李奇芳
(山西財貿職業(yè)技術學院 山西 太原 030031)
在自然科學和工程技術里,不少現象不能采用線性模型描述,如大幅度擺動,自激震蕩,電路的機理等.所以,近年來,對非線性問題的研究在物理,化學,生物,數學等領域得到了廣泛而深入的開展,特別是尋找非線性方程的精確解受到廣泛關注.由于非線性現象與非線性偏微分方程有著密切的聯(lián)系,非線性偏微分方程的精確解在許多的科技領域發(fā)揮著重要作用,因此,為了更好的理解自然界中眾多的非線性現象的機制,必須知道與這些非線性現象相符的非線性偏微分方程的精確解。郭婷婷等人(2017)提出運用雙Bell多項式確定KdV方程的雙線性,并求得其遞推公式[1]。郭峰等人(2018)提出利用平均值離散梯度的模式驗證KdV方程組能量守恒理論的正確性[2]。趙露等人(2018)通過簡化的雙典型方法測試雙模KdV方程中的線性及非線性參數,從而得到精確解[3]?;诖耍梢钥闯?,利用KdV方程算法求解非線性模型,并用這種方法求解CH-DP方程更加簡潔明了。
對于一個關于獨立變量的一類非線性偏微分方程如(1)所示:
H1(u,ux,ut,uxx,uxt,utt,…)=0.
(1)
該方法通過下面四個步驟尋找非線性偏微分方程的精確解,如方程(2)所示:
u(x,t)=φ(x,t)+R,
(2)
其中R任意常數,將變換(1)代入(2)中,則公式1轉換為下面的形式,如方程(3)所示:
H2(φ,φx,φt,φtt,φxt,φtt…)=0.
(3)
而后確定常數R的值.如方程(4)所示:
Φ=φ-α2φxx
(4)
其中α≠0,將方程(3)代入方程(4)使方程(4)的各項表達式都包含Φ或者Φ的各階導數,根據方程各項之間系數的關系,得出R的取值。
(三)例題模擬
例如:考慮如下DGH方程,如方程(5)所示:
ut+2kux+3uux-(uxxt+uuxx+2uxuxx+γuxx=0,
(5)
其中k,γ是任意常數.將公式(2)代入方程(5),如方程(6)所示:
φt+(2k+3R)φx+3φφx-φxx-φφxxx-2φxφxx+(γ-R)φxxx=0.
(6)
方程(6)可變?yōu)槿绶匠?7)所示:
(φ-φxx)t+2φx(φ-φxx)+φ(φ-φxx)x=-(2k+3R)φx-(γ-R)φxxx·
(7)
由方程(4),取α2=1得如方程(8)所示:
Φt+2φxΦ+φΦx=-(2k+3R)φx-(γ-R)φxxx·
(8)
為了使方程(8)的每一項都包含Φ或者Φ的各階導數,如方程(9)所示:
-(2k+3R)=γ-R,
(9)
化簡可得如方程(10)所示:
(10)
將方程(10)代入方程(8)得如方程(11)所示:
(11)
顯然,Φ=0是方程(11)的解.
求方程Φ=0的解.注意到Φ=φ-α2φxx=0是線性微分方程,因此容易得到該方程的更一般形式的解.獲得方程(1)的精確解。通過方程(4)的變形,方程(11)的每一項都包含Φ或者Φ的各階導數,則當φ(x,t)是方程Φ=0的解時,φ(x,t)也是方程(3)的解.實際上,在方程(11)中,當φ(x,t)是方程Φ=0的解時,φ(x,t)也是方程(11)的解.通過改變常數t的取值來擴展方程Φ=0的基礎解,從而得到方程(1)的一系列的精確解.
在這部分,將應用這種簡單的方法得到廣義三階KdV方程的不同解.廣義三階KdV方程如方程(12)所示:
(12)
其中α,β,ν為任意常數.
令u(x,t)=φ(x,t)+R,將其代入方程(12)后如方程(13)所示:
(13)
根據研究方法,方程(13)可轉換如方程(14)所示:
(14)
令Φ=φ+νφxx,為了使方程(14)的每一項包含Φ或者Φ的各階導數,如方程(15)所示:
(15)
化簡可得如方程(16)所示:
(16)
因此方程(14)可以寫為如方程(17)所示:
(17)
注意到Φ=φ+νφxx,所以,方程(17)可以變?yōu)槿绶匠?18)所示:
(18)
我們需考慮方程(19)的解:
φ+νφxx=0.
(19)
情形假設φ<0.
容易求出方程(19)的基本解組如方程(20)所示:
(20)
其中A(t),B(t)是任意可微函數. 是方程(19)的解,易知如方程(21)、公式(22)所示:
(21)
和
(22)
由方程(23)、方程(24)所示:
(23)
和
(24)
可得如方程(25)、方程(26)也是方程(19)的解:
(25)
(26)
所以,當如方程(27)所示時,也是方程(19)的解.
(27)
由于A(t),B(t)是任意可微函數,則可以擴展解方程(21)后,如方程(28)所示:
(28)
其中c1,c2為任意常數.
不妨假設0 (29) 所以可得如方程(30)所示也是方程(19)的解. (30) 此外,還能擴展方程(21)如方程(31)所示: (31) 其p(t),q(t)中為任意函數,通過檢驗,也是方程(19)的解. 類似地,對任意的x構造,如方程(32)所示: (32) 所以方程(32)也是方程(19)的解. (32) (33) (34) 也是方程(19)的解.其中Ai(t),Bj(t),pi(t),qj(t)是任意可微函數,i=1,2,…N,j=1,2,…M,N,M是任意正整數。類似可得如方程(35)、方程(36)也是方程(19)的解[5]. (35) (36) 根據雙曲函數的定義,可知方程(37)、方程(38)也是方程(19)的解. (37) (38) 情形ν>0. 容易求出方程(19)的基本解組為如方程(39)、方程(40)所示: (39) 其中c(t)為任意可微函數[6]。 (40) 值得注意的是,從上面的這些構造過程中,可以得到方程(19)的其他精確解,由于篇幅所限,在這里給予省略. 故方程(13)有下列解,如方程(41)-方程(50)所示: (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) 根據所求的精確解,利用Maple軟件將方程(41)-(45)及(50)的解的波形圖繪制如下: 繪圖時,方程(41)、方程(42)、方程(44)都取ν=-1,α=-1,β=1,N=1,M=1,方程(50)取ν=3,α=1,β=3,N=1,M=1.如圖1-4所示: 圖1(a)是當A(t)=log10t,B(t)=sint,x[-20,20],t[1,10]時,方程(41)的波形圖. (b)是當A(t)=sin,B(t)=cost,x[-30,30],t[-15,15]時,方程(41)的波形圖. (c)是當A(t)=sinht,B(t)=tant,p(t)=sint,q(t)=sint,x[-40,40],t[-1,1]時,方程(42)的波形圖. (d)是當A(t)=sinht,B(t)=cost,p(t)=sint2,q(t)=sint3,x[-2,2],t[-8,8]時,方程(42)的波形圖. (e)是當A(t)=t2,B(t)=t,p(t)=sint2,q(t)=cost3,x[-3,3],t[-4,4]時,方程(44)的波形圖. (d)是當A(t)=et2,B(t)=cost,p(t)=sint2,q(t)=cost3,x[-10,40],t[-1,1]時,方程(44)的波形圖. (g)是當C(t)=log10t,x[-20,20],t[0.1,10]時,方程(50)的波形圖. (h)是當C(t)=sin10t,x[3.5,11],t[-13,13]時,方程(50)的波形圖. 求解非線性偏微分方程的精確解是一種簡單方法,這種方法對于求解非線性偏微分方程是有效和直接的,它可以避免乏味的重復計算。這種方法之所以簡單關鍵在將原方程進行轉化,轉化為多個簡單的常系數高階常微分方程,最終只需求出簡單的常系數高階常微分方程的解。便可得出原方程的解。本文以廣義三階KdV方程為例,用簡單方法求出了它的許多精確解,并且借助數學軟件MAPLE,在一定參數條件下得到了該方程的一些特殊解的波形圖。(三)精確解的波形圖
四、結論