莊其鑫，莫蓉，萬能，郭彥亨

西北工業(yè)大學 機電學院，西安 710072

葉輪、葉盤類零件在航空、船舶等領域有著廣泛的應用，其葉片設計多為自由曲面，扭曲度高、流道狹窄，因此如何在保證精度和效率的前提下完成曲面測量成為了一項挑戰(zhàn)。工業(yè)界中傳統(tǒng)的測量方法是使用三坐標測量機，但由于其需要二次定位、離線裝夾，導致測量過程繁瑣、耗時過長[1]。而在機測量可以避免重復定位和離線裝夾，且可以將測量結果應用于后續(xù)自適應加工[2]，因而具有廣泛的應用前景。

對于觸發(fā)式測頭，預行程誤差是影響最終測量誤差的主要影響因素[3]。由于其內部結構的各向異性，使得在不同探針軸向下紅寶石球上觸碰點會引入不同的預行程誤差，延長了標定時間。傳統(tǒng)的方法是在標準球上標定盡可能多的點，擬合成預行程誤差圖，但這不利于提高在機測量的效率，也不能得到準確的標定補償量。對此，國內外專家學者進行了廣泛的研究。王立成等[4]通過標定標準球上一系列點，插值計算球面上不同法矢方向上的誤差補償并進行修正。Li等[5]提出了一種新的在機測量方法，通過使用力控式測頭計算與工件接觸的觸發(fā)力來規(guī)劃采樣點，并用觸發(fā)力來補償紅寶石球上觸碰方向的誤差。Wozniak和Dobosz[6]建立了一種觸發(fā)式測頭測量預行程誤差的三維理論模型，通過實驗驗證了紅寶石球上不同觸碰點的各向異性誤差。Renemayer等[7]提出了一種實驗標定方法來擬合預行程誤差的三葉草圖，通過插值擬合方法在誤差圖中得到任意觸碰點的標定補償量。

在機床幾何誤差項的辨識方面：田文杰等[8]通過改進激光測量原理的“九線法”，建立新型幾何誤差辨識模型，該模型可提高誤差辨識的穩(wěn)定性。葉建華等[9]利用標準球和接觸式測頭，提出了基于旋轉軸4項定位誤差、6項運動誤差的綜合誤差模型辨識方法。Lee等[10]使用參數化的方法建立旋轉軸的幾何誤差，測量路徑設置為幾何誤差敏感的方向。Zhang等[11]利用雙球桿儀在兩個平面上進行圓周測試，這種測試可以融合3個移動軸和兩個旋轉軸的影響，便于確定旋轉軸的幾何誤差。通過分析以上文獻，機床雙向旋轉時引入的誤差大于單向旋轉時引入的誤差[12]，因而在測量精密工件時應盡量減少機床旋轉軸的旋轉方向變化。

上述方法大都先標定紅寶石球上一組位置的誤差，再擬合其他位置的誤差用于補償測量結果。這造成補償結果不準確，標定時間過長；另一方面，忽略了由于機床旋轉軸引入的誤差，缺少對探針軸向控制機床轉臺旋轉以減小測量誤差的思考。因此，本文提出了一種基于構建可行圖的探針軸向優(yōu)化方法。在探針無干涉的前提下，使得測量路徑中紅寶石球上觸碰點個數最少。并且，通過在機床旋轉軸可行圖中優(yōu)化探針軸向，用以減少旋轉軸的旋轉方向變化。最后通過三組離心式葉輪的測量對比實驗，證明本文方法的有效性和正確性。

1 紅寶石球上觸碰點與機床旋轉軸的關系

在進行曲面測量前，根據工件形狀需要人為設定一些安全位置與參數，因此先給出工件坐標系OW-XWYWZW下測量點、定位點、探測點和探測方向等概念的定義，探針探測過程如圖1所示。

測量點 理論曲面模型上規(guī)劃的待測點，用Pi(i=1,2,3,…)表示，其中i為測量路徑上測量點的編號。

定位點 在探針探測某個測量點之前，先運動到定位點再進行探測。對于第i個測量點Pi對應的定位點記為Di，可由式(1)計算得到:

Di=Pi+kNi

(1)

式中：k為人為設定的測量點與定位點之間的安全距離。

探測點 紅寶石球在接觸測量點時，沿著法矢方向偏置紅寶石球半徑r距離處的球心點，用Hi(i=1,2,3,…)表示，則

Hi=Pi+rNi

(2)

探測方向 當探針運動到定位點時，沿測量點理論外法矢的反方向去觸碰工件，第i個測量點Pi處的探測方向為-Ni。

圖1 探針探測過程分析Fig.1 Probe detection process analysis

1.1 計算測量點處可達方向錐

(3)

圖2 測量點和定位點處最終可達方向錐Fig.2 Ultimate reachable direction cone at measurement point and location point

1.2 構建可行圖

以在BC軸機床上進行在機測量為例，為了防止旋轉軸發(fā)生突變[15]，根據所選機床的結構、旋轉軸角度范圍，合理假設B、C軸的優(yōu)勢區(qū)間[16]分別為[0°,120°]、[0°,360°]。

(4)

則由探針坐標系到工件坐標系的變換矩陣為

(5)

式中：R為旋轉矩陣。對于測量點Pi，與紅寶石球上的觸碰點mi滿足：

mi=M-1Pi

(6)

則探針坐標系下觸碰點為mi=(xi,yi,zi)，在球坐標系中可用θi、φi2個參數表示，由式(7)計算得到。

(7)

進一步，依據紅寶石球上觸碰點的參數，把可行的探針軸向區(qū)域轉化為紅寶石球上觸碰點的可行圖[17]，用Ωi表示，如圖4所示。

通過后置處理[18]式(8)把選定的探針軸向(nx,ny,nz)轉化為BC軸的旋轉角度，將該測量點處所有的可行探針軸向映射為以(B,C)為數據點的平面點集，用Θi表示，如圖5所示，該平面點集中任何一個點都與該測量點處的一個探針軸向相對應。

圖3 探針探測測量點Fig.3 Probe detection to-be-measured point

圖5 機床旋轉軸角度可行圖ΘiFig.5 Feasible graph of rotary angle of machine tool Θi

(8)

1.3 建立紅寶石球上觸碰點與機床旋轉軸的關系

在建立紅寶石球上觸碰點可行圖和機床旋轉軸可行圖后，若選定一個探針軸向，則在紅寶石球上觸碰點可行圖Ωi中有唯一與之對應的點，且在機床BC軸可行圖Θi中也有唯一確定的點。但是在紅寶石球上觸碰點可行圖Ωi中選擇一點，與之對應的探針軸向卻有無數個。

目前，多數先進數控機床都具有主軸定向功能，在測量時它能夠允許主軸旋轉任意角度，此時若在紅寶石球上觸碰點可行圖Ωi中選擇一點(θi,φi)，該觸碰點不變的情況下，探針軸向可繞測量點處外法矢旋轉一周如圖6所示，旋轉一周后得到的探針軸向集合記為Λi，可由式(9)計算得到。

(9)

式中：ωi為探針軸向繞法矢旋轉角度;N為紅寶石球心坐標系到工件坐標系的變換矩陣，已知工件坐標系的3個軸分量為(iW,jW,kW)，紅寶石球心坐標系3個軸在工件坐標系下的分量為(iT,jT,kT)，故變換矩陣為

圖6 探針軸向繞法矢旋轉一周Fig.6 Probe rotates axially around normal vector

探針軸向集合Λi經過后置處理算法可在BC軸可行圖中表示。若機床具有主軸定向功能，則該集合在BC軸可行圖Θi中為一條曲線如圖7所示，與可行圖邊界相交的兩曲線段為有效的角度組合，在邊界外的曲線是無效的，探針由第i個測量點到第i+1個測量點的探測過程中，主軸的旋轉角度為

ki=θi+1-θi

(10)

式中：θi、θi+1分別為第i、i+1個測量點處紅寶石球上觸碰點的參數化表示，可由式(4)～式(7)計算得到。

(11)

(12)

圖7 旋轉軸角度組合Fig.7 Combination of rotary axis angles

圖8 求解旋轉角度示意圖Fig.8 Diagram of solving rotation angle

2 探針軸向規(guī)劃

2.1 探針軸向規(guī)劃準則與步驟

在測量過程中，觸碰點個數的減少有利于提高補償精度、縮短標定時間；此外，控制旋轉軸的旋轉方向能減小引入旋轉軸的誤差。從上述分析考慮，為了提高測量精度和效率，提出了五軸在機測量探針軸向規(guī)劃準則：

準則1 在機測量時，探針在運動和測量過程中不能與工件和工作臺干涉碰撞。

準則2 為了提高預行程誤差補償的精度、縮短標定的時間，在測量路徑中應盡量選擇紅寶石球上相同的觸碰點。

準則3 在保證準則2的前提下，應盡量減少機床旋轉軸的旋轉方向變化。

基于上述提出的規(guī)劃準則，下面以離心式葉輪為例闡述規(guī)劃探針軸向的具體步驟：

步驟1 在葉片上規(guī)劃n個測量點，記為{P1,P2,…,Pn-1,Pn}，利用UG二次開發(fā)[20]得到測量點處法矢，記為{N1,N2,…,Nn-1,Nn}。

步驟3 由式(4)～式(7)計算得到紅寶石球上觸碰點參數化表示的集合，記為{Ω1,Ω2,…,Ωn-1,Ωn}。若Ω1～Ωi集合有交集且與Ωi+1無交集，則說明對于第1～i個測量點可共用紅寶石球上相同的觸碰點，第i+1個測量點不可共用紅寶石球上相同的觸碰點。

步驟4 根據步驟2中得到的可達方向錐{Γ1,Γ2,…,Γn-1,Γn}，通過后置處理算法轉化為BC軸的旋轉角度集合{Θ1,Θ2,…,Θn-1,Θn}。在紅寶石球上觸碰點可行圖Ω1～Ωi交集中選擇一點(θk,φk)，對應的探針軸向可繞該點法矢旋轉一周得到集合Λk。若機床具有主軸定向功能，集合Λk在旋轉軸可行圖Θi中為一條曲線，故對于n個測量點在Θi圖中可得到n條曲線；若無主軸定向功能，旋轉角度ωi為一個定值，在旋轉軸可行圖Θi中為一個確定的點。

步驟5 對于不同的主軸結構，選擇不同的探針軸向規(guī)劃方法：若機床沒有主軸定向功能，則可保證觸碰點可行圖Ωi中有交集的測量點能夠共用紅寶石球上觸碰點，但無法規(guī)劃旋轉軸的方向。若具有主軸定向功能，同樣可以保證觸碰點可行圖Ωi中有交集的測量點能夠共用紅寶石球上的觸碰點，同時在旋轉軸可行圖Θi中可以控制旋轉軸的旋轉方向。

2.2 補償預行程誤差

Ok+2=(R+r)ObOk+1

(13)

式中：R為標準球半徑。

δ=|Ok+3Ok+2|=

(14)

圖9 標定紅寶石球上某個點Fig.9 Calibrating a point on ruby ball

(15)

3 實驗驗證與分析

3.1 實驗方案規(guī)劃

以離心式葉輪為例，為了獲取葉輪加工后待測點的實際坐標，需要先用三坐標測量機對規(guī)劃的24個待測點進行測量，由于測量機的精度很高，故可以把測量結果當作評判的標準。實驗中使用的主要設備有英國Renishaw OMP 40-2型觸發(fā)式測頭和北京精雕JDGR200-A10SH型五軸機床。3組實驗均測量相同的24個待測點，待測點分布在葉盆相鄰的3條樣條曲線上，每條曲線上按照等參數采樣8個點，如圖10所示。工件坐標系下待測點坐標見表1。3組實驗分別重復了10次，實驗結果證明了本文方法重復性好。

實驗1 在不考慮紅寶石球上觸碰點異同的情況下，規(guī)劃一組只保證旋轉軸運動平穩(wěn)的探針軸向，因此對于24個探針軸向，紅寶石球上的觸碰點都是不同的。本實驗通過標定標準球上48個 點構造預行程誤差圖，通過線性插值方法確定24個觸碰點的標定補償量如圖11所示。

實驗2 若機床沒有主軸定向功能，根據1.3節(jié) 內容規(guī)劃探針軸向，通過在紅寶石球上觸碰點可行圖Ωi交集中選擇觸碰點如圖12(a)所示，則只需紅寶石球上3個觸碰點即可測量所有待測點，因此在測量前只需標定紅寶石球上選定的3個觸碰點。由選擇的3個觸碰點，計算的24個 旋轉角度ωi為定值如圖12(b)所示，故不能控制旋轉軸的旋轉方向。

圖10 葉盆上待測點和葉輪測量過程Fig.10 To-be-measured points on blade basin and measurement process of impeller

表1 待測點坐標Table 1 Coordinates of to-be-measured points

圖11 預行程誤差圖Fig.11 Pre-travel error map

圖12 紅寶石球上觸碰點和機床旋轉軸的可行圖Fig.12 Feasible graph of touch points on ruby ball and rotary angle of machine tool

實驗3 若機床具有主軸定向功能，同樣根據1.3節(jié)內容規(guī)劃探針軸向，在圖12(a)中選擇紅寶石球上公共的觸碰點，在測量前也僅需標定紅寶石球上3個觸碰點。24個測量點對應的探針軸向繞法矢旋轉一周后在BC軸可行圖Θi中為24條曲線，在相鄰的有效的曲線段上可規(guī)劃旋轉軸的旋轉方向保證旋轉軸始終是單向旋轉，如圖13 所示。上述3種對比實驗與三坐標測量機測量結果誤差如圖14所示。

由圖11可以看出，實驗1中，傳統(tǒng)方法在規(guī)劃探針軸向時，未考慮紅寶石球上觸碰點位置異同，因此需要先標定標準球上48個點構造預行程誤差圖，再通過線性插值得到24個紅寶石球上觸碰點補償量，在整個測量過程中BC軸旋轉方向共變化了12次；如圖12所示，實驗2中，機床無主軸定向功能，由可行圖規(guī)劃的探針軸向減少了紅寶石球上觸碰點個數和旋轉軸的方向變化次數；而實驗3中，機床具有主軸定向功能，既減少了紅寶石球上觸碰點個數又保證了旋轉軸單向旋轉。同時標定、測量時間也大幅減少，3個實驗時間對比如圖15所示。

圖13 實驗3機床旋轉軸可行圖Fig.13 Feasible graph of rotary angle of machine tool in Experiment 3

圖14 3種實驗方案測量結果誤差圖Fig.14 Error diagrams of measurement results of three experimental schemes

圖15 實驗1、實驗2與實驗3時間對比圖Fig.15 Temporal comparison between Experiment 1, Experiment 2, and Experiment 3

3.2 通用性驗證和分析

為證明本文方法的通用性，按3.1節(jié)中采樣方法在同一個流道中葉背上取兩列共16個待測點，待測點位置如圖16(a)所示。根據1.3節(jié)內容規(guī)劃探針軸向，分別進行3組實驗。測量結果如圖17所示。

由圖14和圖17可知，傳統(tǒng)方法在規(guī)劃探針軸向時紅寶石球上觸碰點均不同且BC軸旋轉方向共變化了8次，產生的誤差最大；本文在規(guī)劃探針軸向時根據機床有無主軸定向功能選擇不同的優(yōu)化方法，16個待測點可共用紅寶石球上2個觸碰點。機床無主軸定向功能時，測量過程中BC軸方向變化次數減小了4次，各個待測點的誤差減小了約0.01 mm；機床具有主軸定向功能時，BC軸可保持單向旋轉，產生的誤差最小。

圖16 葉背上待測點和葉輪測量過程Fig.16 To-be-measured points on blade back and measurement process of impeller

圖17 3種驗證實驗測量結果誤差圖Fig.17 Error diagrams of measurement results of three verification experiments

4 結 論

1) 提出減少測量路徑中紅寶石球觸碰工件位置的方法。若相鄰幾個觸碰點可行圖有交集，探針在探測對應待測點時可共用紅寶石球上的同一個觸碰點。在可行圖交集中選擇公共觸碰點能夠縮短在機測量時間、提高在機測量效率，同時對于測量結果補償更加準確，有助于提升在機測量精度。

2) 根據機床結構，若沒有主軸定向功能，所提出的基于旋轉軸可行圖規(guī)劃探針軸向的方法可以有效的減少旋轉軸的旋轉方向變化次數。

3) 若機床具有主軸定向功能，所提出的基于旋轉軸可行圖規(guī)劃探針軸向的方法可以把旋轉軸的旋轉方向變化次數降到最低。

4) 本文提出的優(yōu)化方法通過減少紅寶石球上觸碰點個數以縮短在機測量時間、降低機床使用成本，同時通過優(yōu)化探針軸向可以降低機床旋轉軸方向變化引入的誤差，從而提高在機測量的精度。優(yōu)化方法可推廣應用于其他多軸機床在機測量。本文闡述了機床旋轉軸方向變化引入誤差的規(guī)律，在此基礎上，考慮旋轉軸轉動角度誤差分布的測量工藝優(yōu)化方法可作為后續(xù)研究重點。