秦玉鵬 范三妞

【摘要】針對現(xiàn)行教材冪指函數(shù)自然定義域尚不清晰問題，本文將實數(shù)域分為若干情形進行討論，并借助Euler公式明確給出了冪指函數(shù)的自然定義域.作為應(yīng)用，指出在對冪指函數(shù)施行對數(shù)求導(dǎo)法之前應(yīng)先熟知冪指函數(shù)的自然定義域，而非直接對其施行對數(shù)求導(dǎo)，以確保數(shù)學(xué)之嚴謹性，使大一新生對冪指函數(shù)及對數(shù)求導(dǎo)法有一個更清晰更全面的認識.

【關(guān)鍵詞】冪指函數(shù);自然定義域;實數(shù)域;Euler公式;對數(shù)求導(dǎo)法

【基金項目】河南省教科規(guī)劃一般課題“新時代背景下基于DBL的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力培養(yǎng)策略研究”〔2019〕-JKGHYB-0240;河南工學(xué)院博士科研啟動基金（KQ1860）.

一、引 言

指數(shù)和底數(shù)都是變量的，形如

f（x）=u（x）v（x）（x∈E，E是數(shù)集）（1）

的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其中u，v是E上的函數(shù)[1].通常情況下，當(dāng)不給出u（x）和v（x）的具體形式時，總要求u（x）>0（x∈E），此時冪指函數(shù)可改寫成

從而當(dāng)u，v連續(xù)時它連續(xù)，u，v可導(dǎo)時它可導(dǎo)[1].（2）的形式在高等數(shù)學(xué)對數(shù)求導(dǎo)法中起到至關(guān)重要的作用[2]，通常在做題時默認u（x）>0并直接對冪指函數(shù)進行對數(shù)求導(dǎo)，而細心的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)直接默認u（x）>0是不合適的，因為當(dāng)u（x）<0時，諸如x=-2這類點顯然也在冪指函數(shù)xx的自然定義域內(nèi)，那么一般地，冪指函數(shù)的自然定義域是什么？在定義域內(nèi)各類點處的可導(dǎo)性又如何呢？教材上并沒有給出明確的答案.

顯然，為了回答這個問題，必須首先弄清楚冪指函數(shù)的自然定義域，才能在此基礎(chǔ)上判斷各點的連續(xù)性，進而討論其可導(dǎo)性.因此，本文的主要目的就是探析冪指函數(shù)的自然定義域，并在此基礎(chǔ)上回答上述問題.

二、預(yù)備知識

本部分我們將借助Euler公式將對數(shù)函數(shù)做一個簡單推廣.

公式（3）被稱為歐拉恒等式，也被理查德·費曼稱為“最卓越的數(shù)學(xué)公式”.

本文從Euler公式的角度出發(fā)，不再限制對數(shù)函數(shù)lnx中的真數(shù)部分x>0，而將真數(shù)部分的定義推廣為x>0或x<0.如當(dāng)x=-1時，借助公式（3）可得

同理，對一般的x<0，不難推出

三、關(guān)于數(shù)ab（a，b為實數(shù)）的一個定理

在探討冪指函數(shù)的定義域之前，我們先來討論下形如ab（a，b為實數(shù)）的數(shù)在a，b滿足什么樣的條件下為實數(shù).

注意在以下討論中遵循：任意實數(shù)的0次冪等于1，即a0=1;0的正實數(shù)次冪等于零，0的負實數(shù)次冪無意義.討論結(jié)果和舉例詳見定理1和表1.

定理1 若實數(shù)a，b滿足下述三類情形之一：

（Ⅰ）底數(shù)a為正實數(shù)（a>0），指數(shù)b為任意實數(shù);

（Ⅱ）底數(shù)a為負實數(shù)（a<0），指數(shù)b為滿足b=m 2n-1，m，n∈Z ，（m，2n-1）=1的有理數(shù);

（Ⅲ）底數(shù)a=0，指數(shù)b為非負實數(shù)，則ab為實數(shù).注意這里（m，2n-1）=1表示m與2n-1互質(zhì).

證明 我們的主要思想是通過遍歷a，b在實數(shù)域上的所有可能情形，即先將a在實數(shù)域上分為“正實數(shù)”，“負實數(shù)”和“0”三類情形，再將b在實數(shù)域上分為“正有理數(shù)”，“負有理數(shù)”，“正無理數(shù)”，“負無理數(shù)”和“0”五類情形進行分別討論.

情形1（a>0）：

因為a>0是正實數(shù)，顯然，不論b是何種情形（正有理數(shù)，負有理數(shù)，正無理數(shù)，負無理數(shù)，或0），ab表示的都為實數(shù).

情形2（a<0）：

（?。┊?dāng)b為正有理數(shù)時，因為正有理數(shù)可表示為正分數(shù)（兩個正整數(shù)之比的數(shù)），則b可表示為“奇數(shù)/奇數(shù)”，“偶數(shù)/奇數(shù)”或“奇數(shù)/偶數(shù)”三種形式，若記

結(jié)合例1的討論，不難發(fā)現(xiàn)教材上在對形如（1）式的冪指函數(shù)施行對數(shù)求導(dǎo)時，默認u（x）>0這一前提條件并不會影響最終的求導(dǎo)結(jié)果，因為u（x）<0時對應(yīng)的有定義的點都是孤立存在的，是一系列不可導(dǎo)點;而對u（x）=0時對應(yīng)的有定義的點也是不可導(dǎo)點.

六、結(jié) 論

本文針對冪指函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)的自然定義域問題，通過將實數(shù)域分為若干情形進行了詳細討論，明確給出了其自然定義域，如定理2所示.將其應(yīng)用于冪指函數(shù)的對數(shù)求導(dǎo)法，結(jié)果表明在利用對數(shù)求導(dǎo)法求解此類問題時，默認冪指函數(shù)底數(shù)大于零這一前提條件雖然并不影響最終結(jié)果，但是考慮到數(shù)學(xué)的嚴謹性，有必要在熟知了冪指函數(shù)的自然定義域之后再進行對數(shù)求導(dǎo).筆者希望通過本文的討論，使大一新生對冪指函數(shù)和對數(shù)求導(dǎo)法有一個更清晰更全面的認識.

【參考文獻】

[1]《數(shù)學(xué)辭?！房偩庉嬑瘑T會.《數(shù)學(xué)辭海》第1卷[M].南京：東南大學(xué)出版社，2002：514-515.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（上冊）：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014：101-110.