楊 紅，耿南鋒，劉子珅

(1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400045；2.山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶大學(xué))，重慶 400030)

震害現(xiàn)象和試驗(yàn)結(jié)果表明[1-4]，縱向受力鋼筋屈曲是混凝土柱受力后期的重要非線(xiàn)性特征之一。屈曲是指鋼筋受拉屈服并經(jīng)歷一定塑性伸長(zhǎng)后，反向受壓時(shí)逐漸彎曲并向外鼓出，且縱筋的彎曲程度隨柱頂側(cè)移變形加大而逐漸加重，保護(hù)層混凝土剝落后甚至可觀察到縱筋在塑性鉸區(qū)反復(fù)壓彎、拉直的現(xiàn)象?？v筋屈曲會(huì)導(dǎo)致鋼筋混凝土柱抗震性能退化、承載能力降低，嚴(yán)重時(shí)可能引起構(gòu)件失效，并使構(gòu)件的修復(fù)、加固極為困難[1,4]。

將構(gòu)件控制截面按纖維進(jìn)行離散化是目前計(jì)算鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)、構(gòu)件非線(xiàn)性反應(yīng)的常用細(xì)化有限元分析方法，此時(shí)，必須分別采用合理的單軸材料本構(gòu)模型準(zhǔn)確描述混凝土、鋼筋的滯回受力性能[4-6]。對(duì)于屈曲鋼筋，采用纖維模型進(jìn)行分析時(shí)一般通過(guò)將彎曲的鋼筋視為未彎曲的等效單軸材料，同時(shí)修正鋼筋應(yīng)力-應(yīng)變模型以考慮屈曲效應(yīng)的影響。因此，建立能正確反映屈曲導(dǎo)致的局部非線(xiàn)性特征影響的鋼筋等效材料本構(gòu)模型是有限元計(jì)算結(jié)果真實(shí)、合理的基礎(chǔ)。

一些學(xué)者對(duì)鋼筋的屈曲受力性能進(jìn)行了研究。Monti 等[7]、Rodriguez 等[8]、Bae 等[9]、Kashani 等[10]通過(guò)單根鋼筋的單調(diào)或循環(huán)加載試驗(yàn)研究了長(zhǎng)徑比、初始偏心等因素對(duì)鋼筋屈曲受力性能的影響；Dhakal 等[11]采用細(xì)化有限元法研究了長(zhǎng)徑比、屈服強(qiáng)度對(duì)屈曲的影響；Zong 等[12]采用“彈簧支承梁”模型分析了初始缺陷、箍筋強(qiáng)度、縱筋屈服強(qiáng)度等的影響。

在試驗(yàn)、有限元分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，研究者普遍采用的考慮縱筋屈曲影響的簡(jiǎn)化方法是[7,11,13-19]，根據(jù)屈曲縱筋在相鄰兩層箍筋之間的軸向力P、軸向變形δ分別計(jì)算鋼筋的平均應(yīng)力(σ=P/As，As為鋼筋的名義截面面積)、平均應(yīng)變(ε=δ/L，L為屈曲鋼筋的初始長(zhǎng)度)，并通過(guò)修正σ-ε關(guān)系以近似考慮屈曲對(duì)鋼筋本構(gòu)模型的影響(即將屈曲鋼筋等效為未彎曲的單軸材料)。Monti 等[7]根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果提出的模型計(jì)算公式較復(fù)雜；Dhakal 等[11]建立的考慮長(zhǎng)徑比、屈服強(qiáng)度影響的模型僅適用于單調(diào)加載；Gomes和Appleton[13]提出的模型力學(xué)概念清楚，但模擬效果差(以下稱(chēng)G-A 模型)；Akkaya 等[14]在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)模型并對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證；OpenSees 中的Reinforcing Steel 單軸材料本構(gòu)模型[15]通過(guò)引入β、r和γ三個(gè)參數(shù)對(duì)G-A 模型進(jìn)行了改進(jìn)，但其參數(shù)β在程序中被固定為1.0(無(wú)法調(diào)節(jié)屈曲開(kāi)始點(diǎn)的位置)；Kunnath 等[16]建議的修正模型無(wú)法考慮屈服強(qiáng)度對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響；楊紅等[17]為提高使用效率對(duì)Reinforcing Steel 模型進(jìn)行了改進(jìn)；文獻(xiàn)[18]通過(guò)改進(jìn)屈曲力學(xué)模型提出了修正的G-A 模型；Urmson 等[19]通過(guò)分析屈曲鋼筋中間截面的彎矩表達(dá)式(以應(yīng)變比 y/ε ε和長(zhǎng)徑比L/d為變量)，對(duì)屈曲受壓的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變骨架曲線(xiàn)進(jìn)行了修正。此外，劉子珅等[20]對(duì)屈曲鋼筋的變形特征進(jìn)行了分析，提出了三種基于橫向撓度判斷鋼筋屈曲開(kāi)始點(diǎn)的方法。邢國(guó)華等[21]研究銹蝕鋼筋混凝土柱的壓-剪-彎修正有限元模型時(shí)考慮了縱筋屈曲效應(yīng)的影響。

以上各種考慮屈曲影響的鋼筋材料本構(gòu)模型多是基于試驗(yàn)結(jié)果建立σ-ε的經(jīng)驗(yàn)公式，或是對(duì)數(shù)值分析結(jié)果進(jìn)行現(xiàn)象學(xué)總結(jié)獲得σ-ε的簡(jiǎn)化曲線(xiàn)，且文獻(xiàn)[17－18]直接采用G-A 模型的兩個(gè)基本假定，均缺乏受力機(jī)理分析。本文以G-A 模型為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)鋼筋屈曲受力模型各基本假定的合理性、誤差進(jìn)行分析，從變形、受力特征出發(fā)建立了力學(xué)概念明確、模擬效果更優(yōu)的考慮屈曲影響的鋼筋材料本構(gòu)模型修正方法。

1 屈曲鋼筋的循環(huán)加載試驗(yàn) 與有限元模擬

文獻(xiàn)[17]完成了36 個(gè)原狀鋼筋試件(測(cè)試段未進(jìn)行任何加工處理)考慮屈曲的循環(huán)拉壓試驗(yàn)，本文首先采用基于截面纖維模型和非線(xiàn)性桿單元的有限元模型對(duì)各試件的試驗(yàn)進(jìn)行了模擬。

1.1 試驗(yàn)方法

各試驗(yàn)均在INSTRON 電液侍服單軸材料試驗(yàn)機(jī)(如圖1(a)所示)上完成。各鋼筋試件直徑分別為 12 mm、14 mm、16 mm、18 mm、20 mm、22 mm共6 種；試件的試驗(yàn)段長(zhǎng)度分別為100 mm、 150 mm共2 種，共進(jìn)行了36 個(gè)試件的屈曲受力性能試驗(yàn)。

試驗(yàn)采用的三種加載方法分別為：“拉-壓相等循環(huán)加載”和“拉-壓不等循環(huán)加載”(分別反映不同軸壓比時(shí)柱縱筋的受力特征)、完全受拉的“拉-拉循環(huán)加載”(反映梁縱筋的受力特征)。由于研究對(duì)象為柱縱筋，故本文僅分析拉-壓相等、拉-壓不等的24 個(gè)試件。

各試件均采用位移控制加載，直至鋼筋斷裂。試驗(yàn)過(guò)程中，通過(guò)傳感器采集了INSTRON 試驗(yàn)機(jī)對(duì)試件施加的軸向力P，采用百分表分別測(cè)量了屈曲鋼筋沿豎向的長(zhǎng)度變化量ΔL、 鋼筋跨中截面的橫向屈曲位移(見(jiàn)圖1(b))。

圖1 試驗(yàn)裝置與屈曲鋼筋的橫向屈曲位移測(cè)量方法 Fig.1 Testing equipment and lateral buckling displacements measuring method of buckled steel bars

1.2 屈曲鋼筋的簡(jiǎn)化力學(xué)模型與有限元模擬方法

觀察圖2(a)發(fā)現(xiàn)，屈曲后鋼筋構(gòu)件可視為由中間截面分開(kāi)的上、下兩根桿件，塑性變形和損傷主要集中在桿件兩端，符合集中塑性鉸模型的受力特點(diǎn)(見(jiàn)圖2(b))。因此，參考Dhakal 等[11]以及Massone等[22]的做法，將屈曲鋼筋簡(jiǎn)化為由跨中截面分開(kāi)的兩個(gè)集中塑性鉸桿單元，如圖2(c)的“單元1”和“單元2”所示。

圖2 屈曲鋼筋有限元模型示意圖 Fig.2 Schematic of FEM model of a buckled steel bar

圖2(c)的有限元模型中，單元1 和單元2 均采用OpenSees 中的Beam With Hinges Element 模擬，單元中部定義為彈性，單元端部的p1l和p2l為塑性鉸長(zhǎng)度，根據(jù)各試件的損傷特點(diǎn)，結(jié)合Massone 等[22]和Scott 等[23]的建議，計(jì)算時(shí)取lp1=lp2= 5d/6 (d為鋼筋的初始直徑)。

兩單元端部控制截面采用纖維模型定義，各纖維均采用OpenSees 中的Reinforcing Steel 材料模型。模型通過(guò)桿件大變形模擬鋼筋的屈曲受力特征，故定義Reinforcing Steel 材料模型時(shí)疲勞參數(shù)、屈曲參數(shù)均取為0。

1.3 有限元計(jì)算結(jié)果

圖3 為部分鋼筋試件的σ-ε試驗(yàn)結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，圖中試件D12-150-1 的編號(hào)含義為：鋼筋直徑為12 mm、自由段長(zhǎng)度為150 mm、試驗(yàn)采用第一種加載方法(即拉-壓相等循環(huán)加載)，其他試件類(lèi)似。由圖3 可見(jiàn)OpenSees 的模擬結(jié)果誤差小，這確保了有限元計(jì)算結(jié)果的合理性。有限元模擬存在的主要誤差是在后期的循環(huán)加載過(guò)程中與最大拉應(yīng)變對(duì)應(yīng)的平均應(yīng)力值略大于試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果，主要是由于Reinforcing Steel 材料本構(gòu)的疲勞參數(shù)已設(shè)為0，未考慮鋼筋因低周疲勞損傷導(dǎo)致的強(qiáng)度衰減。

圖3 鋼筋試件σ-ε 曲線(xiàn)的試驗(yàn)與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比 Fig.3 Comparison of experimental and computational σ-ε curves of steel bar specimens

圖4 為部分試件跨中截面的橫向屈曲位移的有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果對(duì)比，兩者的曲線(xiàn)形狀、峰值和谷值大小基本相同，這進(jìn)一步證明了有限元模擬結(jié)果的有效性。因此，有限元計(jì)算得到的每循環(huán)最大拉、壓平均應(yīng)變對(duì)應(yīng)的中間節(jié)點(diǎn)側(cè)向位移值較為準(zhǔn)確(與試驗(yàn)結(jié)果相比差異小)，說(shuō)明該有限元模型可以較真實(shí)地再現(xiàn)隨著加載位移幅值增大(或橫坐標(biāo)“數(shù)據(jù)采集點(diǎn)序列”逐漸加大)，鋼筋中間節(jié)點(diǎn)的側(cè)向位移峰值不斷增大(或鋼筋彎曲程度逐漸加重)的特征。

圖4 鋼筋試件屈曲橫向位移曲線(xiàn)試驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果對(duì)比 Fig.4 Comparison of experimental and computational lateral buckling displacement curves of steel bar specimens

2 G-A 模型的計(jì)算公式與基本假定

G-A 模型[13]有明確的力學(xué)概念，故本文以G-A模型為基礎(chǔ)對(duì)屈曲鋼筋的σ-ε模型進(jìn)行改進(jìn)。

如圖5 所示，G-A 模型是以相鄰兩箍筋之間縱筋屈曲后的塑性機(jī)構(gòu)平衡為基礎(chǔ)建立的簡(jiǎn)化理論分析模型，圖中L為鋼筋的初始長(zhǎng)度，δ為鋼筋端部縱向位移，θ為剛性轉(zhuǎn)角，w為中間節(jié)點(diǎn)的橫向位移。

圖5 屈曲縱筋的受力平衡關(guān)系[13] Fig.5 Equilibrium relationship of a buckled bar[13]

忽略鋼筋軸向變形，w、δ和θ之間的幾何關(guān)系為：

忽略高階無(wú)窮小項(xiàng)，由式(1)和式(2)可得：

G-A 模型假定屈曲鋼筋的塑性變形全部集中在端部截面與中間截面，且均為全截面塑性狀態(tài)，式中Mp為鋼筋的截面塑性彎矩。將鋼筋視為圓形截面并忽略軸力作用，可以得到：

式中：Zp為截面的塑性模量；σy為鋼筋的屈服強(qiáng)度；d為鋼筋直徑。

由式(4)和式(5)可得：

將相鄰箍筋間屈曲縱筋的平均應(yīng)變定義為ε=δ/L，平均應(yīng)力定義為σ=P/As，則不考慮軸力影響時(shí)有：

將式(7)用于整體σ-ε關(guān)系曲線(xiàn)時(shí)，其中的應(yīng)力是以零應(yīng)力點(diǎn)為參考的，即ε-ε0，其中ε0為零應(yīng)力點(diǎn)處的應(yīng)變。因此，σ-ε關(guān)系可變換為：

如果計(jì)算屈曲鋼筋中間截面塑性彎矩時(shí)考慮軸力的作用，則可以得到：

故考慮軸力的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變關(guān)系為：

Gomes和Appleton[13]通過(guò)比較考慮和不考慮軸力與彎矩間相互作用時(shí)的σ-ε骨架曲線(xiàn)發(fā)現(xiàn)，ε較小時(shí)兩種方法的計(jì)算結(jié)果有一定差別，但ε較大時(shí)差別很小。因此原始G-A 模型采用了式(8)所示的簡(jiǎn)化關(guān)系。

式(8)為G-A 模型給出的屈曲鋼筋應(yīng)力計(jì)算表達(dá)式的初始形式，為方便程序編制，一般可將其改寫(xiě)為式(12)，其中Ω為原始G-A 模型的比例系數(shù)。

3 原始G-A 模型幾何關(guān)系的修正

3.1 對(duì)G-A 模型幾何關(guān)系的第一種修正方法

以處于圖6(a)所示某屈曲狀態(tài)的鋼筋為例，其頂端豎向位移δ、桿件軸向變形ε′均會(huì)引起中間節(jié)點(diǎn)側(cè)向位移，同時(shí)考慮兩類(lèi)貢獻(xiàn)的中間節(jié)點(diǎn)側(cè)向位移在圖6 中用w′表示，并用Δw表示單元軸向變形對(duì)中間節(jié)點(diǎn)側(cè)向位移的影響。如圖6(b)所示，若不考慮軸向變形、僅在δ作用下，中間節(jié)點(diǎn)將產(chǎn)生側(cè)向位移GAw-(這即是G-A 模型的幾何關(guān)系基本假定)。在圖6(b)基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮單元軸向變形ε′影響，若桿件承受壓力，單元長(zhǎng)度縮短將導(dǎo)致GAw-減小至w′，則wΔ 為負(fù)，如圖6(c)所示；若單元承受拉力、桿件長(zhǎng)度伸長(zhǎng)，將導(dǎo)致GAw-增加至w′，則Δw為正(見(jiàn)圖6(d))。因此，可用 Δw/w0表示ε′對(duì)中間節(jié)點(diǎn)側(cè)向位移w0的貢獻(xiàn)。

圖6 中間節(jié)點(diǎn)側(cè)向位移的構(gòu)成示意 Fig.6 Composition of lateral displacement of mid-span node

提取各試件的有限元計(jì)算結(jié)果后，可按式(12)～式(14)計(jì)算 0/w wΔ ，其中0w為圖2(c)所示有限元模型中間節(jié)點(diǎn)2 的側(cè)向位移的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。

根 據(jù) 計(jì) 算 結(jié) 果 繪 制ε/εy- Δw/w0和ε/εy-wG-A/w0關(guān)系曲線(xiàn)，結(jié)果如圖7 所示?？梢?jiàn)，兩試件的 Δw/w0和wG-A/w0隨應(yīng)變比ε/εy的變化規(guī)律是類(lèi)似的，當(dāng)ε/εy較小時(shí)，Δw/w0為負(fù)值，且絕對(duì)值很大，說(shuō)明屈曲鋼筋軸向壓縮使跨中側(cè)向位移在GAw-的基礎(chǔ)上明顯減??；隨著加載的進(jìn)行(y/ε ε增大)，ε′對(duì)0w的影響逐漸減小，頂端節(jié)點(diǎn)的豎向位移δ(或平均應(yīng)變?chǔ)?成為決定0w的主要因素。與D20-100-1 相比，試件D20-100-2 的 0/w wΔ由負(fù)值轉(zhuǎn)為正值所對(duì)應(yīng)的 y/ε ε更小。

圖8 為拉-壓相等、拉-壓不等循環(huán)加載下典型試件的 y/ε ε-0/w wΔ 關(guān)系計(jì)算結(jié)果匯總。圖8 表明，隨長(zhǎng)徑比增加，相同 y/ε ε對(duì)應(yīng)的 0/w wΔ 值一般相應(yīng)增大。在圖8(a)中，拉-壓相等循環(huán)加載試件的軸向變形ε′僅在最后幾級(jí)加載過(guò)程中使跨中側(cè)向位移有少量增加，其他多數(shù)時(shí)刻ε′均使跨中側(cè)向位移變小。圖8(b)中，拉-壓不等試件隨長(zhǎng)徑比增加，軸向壓縮變形的貢獻(xiàn)減小、軸向拉伸變形的貢獻(xiàn)增大，y/ε ε較大時(shí)ε′對(duì)加大跨中側(cè)向位移的貢獻(xiàn)明顯增大。

圖7 屈曲鋼筋的 ε /ε y- Δw /w0和 ε /ε y- wG - A /w0關(guān)系 Fig.7 Relationship of ε /ε y- Δw /w0 and ε /ε y - wG - A /w0 of buckled steel bars

圖8 典型鋼筋試件的 y/ε ε - 0/w wΔ 關(guān)系 Fig.8 y/ε ε - 0/w wΔ relationship of representative specimens

綜合圖7 和圖8 的分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，拉-壓相等試件與拉-壓不等試件的屈曲變形特征存在差異。與 拉-壓不等試件相比，拉-壓相等試件屈曲程度較小時(shí)軸向壓縮對(duì)0w減少的貢獻(xiàn)相對(duì)更大、屈曲程度較大時(shí)軸向拉伸對(duì)0w增加的貢獻(xiàn)相對(duì)更小。與拉-壓不等試件的計(jì)算結(jié)果相比，y/ε ε較小時(shí)拉-壓相等試件通過(guò)G-A 模型的幾何關(guān)系基本假定計(jì)算得到的wG-A與OpenSees 計(jì)算得到的w0差距更大，ε/εy較大時(shí)wG-A與w0更接近。

由于從理論上推導(dǎo)GAw-與0w的關(guān)系較為復(fù)雜，本文根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，考慮長(zhǎng)徑比 /L d的影響，經(jīng)回歸分析，得到了0/w L與GA/wL- 的關(guān)系式(用于后文修正G-A 模型的GAw-)，見(jiàn)式(15)和式(16)，其回歸效果如圖9 所示，圖中直線(xiàn)為6 種不同 /L d取值的回歸公式計(jì)算結(jié)果。

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

圖9 屈曲鋼筋的 wG - A /L 與 w0 /L 關(guān)系回歸結(jié)果 Fig.9 Regression result of relationship between wG - A /L and w0 /L of buckled steel bars

3.2 對(duì)G-A 模型幾何關(guān)系的第二種修正方法

采用圖10 所示方法也可修正屈曲鋼筋的幾何特征。如圖10(d)所示，頂端節(jié)點(diǎn)豎向位移δ由兩部分組成：一是由桿件軸向變形ε′引起的豎向位移δΔ ，如圖10(b)所示；二是由中間節(jié)點(diǎn)側(cè)向位移0w引起的豎向位移latδ，如圖 10(c)所示。因此有δ=δlat+Δδ(見(jiàn)圖10(d))。若桿件承受壓(拉)力、長(zhǎng)度縮短(伸長(zhǎng))，則Δδ為負(fù)(正)。因此，可根據(jù)δlat/δ和 Δδ/δ的計(jì)算結(jié)果分析屈曲鋼筋頂部端節(jié)點(diǎn)豎向位移的組成方式。

提取有限元計(jì)算結(jié)果，并按下式計(jì)算δlat/δ和Δδ/δ，其中δ為圖2(c)所示有限元模型頂端節(jié)點(diǎn)3 的豎向位移的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。

圖10 頂端節(jié)點(diǎn)縱向位移的構(gòu)成示意 Fig. 10 Composition of longitudinal displacement of top node

圖11 為根據(jù)計(jì)算結(jié)果繪制的ε/εy-δlat/δ和ε/εy- Δδ/δ關(guān)系曲線(xiàn)。圖11 表明，ε/εy較小時(shí)，頂端節(jié)點(diǎn)豎向位移δ主要由軸向變形ε′提供；隨著屈曲程度增加、中間節(jié)點(diǎn)側(cè)向位移0w增大，0w對(duì)δ的貢獻(xiàn)逐漸增加，在中、后期甚至?xí)穰摩?反向(δΔ ＜0)，這是桿件產(chǎn)生較大不可恢復(fù)塑性拉伸變形導(dǎo)致的。

圖11 屈曲鋼筋的 y/ε ε - lat /δ δ 和 y/ε ε - /δ δΔ 關(guān)系 Fig.11 Relationship of y/ε ε - lat /δ δ and y/ε ε - /δ δΔ of buckled steel bars

圖12 為典型試件的ε/εy- Δδ/δ關(guān)系計(jì)算結(jié)果匯總。對(duì)拉-壓相等試件而言，長(zhǎng)徑比較小(L/d＜8)的試件，桿件軸向變形ε′對(duì)δ的貢獻(xiàn)隨ε/εy增加而減小、Δw的貢獻(xiàn)則逐漸增大；中等長(zhǎng)徑比(8＜ /L d＜11)試件，ε′對(duì)δ的貢獻(xiàn)隨 y/ε ε增加而增大；較大長(zhǎng)徑比( /L d＞11)試件，ε′主要為拉長(zhǎng)，對(duì)δ的影響隨 y/ε ε加大而增加。與拉-壓相等試件相比，拉-壓不等試件經(jīng)歷的拉應(yīng)變相對(duì)更大，故同一循環(huán)受拉、受壓產(chǎn)生的軸向變形的差值更大，因此在圖12(b)中，ε′更快地從壓縮轉(zhuǎn)變?yōu)槔L(zhǎng)，且其對(duì)δ的貢獻(xiàn)也更大。

圖12 典型鋼筋試件的 y/ε ε - /δ δΔ 關(guān)系 Fig.12 y/ε ε - /δ δΔ relationship of representative specimens

拉-壓相等試件： 拉-壓不等試件：

圖13 屈曲鋼筋的 latε 與ε 關(guān)系回歸結(jié)果 Fig.13 Regression result of relationship between latε and ε of buckled steel bars

4 原始G-A 模型 pM 基本假定的修正

采用兩種方法對(duì)G-A 模型假定的屈曲鋼筋中間關(guān)鍵截面的全截面塑性彎矩 pM進(jìn)行修正。

4.1 對(duì)G-A 模型 pM 假定的第一種修正方法

G-A 模型按全截面塑性假定進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于給定直徑和屈服強(qiáng)度的鋼筋來(lái)說(shuō)，pM為一定值。

圖14 是兩個(gè)鋼筋試件 (直徑20 mm、 長(zhǎng)度100 mm)的ε/εy-Mp/M0散點(diǎn)圖計(jì)算結(jié)果，其中M0是按圖2(c)所示有限元模型計(jì)算所得的屈曲鋼筋跨中截面彎矩，pM則按G-A 模型給出的式(5)進(jìn)行計(jì)算。圖14 表明，單根鋼筋循環(huán)加載時(shí)鋼筋截面是逐漸進(jìn)入塑性狀態(tài)的，其截面彎矩在加載過(guò)程中不斷變化，且在屈曲程度不嚴(yán)重(應(yīng)變比ε/εy小于4～6)時(shí)，Mp遠(yuǎn)大于M0(約為2 倍～6 倍)，可見(jiàn)Mp會(huì)導(dǎo)致明顯誤差，這與文獻(xiàn)[17]的理論分析結(jié)果是一致的，因此有必要對(duì)Mp進(jìn)行修正。

圖14 鋼筋試件的 y/ε ε - p 0/M M 散點(diǎn)圖 Fig.14 y/ε ε - p 0/M M scatter plot of specimens

根據(jù)各鋼筋試件的 y/ε ε-0p/M M計(jì)算結(jié)果，考慮應(yīng)變比和長(zhǎng)徑比影響，經(jīng)回歸分析，可得到式(21)和式 (22)的修正方法，其散點(diǎn)圖和回歸效果如 圖15 所示，圖中曲線(xiàn)為5 種不同 /L d取值的回歸 公式計(jì)算結(jié)果。

圖15 典型鋼筋試件最大壓應(yīng)變處的 y/ε ε - 0 p/M M 關(guān)系 Fig.15 y/ε ε - 0 p/M M relationship at maximum compression strain of representative specimens

4.2 對(duì)G-A 模型 pM 假定的第二種修正方法

第二種方法仍沿用全截面塑性假定，但考慮軸力影響、中性軸位置的變化，經(jīng)理論推導(dǎo)和回歸分析得到中間截面的彎矩修正系數(shù)。

G-A 模型按式(10)計(jì)算塑性彎矩 pM′時(shí)可考慮軸力的影響，其中θ取值與中性軸位置有關(guān)，故本文首先根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)中性軸位置進(jìn)行分析。圖16 是屈曲鋼筋在各級(jí)加載循環(huán)下最大壓應(yīng)變處中間截面的應(yīng)力分布規(guī)律(圖中實(shí)線(xiàn))，為方便回歸計(jì)算，可采用圖中虛線(xiàn)所示的簡(jiǎn)化應(yīng)力分布進(jìn)行分析，可見(jiàn)中性軸位置并非如G-A 模型假定是固定的，隨著屈曲程度加重(或 y/ε ε加大)中性軸逐漸向y軸正向移動(dòng)。

圖16 鋼筋試件最大壓應(yīng)變處截面應(yīng)力分布及簡(jiǎn)化 Fig.16 Stress distribution and idealization along cross section at maximum compression strain of specimens

采用參數(shù)naxx定義中性軸位置，naxx等于中性軸距離鋼筋截面圓心的長(zhǎng)度，統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)naxx主要與 y/ε ε和長(zhǎng)徑比L/D有關(guān)，經(jīng)回歸分析，可得

如下中性軸位置naxx的計(jì)算式(式中r為鋼筋半徑)。 拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

將式(10)改寫(xiě)為參數(shù)naxx的形式，則考慮軸力影響的 pM′修正表達(dá)式為：

將式(23)和式(24)代入式(26)，可得：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

由于考慮軸力影響的全截面塑性應(yīng)力分布與試件跨中截面的實(shí)際應(yīng)力分布形式(見(jiàn)圖16)仍存在一定差距(與各鋼筋纖維屈服后強(qiáng)化程度不同有關(guān))，為提高精度，本文引入修正系數(shù)α=M0/Mp′ ，并根據(jù)各鋼筋試件的有限元計(jì)算結(jié)果回歸得到了α的計(jì)算表達(dá)式：

因此，同時(shí)考慮中性軸位置變化、截面應(yīng)力分布特征的彎矩修正系數(shù)為ΩM2=α(Mp′ /Mp)。

5 G-A 模型σ-ε 關(guān)系式的修正

基于前文所述的方法，可對(duì)G-A 模型的幾何關(guān)系和跨中全截面塑性假定進(jìn)行修正。

1) 幾何關(guān)系修正

a) 跨中側(cè)向位移GAw-的修正系數(shù) wΩ

修正系數(shù)Ωw=w0/wG-A，將式(15)和式(16)分別代入 wΩ的定義式，可得：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

b) 頂端豎向平均應(yīng)變GAε-的修正系數(shù) εΩ

修正系數(shù)Ωε=εlat/ε，式中ε為按G-A 模型計(jì)算的平均應(yīng)變，將式(19)和式(20)分別代入 εΩ的定義式，可得：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

2) 跨中截面彎矩 pM的修正

a)pM的第一種修正方法(M1Ω)

彎矩Mp的修正系數(shù)ΩM1=M0/Mp，根據(jù)式(21)和式(22)以及 M1Ω的定義式，可得：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

b)pM的第二種修正方法(M2Ω )

彎矩Mp的修正系數(shù)ΩM2=αMp′ /Mp，根據(jù) 式(27)～式(29)以及 M2Ω的定義式，可得：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

在同一坐標(biāo)系下計(jì)算并繪制由上述4 個(gè)修正系數(shù)(Ω i,i=1, 2, 3, 4)得到的-ε曲線(xiàn)，并與G-A 模型、OpenSees 模擬結(jié)果、以及根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的σ-ε曲線(xiàn)進(jìn)行比較，可對(duì)比、判斷四種修正系數(shù)的效果。圖17 以拉-壓相等循環(huán)加載的鋼筋試件18-150-1、拉壓不等試件18-150-2 為例給出了計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，圖中虛線(xiàn)為試驗(yàn)所得屈曲鋼筋的σ-ε滯回曲線(xiàn)，粗黑點(diǎn)為各級(jí)加載循環(huán)下與最大壓應(yīng)變對(duì)應(yīng)的平均應(yīng)力試驗(yàn)結(jié)果。

圖17 各方法修正的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變骨架線(xiàn)對(duì)比 Fig.17 Comparison of average stress-strain skeleton curves modified by different methods

因此，對(duì)于原始G-A 模型的σ-ε關(guān)系(式(12))，本文建議采用如下方法進(jìn)行修正：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

式中：εΩ按式(32)、式(33)計(jì)算；M1Ω按式(34)、式(35)進(jìn)行計(jì)算。

6 修正G-A 模型的程序?qū)崿F(xiàn)及校核

如前所述，Kunnath 等[16]以及文獻(xiàn)[17－18]建議的修正方法并未考慮G-A 模型的理論誤差，其修正方法是基于現(xiàn)象學(xué)而提出，引入的參數(shù)缺乏受力機(jī)理分析。本文基于屈曲鋼筋的變形規(guī)律、受力特征提出了修正G-A 模型。

6.1 修正G-A 模型的程序?qū)崿F(xiàn)

在OpenSees 平臺(tái)上，定義新的單軸材料模型Modified G-A Steel Material，通過(guò)編制相應(yīng)的子程序?qū)⑿拚鼼-A 模型在OpenSees 中予以實(shí)現(xiàn)。

OpenSees 的單軸材料模型Reinforcing Steel Material 可考慮屈曲效應(yīng)[15]，其采用的是Kunnath 等建議的基于原始G-A 模型的修正屈曲模型[16]。文獻(xiàn)[17]為方便使用將Reinforcing Steel Material 模型的三個(gè)外部輸入?yún)?shù)(β、r和γ)簡(jiǎn)化為一個(gè)參數(shù)。經(jīng)試算后本文發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一些試件，這種方法計(jì)算得到的平均應(yīng)力在第三、四象限(反向受壓的加載過(guò)程)退化過(guò)于嚴(yán)重，故本文在編制修正G-A 模型的子程序時(shí)除采用參數(shù)β用于調(diào)整屈曲骨架線(xiàn)與未屈曲σ-ε骨架線(xiàn)的交點(diǎn)位置外，還保留了參數(shù)r，將其用于調(diào)節(jié)屈曲骨架線(xiàn)與未屈曲骨架線(xiàn)之間的位置。

6.2 修正G-A 模型的校核

在OpenSees 平臺(tái)上，分別采用文獻(xiàn)[17]的屈曲鋼筋循環(huán)拉壓試驗(yàn)、Monti 等的試驗(yàn)[7]得到的σ-ε曲線(xiàn)試驗(yàn)結(jié)果(詳見(jiàn)圖18～圖19 中的虛線(xiàn))，對(duì)本文建議的修正G-A 模型進(jìn)行了校核。

建立有限元模型時(shí)，屈曲鋼筋采用桁架單元(Truss)單元模擬，截面劃分時(shí)將鋼筋定義為單根纖維(Fiber)，鋼筋纖維則分別采用三種單軸材料模型進(jìn)行定義，即原始G-A 模型、Reinforcing Steel Material 模型(后文圖中表示為“RSM 模型模擬”)以及Modified G-A Steel Material(即修正G-A模型)，各單軸材料模型除了考慮屈曲效應(yīng)外，還采用相同的方法和參數(shù)取值考慮了低周疲勞效應(yīng)。

圖18 基于文獻(xiàn)[17]屈曲鋼筋試驗(yàn)結(jié)果的σ-ε曲線(xiàn)模擬結(jié)果對(duì)比 Fig.18 Comparison of computational σ-ε curves based on experiments of buckled steel bars in reference [17]

圖19 基于文獻(xiàn)[7]屈曲鋼筋試驗(yàn)結(jié)果的σ-ε曲線(xiàn)模擬結(jié)果對(duì)比 Fig.19 Comparison of computational σ-ε curves based on experiments of buckled steel bars in reference [7]

圖18～圖19為部分不同長(zhǎng)徑比鋼筋試件的有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比。文獻(xiàn)[17]的相關(guān)材料參數(shù)取值見(jiàn)前文。對(duì)于Monti 等的試驗(yàn)[7]，根據(jù)文獻(xiàn)[7]給出的相關(guān)材料參數(shù)取值，有限元計(jì)算時(shí)Esh=0.04Es，εsh=0.01。由于Monti 等的試驗(yàn)[7]缺乏部分確定低周疲勞模型的相關(guān)參數(shù)(如鋼筋直徑)， 其有限元分析暫忽略疲勞效應(yīng)的影響，這導(dǎo)致有限元模擬結(jié)果的誤差有所增大。Reinforcing Steel Material 模型的源程序中參數(shù)β在被固定為1.0，用戶(hù)無(wú)法調(diào)節(jié)屈曲開(kāi)始點(diǎn)的位置，且參數(shù)r和γ對(duì)卸載及反向受拉段的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線(xiàn)的調(diào)整相互影響，故圖18～圖19 的RSM 模型計(jì)算結(jié)果均是經(jīng)過(guò)反復(fù)試算后所得到的最優(yōu)結(jié)果。

圖18 與圖19 的對(duì)比結(jié)果表明，原始G-A 模型的模擬結(jié)果較差，特別是 /L d較小的試件，在第三、四象限模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果差別較大；Reinforcing Steel Material 模型的模擬效果相對(duì)于G-A 模型有明顯改善，但仍存在不可忽視的誤差；修正G-A 模型不僅在每級(jí)循環(huán)最大壓應(yīng)變處模擬結(jié)果更準(zhǔn)確，而且從最大拉、壓應(yīng)變處卸載后反向再加載曲線(xiàn)也與試驗(yàn)結(jié)果更吻合，顯然其模擬效果優(yōu)于前述兩個(gè)模型。

分析結(jié)果表明，修正G-A 模型效果最優(yōu)，但與試驗(yàn)結(jié)果相比仍存在誤差，這與修正G-A 模型采用圖5 所示簡(jiǎn)化三塑性鉸力學(xué)模型等有關(guān)，有待研究更合理的屈曲模型對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。應(yīng)用分析時(shí)，對(duì)L/d較小的鋼筋，建議采用修正G-A 模型；L/d較大時(shí)，若不需考察RC 試件受力后期的承載力退化規(guī)律，可采用更簡(jiǎn)化的原始G-A 模型進(jìn)行計(jì)算。

7 結(jié)論

基于有限元分析結(jié)果，對(duì)G-A 模型的幾何關(guān)系和截面彎矩進(jìn)行修正，建立了屈曲鋼筋的修正材料模型。

(1) 有限元分析結(jié)果表明，屈曲鋼筋的跨中截面應(yīng)力分布與G-A 模型采用的全截面塑性基本假定差別較大。循環(huán)加載初期、應(yīng)變比較小時(shí)截面彎矩遠(yuǎn)小于全截面塑性彎矩 pM；加載后期部分纖維進(jìn)入強(qiáng)化，且中性軸向受壓側(cè)移動(dòng)，其截面彎矩大于 pM。

(2) 可采用兩種方法修正G-A 模型采用的全截面塑性基本假定：① 基于彎矩比-應(yīng)變比有限元計(jì)算結(jié)果，經(jīng)回歸分析得到彎矩修正系數(shù)；② 沿用全截面塑性彎矩，但考慮中性軸位置變化、軸力影響等得到彎矩修正系數(shù)。

(3) G-A 模型的幾何關(guān)系忽略了軸向變形影響，導(dǎo)致屈曲鋼筋跨中側(cè)向位移計(jì)算結(jié)果存在明顯誤差。

(4) 可采用兩種方法修正G-A 模型的幾何關(guān)系：① 將屈曲鋼筋的中間節(jié)點(diǎn)側(cè)向位移分解為由頂端豎向位移引起的側(cè)移和由軸向變形引起的側(cè)移；② 將頂端豎向位移分解為由中間節(jié)點(diǎn)側(cè)向位移引起的變形、由軸向變形引起的變形兩部分。

(5) 多組屈曲鋼筋試驗(yàn)的校核分析結(jié)果表明，修正G-A 模型的計(jì)算結(jié)果明顯優(yōu)于原始G-A 模型。