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        基于一類廣義三階KdV方程的精確解探討

        2020-05-30 01:38:44李奇芳
        關(guān)鍵詞:波形圖三階廣義

        李奇芳

        (山西財(cái)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 山西 太原 030031)

        1 研究背景

        在自然科學(xué)和工程技術(shù)里,不少現(xiàn)象不能采用線性模型描述,如大幅度擺動(dòng),自激震蕩,電路的機(jī)理等.所以,近年來(lái),對(duì)非線性問(wèn)題的研究在物理,化學(xué),生物,數(shù)學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛而深入的開展,特別是尋找非線性方程的精確解受到廣泛關(guān)注.由于非線性現(xiàn)象與非線性偏微分方程有著密切的聯(lián)系,非線性偏微分方程的精確解在許多的科技領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用,因此,為了更好的理解自然界中眾多的非線性現(xiàn)象的機(jī)制,必須知道與這些非線性現(xiàn)象相符的非線性偏微分方程的精確解。郭婷婷等人(2017)提出運(yùn)用雙Bell多項(xiàng)式確定KdV方程的雙線性,并求得其遞推公式[1]。郭峰等人(2018)提出利用平均值離散梯度的模式驗(yàn)證KdV方程組能量守恒理論的正確性[2]。趙露等人(2018)通過(guò)簡(jiǎn)化的雙典型方法測(cè)試雙模KdV方程中的線性及非線性參數(shù),從而得到精確解[3]。基于此,可以看出,利用KdV方程算法求解非線性模型,并用這種方法求解CH-DP方程更加簡(jiǎn)潔明了。

        2 KdV方程的概述

        2.1 研究方向

        2.2 研究方法

        對(duì)于一個(gè)關(guān)于獨(dú)立變量的一類非線性偏微分方程如(1)所示:

        H1(u,ux,ut,uxx,uxt,utt,…)=0.

        (1)

        該方法通過(guò)下面四個(gè)步驟尋找非線性偏微分方程的精確解,如方程(2)所示:

        u(x,t)=φ(x,t)+R,

        (2)

        其中R任意常數(shù),將變換(1)代入(2)中,則公式1轉(zhuǎn)換為下面的形式,如方程(3)所示:

        H2(φ,φx,φt,φtt,φxt,φtt…)=0.

        (3)

        而后確定常數(shù)R的值.如方程(4)所示:

        Φ=φ-α2φxx

        (4)

        其中α≠0,將方程(3)代入方程(4)使方程(4)的各項(xiàng)表達(dá)式都包含Φ或者Φ的各階導(dǎo)數(shù),根據(jù)方程各項(xiàng)之間系數(shù)的關(guān)系,得出R的取值。

        (三)例題模擬

        例如:考慮如下DGH方程,如方程(5)所示:

        ut+2kux+3uux-(uxxt+uuxx+2uxuxx+γuxx=0,

        (5)

        其中k,γ是任意常數(shù).將公式(2)代入方程(5),如方程(6)所示:

        φt+(2k+3R)φx+3φφx-φxx-φφxxx-2φxφxx+(γ-R)φxxx=0.

        (6)

        方程(6)可變?yōu)槿绶匠?7)所示:

        (φ-φxx)t+2φx(φ-φxx)+φ(φ-φxx)x=-(2k+3R)φx-(γ-R)φxxx·

        (7)

        由方程(4),取α2=1得如方程(8)所示:

        Φt+2φxΦ+φΦx=-(2k+3R)φx-(γ-R)φxxx·

        (8)

        為了使方程(8)的每一項(xiàng)都包含Φ或者Φ的各階導(dǎo)數(shù),如方程(9)所示:

        -(2k+3R)=γ-R,

        (9)

        化簡(jiǎn)可得如方程(10)所示:

        (10)

        將方程(10)代入方程(8)得如方程(11)所示:

        (11)

        顯然,Φ=0是方程(11)的解.

        求方程Φ=0的解.注意到Φ=φ-α2φxx=0是線性微分方程,因此容易得到該方程的更一般形式的解.獲得方程(1)的精確解。通過(guò)方程(4)的變形,方程(11)的每一項(xiàng)都包含Φ或者Φ的各階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)φ(x,t)是方程Φ=0的解時(shí),φ(x,t)也是方程(3)的解.實(shí)際上,在方程(11)中,當(dāng)φ(x,t)是方程Φ=0的解時(shí),φ(x,t)也是方程(11)的解.通過(guò)改變常數(shù)t的取值來(lái)擴(kuò)展方程Φ=0的基礎(chǔ)解,從而得到方程(1)的一系列的精確解.

        3 一類廣義三階KdV方程的求解

        3.1 一類廣義三階KdV方程的精確解

        在這部分,將應(yīng)用這種簡(jiǎn)單的方法得到廣義三階KdV方程的不同解.廣義三階KdV方程如方程(12)所示:

        (12)

        其中α,β,ν為任意常數(shù).

        令u(x,t)=φ(x,t)+R,將其代入方程(12)后如方程(13)所示:

        (13)

        根據(jù)研究方法,方程(13)可轉(zhuǎn)換如方程(14)所示:

        (14)

        令Φ=φ+νφxx,為了使方程(14)的每一項(xiàng)包含Φ或者Φ的各階導(dǎo)數(shù),如方程(15)所示:

        (15)

        化簡(jiǎn)可得如方程(16)所示:

        (16)

        因此方程(14)可以寫為如方程(17)所示:

        (17)

        注意到Φ=φ+νφxx,所以,方程(17)可以變?yōu)槿绶匠?18)所示:

        (18)

        3.2 情景分析

        我們需考慮方程(19)的解:

        φ+νφxx=0.

        (19)

        情形假設(shè)φ<0.

        容易求出方程(19)的基本解組如方程(20)所示:

        (20)

        其中A(t),B(t)是任意可微函數(shù). 是方程(19)的解,易知如方程(21)、公式(22)所示:

        (21)

        (22)

        由方程(23)、方程(24)所示:

        (23)

        (24)

        可得如方程(25)、方程(26)也是方程(19)的解:

        (25)

        (26)

        所以,當(dāng)如方程(27)所示時(shí),也是方程(19)的解.

        (27)

        由于A(t),B(t)是任意可微函數(shù),則可以擴(kuò)展解方程(21)后,如方程(28)所示:

        (28)

        其中c1,c2為任意常數(shù).

        不妨假設(shè)00時(shí),則有0

        (29)

        所以可得如方程(30)所示也是方程(19)的解.

        (30)

        此外,還能擴(kuò)展方程(21)如方程(31)所示:

        (31)

        其p(t),q(t)中為任意函數(shù),通過(guò)檢驗(yàn),也是方程(19)的解.

        類似地,對(duì)任意的x構(gòu)造,如方程(32)所示:

        (32)

        所以方程(32)也是方程(19)的解.

        (32)

        (33)

        (34)

        也是方程(19)的解.其中Ai(t),Bj(t),pi(t),qj(t)是任意可微函數(shù),i=1,2,…N,j=1,2,…M,N,M是任意正整數(shù)。類似可得如方程(35)、方程(36)也是方程(19)的解[5].

        (35)

        (36)

        根據(jù)雙曲函數(shù)的定義,可知方程(37)、方程(38)也是方程(19)的解.

        (37)

        (38)

        情形ν>0.

        容易求出方程(19)的基本解組為如方程(39)、方程(40)所示:

        (39)

        其中c(t)為任意可微函數(shù)[6]。

        (40)

        值得注意的是,從上面的這些構(gòu)造過(guò)程中,可以得到方程(19)的其他精確解,由于篇幅所限,在這里給予省略.

        故方程(13)有下列解,如方程(41)-方程(50)所示:

        (41)

        (42)

        (43)

        (44)

        (45)

        (46)

        (47)

        (48)

        (49)

        (50)

        (三)精確解的波形圖

        根據(jù)所求的精確解,利用Maple軟件將方程(41)-(45)及(50)的解的波形圖繪制如下:

        繪圖時(shí),方程(41)、方程(42)、方程(44)都取ν=-1,α=-1,β=1,N=1,M=1,方程(50)取ν=3,α=1,β=3,N=1,M=1.如圖1-4所示:

        圖1(a)是當(dāng)A(t)=log10t,B(t)=sint,x[-20,20],t[1,10]時(shí),方程(41)的波形圖. (b)是當(dāng)A(t)=sin,B(t)=cost,x[-30,30],t[-15,15]時(shí),方程(41)的波形圖.

        (c)是當(dāng)A(t)=sinht,B(t)=tant,p(t)=sint,q(t)=sint,x[-40,40],t[-1,1]時(shí),方程(42)的波形圖.

        (d)是當(dāng)A(t)=sinht,B(t)=cost,p(t)=sint2,q(t)=sint3,x[-2,2],t[-8,8]時(shí),方程(42)的波形圖.

        (e)是當(dāng)A(t)=t2,B(t)=t,p(t)=sint2,q(t)=cost3,x[-3,3],t[-4,4]時(shí),方程(44)的波形圖.

        (d)是當(dāng)A(t)=et2,B(t)=cost,p(t)=sint2,q(t)=cost3,x[-10,40],t[-1,1]時(shí),方程(44)的波形圖.

        (g)是當(dāng)C(t)=log10t,x[-20,20],t[0.1,10]時(shí),方程(50)的波形圖. (h)是當(dāng)C(t)=sin10t,x[3.5,11],t[-13,13]時(shí),方程(50)的波形圖.

        四、結(jié)論

        求解非線性偏微分方程的精確解是一種簡(jiǎn)單方法,這種方法對(duì)于求解非線性偏微分方程是有效和直接的,它可以避免乏味的重復(fù)計(jì)算。這種方法之所以簡(jiǎn)單關(guān)鍵在將原方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為多個(gè)簡(jiǎn)單的常系數(shù)高階常微分方程,最終只需求出簡(jiǎn)單的常系數(shù)高階常微分方程的解。便可得出原方程的解。本文以廣義三階KdV方程為例,用簡(jiǎn)單方法求出了它的許多精確解,并且借助數(shù)學(xué)軟件MAPLE,在一定參數(shù)條件下得到了該方程的一些特殊解的波形圖。

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