玉素音·艾山

【摘要】本文中給出二次旋轉(zhuǎn)曲面，即長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球面，扁形旋轉(zhuǎn)橢球面，單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和旋轉(zhuǎn)拋物面的一種幾何定義.

【關(guān)鍵詞】二次曲面;旋轉(zhuǎn)曲面;幾何定義

眾所周知，三種圓錐曲線(xiàn)橢圓，雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)分別繞自己的對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)分別產(chǎn)生五種不同的二次旋轉(zhuǎn)曲面，它們分別為長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球面，扁形旋轉(zhuǎn)橢球面，單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和旋轉(zhuǎn)拋物面.本文將、分別給出它們的一種幾何定義.

一、長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球面與扁形旋轉(zhuǎn)橢球面的幾何定義

很顯然在長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球面上的任意點(diǎn)到原橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和等于一個(gè)常數(shù)，即等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).下面我們考慮如下一個(gè)問(wèn)題，即在空間中到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡是否為長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球面？

建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz，設(shè)有兩個(gè)定點(diǎn)F1（c，0，0）和F2（-c，0，0）（c>0），P（x，y，z）是空間中的任意點(diǎn)，那么|PF1|+|PF2|=2a（a是常數(shù)且a>c>0），即

（x-c）2+y2+z2+（x+c）2+y2+z2=2a，

上式乘方整理得

（a2-c2）x2+a2y2+a2z2=a2（a2-c2），

如果令a2-c2=b2（∵a2-c2>0），則b2x2+a2y2+a2z2=a2b2，即x2 a2+y2+z2 b2=1（a>b），這表示長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球面.

因此，長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球面的定義可以如下給出.

定義1 空間中到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡叫作長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球面.

下面考慮扁形旋轉(zhuǎn)橢球面.很顯然它上的任意點(diǎn)到原橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和不等于某個(gè)常數(shù)，因?yàn)闄E圓繞短軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的焦點(diǎn)不是固定，而且它的軌跡是以原點(diǎn)為中心，半焦距為半徑的一個(gè)圓（C），如果我們用通過(guò)短軸的平面π來(lái)截扁形旋轉(zhuǎn)橢球面，則它們的交線(xiàn)是一個(gè)橢圓Γ，而且它上的任意點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的直徑（平面π與圓（C）的交線(xiàn)）的兩個(gè)端點(diǎn)的距離之和都等于同一個(gè)常數(shù)，即都等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).下面證明一個(gè)結(jié)論.

定理1 設(shè)（C）是空間中的一個(gè)定圓，AB是（C）的任意一條直徑，P是空間中的動(dòng)點(diǎn)（其中平面πABP垂直于（C）），如果從P點(diǎn)到兩點(diǎn)A與B的距離之和等于一個(gè)常數(shù)（大于|AB|），則P點(diǎn)的軌跡是扁形旋轉(zhuǎn)橢球面.

證明 我們建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz，使（C）的方程為

如果令a2-r2=b2（∵a2-r2>0），則b2x2+a2y2+b2z2=a2b2，即x2+z2 a2+y2 b2=1（a>b），這表示扁形旋轉(zhuǎn)橢球面.因此，扁形旋轉(zhuǎn)橢球面的定義可以如下給出.

定義2 空間中到一個(gè)定圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于直徑的長(zhǎng)）的點(diǎn)（點(diǎn)與直徑所成的平面垂直于定圓）的軌跡叫作扁形旋轉(zhuǎn)橢球面.

二、單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面與雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的幾何定義

很顯然在雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上的任意點(diǎn)到原雙曲線(xiàn)的兩焦點(diǎn)的距離之差等于一個(gè)常數(shù)，即等于雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng).下面我們考慮如下一個(gè)問(wèn)題，即在空間中到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于常數(shù)（小于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡是否為雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面？

我們建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz，設(shè)有兩個(gè)定點(diǎn)F1（c，0，0）和F2（-c，0，0）（c>0），P（x，y，z）是空間中的任意點(diǎn)，那么||PF1|-|PF2||=2a（a是常數(shù)且c>a>0），

即（x-c）2+y2+z2-（x+c）2+y2+z2=±2a

上式乘方整理得（c2-a2）x2-a2y2-a2z2=a2（c2-a2），

如果令c2-a2=b2（∵c2-a2>0），則b2x2-a2y2-a2z2=a2b2，即x2 a2-y2+z2 b2=1，這表示雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.因此，雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的定義可以如下給出.

定義3 空間中到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于常數(shù)（小于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡叫作雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.

下面考慮單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，很顯然它上的任意點(diǎn)到原雙曲線(xiàn)的兩焦點(diǎn)的距離之差不等于某個(gè)常數(shù)，因?yàn)殡p曲線(xiàn)繞虛軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的焦點(diǎn)不是固定，而且它的軌跡是以原點(diǎn)為中心，半焦距為半徑的一個(gè)圓（C），如果我們用通過(guò)虛軸的平面π來(lái)截單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，則它們的交線(xiàn)是一個(gè)雙曲線(xiàn)Γ，而且它上的任意點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的直徑（平面π與圓（C）的交線(xiàn)）的兩個(gè)端點(diǎn)的距離之差都等于同一個(gè)常數(shù)，即都等于雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng).下面證明一個(gè)結(jié)論.

定理2 設(shè)（C）是空間中的一個(gè)定圓，AB是（C）的任意一條直徑，P是空間中的動(dòng)點(diǎn)（其中平面πABP垂直于（C）），如果從P點(diǎn)到兩點(diǎn)A與B的距離之差等于一個(gè)常數(shù)（小于|AB|），則P點(diǎn)的軌跡是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.

證明 我們建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz，使（C）的方程為

即（r2-a2）x2-a2y2+（r2-a2）z2=a2（r2-a2），如果令r2-a2=b2 （∵r2-a2>0），則b2x2-a2y2+b2z2=a2b2，即x2+z2 a2-y2 b2=1，這表示單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.因此，單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的定義可以如下給出.

定義4 空間中到一個(gè)定圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的距離之差等于常數(shù)（小于直徑的長(zhǎng)）的點(diǎn)（點(diǎn)與直徑所成的平面垂直于定圓）的軌跡叫作單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.

三、旋轉(zhuǎn)拋物面的幾何定義

如果拋物線(xiàn)繞自己的對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)不動(dòng)（即固定），但是它的準(zhǔn)線(xiàn)繞對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)平面，并且這平面垂直于對(duì)稱(chēng)軸，此時(shí)旋轉(zhuǎn)拋物面上的任意點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與這平面的距離都相等.下面我們考慮如下一個(gè)問(wèn)題，即在空間中到一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定平面（定點(diǎn)不在定平面上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡是否為旋轉(zhuǎn)拋物面？

設(shè)有一個(gè)定點(diǎn)F和一個(gè)定平面π（Fπ），我們建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz，使Fp 2，0，0，π：x=-p 2（p>0），P（x，y，z）是空間中的任意點(diǎn)，使|PF|=d（P，π），即x-p 22+y2+z2=x+p 2，兩邊乘方整理得y2+z2=2px，這表示旋轉(zhuǎn)拋物面.因此，旋轉(zhuǎn)拋物面的定義可以如下給出.

定義5 空間中到一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定平面（定點(diǎn)不在定平面上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作旋轉(zhuǎn)拋物面.

于是，最后我們得到了二次旋轉(zhuǎn)曲面，即長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球面，扁形旋轉(zhuǎn)橢球面，單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和旋轉(zhuǎn)拋物面的一種幾何定義.

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