林麗娟

【摘要】在高考備考復(fù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，盡管已經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)，但學(xué)生仍對有些知識點或基本題型存在固化誤區(qū)或“選擇難”“入手難”的問題.如果我們能從學(xué)生的角度出發(fā)，從學(xué)生的困惑出發(fā)，將各基本題型進行針對性的歸納總結(jié)，再以微專題的形式展示給學(xué)生，勢必會達到事半功倍的效果.現(xiàn)就解三角形中的困惑進行探討，這一類型，學(xué)生的盲點在于其困惑如何選擇，也就是通常所講的“選擇綜合征”，如何將其突破，以便于在復(fù)習(xí)中達到絕佳效果，值得探究.

【關(guān)鍵詞】解三角形;正余弦定理;全國卷高考復(fù)習(xí);“選擇綜合征”

運用正、余弦定理解三角形是全國卷中的必考題型，也是同學(xué)們?nèi)菀资Х值幕A(chǔ)題型，總是糾結(jié)于“選什么”“如何選”等問題，而這類“選擇綜合征”也讓他們總是“摸不著頭腦”，時而會時而不會，極其不穩(wěn)定.立足于學(xué)生平時解題中的困惑，“選擇困難癥”一般分別為：① 正余弦定理的選擇;② 三角形的選擇;③ 變量的選擇.本文圍繞如何突破這一難點，結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗，談?wù)勏敕?，舉例探析，供讀者參考.

一、合理選擇正、余弦定理優(yōu)化解題

解三角形時，要分析和研究問題中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的.是否能根據(jù)題目中的已知條件，靈活選取正、余弦定理解三角形，也就尤為重要.

例1 在△ABC中，已知a=22，b=4，A=30°，求S△ABC.

另外，我們也可以從被求的面積出發(fā)，不難推出，只需再得到c邊就可以迎刃而解.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即8=16+c2-8c·3 2，即c2-43c+8=0，由方程解得c=23±2，再分類討論，從而利用公式S△ABC=1 2bcsinA 求三角形面積.解三角形要根據(jù)題設(shè)條件合理選擇正、余弦定理，可用正弦定理也可用余弦定理時，要注意這兩種方法的利弊之處，也要注意正、余弦定理間的共性，從而更有效地解題.

二、合理選擇三角形優(yōu)化解題

當(dāng)遇到多個三角形時，如何根據(jù)題設(shè)條件及求解對象合理選擇三角形？基本原則是要目標(biāo)明確，把所有的條件“已知—可知—未知”盡可能集中在某個三角形中，利用正、余弦定理建立等量關(guān)系，用方程思想化之解之.

例2 （2013年高考全國課標(biāo)Ⅰ卷）如圖所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC=90°.

（1）若PB=1 2，求PA的長;

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA.

解析 本題第一小題引導(dǎo)學(xué)生觀圖分析已知量和未知量在哪個三角形中，所解的三角形若條件不足“三個”，應(yīng)弄清缺什么條件，這些條件怎樣由已知推出.第二小題引導(dǎo)學(xué)生利用方程思想解三角形，讓學(xué)生體會方程思想在解三角形中的應(yīng)用.我們直接看一下第二小題：

（2）設(shè)∠PBA=θ，則∠PBC=90°-θ，在Rt△PBC中，BC=1，∴BP=cos（90°-θ）=sinθ.

在△ABP中，由正弦定理得：

顯然，第二種方法簡單許多，把盡可能多的邊角關(guān)系集中在一個三角形中，再利用正、余弦定理用方程思想將其化簡.本例中有多個三角形，應(yīng)先根據(jù)條件畫圖，通常選擇條件較多的三角形及目標(biāo)三角形.本例第二問我們就是根據(jù)方程思想，直接解三角形條件不足時，引入一個變量解三角形，盡可能集中在某個可關(guān)聯(lián)邊角的三角形中.

三、合理選擇變量優(yōu)化解題

如果所要解的三角形條件不足，能否根據(jù)題中的信息結(jié)合圖形進行觀察、比較，恰當(dāng)?shù)剡x擇一個變量結(jié)合函數(shù)或方程思想進行求解呢？

例3 在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，則四邊形ABCD面積的最大值為.

解析 合理設(shè)元，由SAS可確定三角形、建立函數(shù)關(guān)系求最值.本小題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求 解能力，考查化

例3變形 如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，則△BCD面積的最大值為

解析 此小題較難，難點在于如何設(shè)元、如何合理選擇變量.求△BCD的面積要先設(shè)出∠ACB=β，而在△ABC中已知AB=1，BC=2，設(shè)出∠ABC=α，由兩邊一夾角，三角形是確定的（可解），可表示出邊AC，不妨設(shè)AC=a，如何轉(zhuǎn)化變量也是個難點.

在△ABC中，設(shè)∠ABC=α，AC=a，

由余弦定理得：a2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα，

（轉(zhuǎn)化變量，消去邊）在△ABC中，由正弦定理得：

在高考復(fù)習(xí)中，如果能從學(xué)生的盲點、糾結(jié)點出發(fā)，幫助學(xué)生適當(dāng)理清、剖析，再以微專題的形式展示給學(xué)生，那么復(fù)習(xí)勢必會達到事半功倍的效果.“他山之石，可以攻玉”，希望學(xué)生在復(fù)習(xí)的路上能少走些彎路，直搗黃龍.我們也希望成功的課堂教學(xué)能“常態(tài)化”，在高考的備考路上漸行漸穩(wěn).當(dāng)然，在復(fù)習(xí)過程中這也是在培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力、遷移能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，形成良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教學(xué)相長，培養(yǎng)學(xué)生的同時，教師的專業(yè)素養(yǎng)也得到了相應(yīng)的提升，希望早日由“教書匠”向“研究型”乃至“專家型”教師過渡.

【參考文獻】

[1]蘇建強.優(yōu)化教學(xué)過程，提高例題教學(xué)的有效性[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007（9）：9-10.

[2]鞠妍.一道反復(fù)用作壓軸的高考題——高考復(fù)習(xí)的一些思考[J].中數(shù)數(shù)學(xué)，2011（5）：46-48.