為平直[16]。而且，由于切向和法向分開制導，并引入三次多項式基準軌跡近似策略實現(xiàn)切向和法向的解耦，火箭切向運動的最優(yōu)控制模型大為簡化，狀態(tài)變量減少，優(yōu)化控制變量僅為推力P，模型線性化帶來的偏差影響更小，因此凸優(yōu)化求解更為容易?，F(xiàn)有方法直接對包含法向和切向的最優(yōu)控制模型進行線性化凸化，由于模型狀態(tài)量和控制量多，狀態(tài)的耦合更強，線性化帶來的偏差影響更大，凸優(yōu)化求解必然更加困難。

表5展示了2種方法仿真飛行時間、優(yōu)化算法用時、各周期迭代次數(shù)和制導周期平均優(yōu)化算法用時的對比。本文的所有算例均使用MATLAB語言進行編程仿真，仿真使用的計算機處理器為i3 550雙核處理器，內存為8 G。從中可以看出本文提出方法的優(yōu)化算法總用時15.2 s，共8個制導周期，平均每個制導周期優(yōu)化用時為1.9 s、優(yōu)化迭代4～6次?，F(xiàn)有方法優(yōu)化算法總用時37.2 s，8個制導周期，平均每個制導周期優(yōu)化用時為4.65 s、每個周期優(yōu)化迭代大約8～10次，在當前計算環(huán)境下用時已經(jīng)超出了設定的制導周期。由此可見，本文提出的制導方法計算速度更快，而且所生成的控制量曲線更加平滑，具有更強的工程適用性；現(xiàn)有方法雖然能保證各類約束的滿足，但是所得的攻角和推力曲線均出現(xiàn)大幅振蕩，且優(yōu)化迭代次數(shù)多、收斂慢，求解效率低。

提出的方法具有更快的計算速度，原因是提出的方法將導彈制導分為切向和法向控制，法向采用解析式的高效比例導引，切向的最優(yōu)控制問題僅包含推力控制量，涉及3個狀態(tài)量(V、m、P)，使用序列凸優(yōu)化方法離散點為50，設計變量個數(shù)為3×50=150。現(xiàn)有方法直接采用序列凸優(yōu)化方法，涉及狀態(tài)量V、θ、x、y、m、t和控制量P和α，共8×50=400個。除此之外，狀態(tài)變量個數(shù)的不同導致動力學線性化之后的線性等式約束的數(shù)目也存在很大差距。表6給出了2種方法凸優(yōu)化求解中優(yōu)化變量和約束的數(shù)目，可見提出方法的優(yōu)化變量和約束的數(shù)目都要明顯小于現(xiàn)有方法。提出方法由于將切向和法向分開制導，切向凸優(yōu)化優(yōu)化變量的個數(shù)以及約束的個數(shù)都明顯減少，有利于降低計算量；而且切向凸優(yōu)化模型得以簡化，線性化帶來的影響更小，每個制導周期收斂所需迭代次數(shù)更少，因此計算耗時顯著減少。

表5 2種方法落點約束的滿足情況Table 5 Constraint satisfaction of two methods

表6 2種方法凸優(yōu)化求解中優(yōu)化變量與約束數(shù)目
Table 6 Numbers of design variables and constraints of two methods

方法設計變量數(shù)量約束數(shù)量提出的方法150201現(xiàn)有方法400605

4 結 論

本文提出了一種基于偏置比例導引和序列凸優(yōu)化的火箭返回垂直軟著陸制導方法。仿真結果表明：

1) 法向采用偏置比例導引，使火箭著陸滿足落點與落速要求。

2) 切向采用滾動時域凸優(yōu)化模型，結合本文提出的三次曲線擬合軌跡方法，保證火箭著陸的末速度約束，經(jīng)仿真驗證具有足夠的精度。

3) 本文將提出方法與目前已有的滾動時域序列凸優(yōu)化方法進行對比，以更少的計算時間和計算量解決火箭垂直著陸問題，且具有更好的收斂性，所產(chǎn)生的控制指令更為平滑，工程上更容易實現(xiàn)。