呂建虎

【摘要】各地的中考數(shù)學(xué)壓軸題中二次函數(shù)都是永恒的話題，它有時甚至是這個試卷難度的風(fēng)向標(biāo)，如何提高學(xué)生解決二次函數(shù)面積類問題的能力，是每一名數(shù)學(xué)教師必須面對的課題.中考題是命題專家精心設(shè)計(jì)的作品，而這類問題中也隱含了一些一般性結(jié)論，本文將圍繞二次函數(shù)面積類問題，結(jié)合筆者日常教學(xué)心得體會，論述如何巧解二次函數(shù)面積類問題.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);面積;水平寬;鉛直高

初中數(shù)學(xué)中考壓軸題有一種常考的類型，二次函數(shù)最大面積問題.常用的方法有割補(bǔ)法、鉛垂高法等.學(xué)生面對此類問題往往不能順利地解決，究其原因在于割補(bǔ)法過程煩瑣、計(jì)算量大、容易出錯.本文主要介紹一種巧解二次函數(shù)面積類問題的方法，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.該方法是鉛垂高法的推廣，只要順利表示水平寬與鉛直高，就可以巧妙地將面積最大問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問題.

一、方法介紹

結(jié)論：S△=1 2水平寬·鉛直高.

如圖1所示，過△ABC的三個頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度AD叫△ABC的“鉛垂高（h）”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S△ABC=1 2ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半[1].

證明 如圖2所示，通過作鉛垂高AD，將△ABC分割成△ABD和△ACD，即S△ABC=S△ABD+S△ACD，過點(diǎn)B作BE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD于點(diǎn)F，

S△ABD=1 2·AD·BE，

S△ACD=1 2·AD·CF，

S△ABC=S△ABD+S△ACD

=1 2·AD·BE+1 2·AD·CF

=1 2·AD·（BE+CF）

=1 2a·h.

注意事項(xiàng)：1.找出B，C的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)大減小，即可求出水平寬;

2.求出直線BC的解析式，A與D的橫坐標(biāo)相同，A與D的縱坐標(biāo)大減小，即可求出鉛垂高;

3.根據(jù)公式S△=1 2水平寬·鉛垂高，求出面積.

二、例題精講

例題 如圖3所示，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B.

（1）求拋物線和直線AB的解析式.

（2）點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點(diǎn)，連接PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到頂點(diǎn)C時，求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB.

（3）是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB=9 8S△CAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

解 （1）由頂點(diǎn)C（1，4），A（3，0）可以得出拋物線的解析式為y1=-x2+2x+3，已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），所以直線AB的解析式為y2=-x+3.

（2）因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），把x=1代入y2=-x+3可得D（1，2），因此，CD=4-2=2，

S△CAB=1 2·OA·CD=1 2×3×2=3.

（3）如圖4所示，設(shè)P（x，-x2+2x+3），由P，F(xiàn)橫坐標(biāo)相等易知F（x，-x+3），則△PAB的鉛垂高PF=yP-yf=（-x2+2x+3）-（-x+ 3）=-x2+3x，△PAB的水平寬OA=3，

由S△PAB=9 8S△CAB得：

1 2·PF·OA=9 8×3，

即1 2·（-x2+3x）·3=9 8×3，

解得x=3 2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為3 2，15 4.

三、結(jié)束語

通過以上例題可以看出，利用這種方法計(jì)算三角形的面積的關(guān)鍵是正確表示水平寬和鉛垂高，從而巧妙地借助坐標(biāo)將面積最大問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)最值問題，和割補(bǔ)法相比有很大的優(yōu)勢.希望能開闊學(xué)生的視野，找到解題的靈感，使類似問題迎刃而解.如有紕漏，敬請讀者指正.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉永智.一個三角形的面積計(jì)算公式及其應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2014（10）：5-6.