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        無(wú)處不在的轉(zhuǎn)化

        2020-06-01 07:32:50宮樂(lè)李巖
        初中生世界·八年級(jí) 2020年5期
        關(guān)鍵詞:位線對(duì)角線菱形

        宮樂(lè) 李巖

        一、形到形的轉(zhuǎn)化

        例1 (2019·浙江寧波)如圖1,矩形EFGH的頂點(diǎn)E、G分別在菱形ABCD的邊AD、BC上,頂點(diǎn)F、H在菱形ABCD的對(duì)角線BD上。

        (1)求證:BG=DE;

        (2)若E為AD中點(diǎn),F(xiàn)H=2,求菱形ABCD的周長(zhǎng)。

        【分析】求證線段相等,最常用的方法是證明三角形全等,結(jié)合矩形、菱形的性質(zhì)容易找到全等的三角形。(1)可以將四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題。(2)中要求菱形的周長(zhǎng),可先轉(zhuǎn)化為求菱形的邊長(zhǎng)AB,結(jié)合條件FH已知,容易想到連接矩形EFGH的另一條對(duì)角線EG,通過(guò)證明四邊形ABGE是平行四邊形,將求菱形的邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)。

        解:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EH=FG,EH∥FG,得到∠GFH=∠EHF,求得∠BFG=∠DHE,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC,則∠GBF=∠EDH,可得△BGF≌△DEH(AAS),根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得到結(jié)論。

        (2)如圖2,連接EG,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=BC,AD∥BC,結(jié)合(1)中的結(jié)論,證得AE=BG,AE∥BG,得到四邊形ABGE是平行四邊形,得到AB=EG,進(jìn)而易得結(jié)論。

        【點(diǎn)評(píng)】四邊形的問(wèn)題,經(jīng)常是通過(guò)添加輔助線,將之轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題。例如,在新課的學(xué)習(xí)中,通過(guò)連接對(duì)角線,把平行四邊形分割成兩個(gè)全等的三角形,由全等三角形的性質(zhì)得出平行四邊形的性質(zhì)。反之,在探究三角形的中位線時(shí),是通過(guò)構(gòu)造出平行四邊形,利用平行四邊形的性質(zhì)得出三角形的中位線定理。把未知的圖形轉(zhuǎn)化為已知的圖形,用已經(jīng)掌握的知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題,是分析、解決問(wèn)題的基本策略。

        二、形到數(shù)的轉(zhuǎn)化

        例2 (2019·黑龍江哈爾濱)已知:在矩形ABCD中,BD是對(duì)角線,AE⊥BD于點(diǎn)E,CF⊥BD于點(diǎn)F。

        (1)如圖3,求證:AE=CF;

        (2)如圖4,當(dāng)∠ADB=30°時(shí),連接AF、CE,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖4中四個(gè)三角形,使寫(xiě)出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形ABCD面積的[18]。

        【分析】要找面積=[18]矩形面積的三角形,可根據(jù)矩形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形直角邊和斜邊特殊的數(shù)量關(guān)系以及三角形面積的計(jì)算方法,將三角形的面積轉(zhuǎn)化為[18]×矩形長(zhǎng)×矩形寬。

        解:(1)由“AAS”證明△ABE≌△CDF,即可得出結(jié)論。

        (2)由平行線的性質(zhì)得出∠CBD=∠ADB=30°,由直角三角形的性質(zhì)得出BE=[12]AB,AE=[12]AD,得出△ABE的面積=[12]×BE×AE=[18]×AB×AD=[18]S矩形ABCD。再由全等三角形的性質(zhì)得出△CDF的面積=[18]S矩形ABCD。△BEC的面積=[12]BE×CF=[18]S矩形ABCD,同理:△ADF的面積=[18]S矩形ABCD。

        數(shù)學(xué)的精華在于可以把問(wèn)題不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化,把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問(wèn)題,把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題,但要注意的是,轉(zhuǎn)化是形變、量變,其本質(zhì)是不變的,一旦轉(zhuǎn)化造成了制約條件的變化,一定要及時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)。總而言之,轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心,從某種程度上來(lái)說(shuō)是數(shù)學(xué)解題的通法,任何問(wèn)題都可以借鑒這種方法進(jìn)行思考和解決。希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中多加思考和嘗試。

        (作者單位:安徽省合肥一六八玫瑰園學(xué)校教育集團(tuán))

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