郭 靜, 朱紅波

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院, 長(zhǎng)春 130024)

不完全PT對(duì)稱[1]的非厄米系統(tǒng)具有自發(fā)PT對(duì)稱性破缺的特性.當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)制到某一特定值或處于某一范圍時(shí), 系統(tǒng)會(huì)發(fā)生PT相變.即原來(lái)處于PT對(duì)稱相變的體系將處于PT對(duì)稱破缺相, 其能量本征值由PT對(duì)稱相時(shí)的實(shí)數(shù)變?yōu)閺?fù)數(shù).特定的參數(shù)值或范圍即為系統(tǒng)的PT對(duì)稱相變點(diǎn).當(dāng)參數(shù)大于相變點(diǎn)時(shí),PT對(duì)稱的非厄米Hamilton量的本征值全部為實(shí)數(shù), 此時(shí)系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相； 當(dāng)參數(shù)小于相變點(diǎn)時(shí), 系統(tǒng)處于PT對(duì)稱性破缺相.PT對(duì)稱理論在光學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[2-9], 目前PT相變已引起人們廣泛關(guān)注[10-13].本文考慮PT對(duì)稱的四體耦合腔系統(tǒng), 分析該體系的PT相變及單光子傳輸.

1 體系模型與PT相變

PT對(duì)稱的四體耦合腔陣列系統(tǒng)如圖1所示.由圖1可見(jiàn), 具有光場(chǎng)耗散和增益的腔分別為“-1”腔和“1”腔.若僅考慮相鄰腔間的線性耦合, 則耦合系數(shù)均為J.

當(dāng)?=1時(shí)， 體系的Hamilton量為

圖1 PT對(duì)稱的四體耦合腔陣列系統(tǒng)Fig.1 Four-body coupled cavity array system with PT symmetry

其Hamilton量的矩陣形式為

(3)

其中

(4)

解久期方程det(H0-EI)=0可得Hamilton量H0的本征值(相互作用表象下)及相應(yīng)的本征態(tài)為

(5)

其中N1,N2,N3,N4為歸一化常數(shù), 各分量的一般表達(dá)式為

(6)

圖2 體系能量本征值的特點(diǎn)及本征態(tài)|E2〉在各腔的相對(duì)幾率分布Fig.2 Characteristics of energy eigenvalues of system and relative probabilities distribution of eigenstate |E2〉 in each cavity

因此光子將從增益腔轉(zhuǎn)移至耗散腔(“-1”腔)和“-2”腔, 即光子會(huì)局域化在耗散腔和“-2”腔； 當(dāng)J>γ時(shí), 系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相, 光子出現(xiàn)在增益腔的幾率逐漸減小, 由于

因此光子在4個(gè)腔中是對(duì)稱分布的.PT對(duì)稱的四體耦合腔陣列中單光子局域化腔及光子傳輸特性列于表1.

表1 PT對(duì)稱的四體耦合腔陣列中單光子局域化腔及光子傳輸特性

2 單光子傳輸

隨時(shí)間變化的波函數(shù)表達(dá)式為

|ψ(t)〉=α(t)|1000〉+β(t)|0100〉+ξ(t)|0010〉+η(t)|0001〉,

(7)

其中|1000〉、|0100〉、|0010〉和|0001〉分別表示單光子在“-2”腔、“-1”腔、“1”腔和“2”腔中.將共振情形的Hamilton量式(2)和式(7)代入Schr?dinger方程中, 可得：

(8)

下面由式(8)分別討論系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相及PT對(duì)稱性破缺相時(shí)單光子的傳輸特點(diǎn).

2.1 單光子在PT對(duì)稱相中的傳輸

當(dāng)系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相時(shí), 耦合系數(shù)J和增益率(耗散率)γ滿足J>γ, 考慮初始時(shí)刻單光子在耗散腔(“-1”腔)中, 則有

α(0)=ξ(0)=η(0)=0,β(0)=1,

計(jì)算可得光子在4個(gè)腔中出現(xiàn)的幾率幅(下角標(biāo)s表示系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相)為

(9)

其中:

(10)

初始時(shí)刻將光子制備在增益腔(“1”腔), 此時(shí)

ξ(0)=1,α(0)=β(0)=η(0)=0,

用相同方法可得任意時(shí)刻光子在各腔的幾率幅為

(11)

圖3 在耗散腔制備單光子且系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相時(shí)光子處于各腔的幾率Fig.3 Probabilities of photon in each cavity when single photon is prepared in dissipative cavity and system is in PT symmetric phase

圖4 在增益腔制備單光子且系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相時(shí)光子處于各腔的幾率Fig.4 Probabilities of photon in each cavity when single photon is prepared in gain cavity and system is in PT symmetric phase

2.2 單光子在PT對(duì)稱性破缺相中的傳輸

當(dāng)J<γ時(shí), 系統(tǒng)處于PT對(duì)稱性破缺相.考慮初始時(shí)刻單光子處于耗散腔中, 則有

αb(0)=ξb(0)=ηb(0)=0,βb(0)=1,

光子在4個(gè)腔中出現(xiàn)的幾率幅αb(t),βb(t),ξb(t)，ηb(t)與式(9)中αs(t),βs(t),ξs(t)，ηs(t)的表達(dá)式相同.考慮初始時(shí)刻單光子在增益腔中, 則有

當(dāng)光子在耗散腔的幾率減小時(shí), 其他3個(gè)腔中光子的幾率增加.光子在傳輸過(guò)程中的幾率大于1是由于增益所致.從各腔中光子存在的幾率隨時(shí)間變化可見(jiàn), 單光子是雙向傳輸?shù)?

圖5 四體耦合腔系統(tǒng)處于PT對(duì)稱性破缺相時(shí)的單光子傳輸Fig.5 Single photon transmission in four-body coupled cavity system with PT-symmetric broken phase

當(dāng)系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相且為對(duì)稱性破缺相時(shí), 單光子均具有雙向傳輸?shù)奶攸c(diǎn).隨著時(shí)間的增加, 增益腔和“2”腔會(huì)更早、更容易發(fā)現(xiàn)光子, 這是由于腔場(chǎng)的增益所致, 可調(diào)節(jié)不同增益(耗散)強(qiáng)度比較某個(gè)特定腔中光子出現(xiàn)幾率為1的先后順序, 各腔均會(huì)出現(xiàn)光子幾率較大的情形.

綜上, 本文研究了PT對(duì)稱四體耦合腔陣列系統(tǒng)中的光子傳輸行為, 體系由具有對(duì)稱增益和耗散的四腔耦合而成.結(jié)果表明： 當(dāng)耦合系數(shù)和增益率(耗散率)滿足J>γ時(shí), 系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相, 能量本征值均為實(shí)數(shù), 光子分布呈明顯的對(duì)稱性； 初始時(shí)刻將單光子置于增益腔或耗散腔, 單光子均具有雙向傳輸?shù)奶攸c(diǎn)； 當(dāng)J=γ時(shí), 體系由PT對(duì)稱相變?yōu)镻T對(duì)稱性破缺相； 當(dāng)J<γ時(shí), 該體系的4個(gè)能量本征值均為復(fù)數(shù), 光子分布的對(duì)稱性被打破, 同時(shí)出現(xiàn)局域化現(xiàn)象, 單光子具有雙向傳輸?shù)奶攸c(diǎn).