戴倍琪
平行四邊形是同學(xué)們初中階段接觸的特殊四邊形,在邊、角、對角線、對稱性方面呈現(xiàn)出特有的性質(zhì)與特征。要學(xué)好相關(guān)內(nèi)容,就必須對平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定及應(yīng)用有較好的理解與掌握。下面通過一道中考題,幫助同學(xué)們加深對相關(guān)知識的理解,并能熟練應(yīng)用。
例 (2013·江蘇無錫)如圖1,四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,在①AB∥CD,②AO=CO,③AD=BC中任意選取兩個作為條件,以“四邊形ABCD是平行四邊形”為結(jié)論構(gòu)造命題。
(1)以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎?若是,請證明;若不是,請舉出反例。
(2)寫出按題意構(gòu)成的所有命題中的假命題,并舉出反例加以說明。(命題請寫成“如果……,那么……”的形式)
【分析】第(1)問,由①AB∥CD的條件可得出∠OAB=∠OCD的結(jié)論,加上②AO=CO的條件,以及∠AOB=∠COD,可以證明△AOB≌△COD,得BO=OD,得到四邊形ABCD對角線AC、BD互相平分,從而證明四邊形ABCD是平行四邊形。
第(2)問,應(yīng)列舉所有的可能性①②、①③、②③,并加以甄別。由第一小題的證明可得出①②是真命題。接下來分析①③,一組對邊平行,另一組對邊相等,同學(xué)們能夠舉出等腰梯形的反例,難度不大。再看②③,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實的同學(xué)非常容易出錯。在△AOD和△COB中,AO=CO,AD=BC,∠AOD=∠BOC,這正是全等三角形中的典型的錯誤證明——SSA。如若不能厘清概念,對全等判定條件沒有深刻的理解,那么對于中考中類似的題目,很可能就搞不清楚了。
(2)以①③作為條件構(gòu)成的命題是假命題,即如果一個四邊形有一組對邊平行,另一組對邊相等,那么這個四邊形是平行四邊形。如圖2,四邊形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,但四邊形ABCD不是平行四邊形。其實,這時的四邊形ABCD是等腰梯形。
以②③作為條件構(gòu)成的命題是假命題,即如果四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,AO=CO,AD=BC,那么這個四邊形是平行四邊形 。如圖3,AO=CO,AD=BC,但四邊形ABCD不是平行四邊形。其實,這里就涉及全等三角形判定中對“SSA”的理解問題。在△AOD與△COB中,滿足“兩邊相等、一角相等”,但這兩個三角形并不全等,原因就是其中的角不是兩邊的“夾角”。所以“SSA”與“SAS”的內(nèi)涵是不一樣的。滿足AO=CO,AD=BC(或AD=B′C)的三角形有兩個,即△COB和△COB′,如圖4。
在綜合運用時,同學(xué)們需要對各知識點融會貫通,比如平行四邊形的判定方法,除了教材給出的判定外,“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”“一組對邊平行,一組對角相等的四邊形是平行四邊形”都是真命題。同學(xué)們要善于通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來解決實際問題。
(作者單位:江蘇省無錫市雪浪中學(xué))