軒素玲, 周紅軍, 劉 妮

(陜西師范大學 數學與信息科學學院, 西安 710119)

模糊蘊涵是模糊集理論中的一類主要邏輯連接詞, 在模糊數學的許多分支中具有重要作用, 如在模糊邏輯中作為蘊涵連接詞的語義解釋[1-2], 在模糊形態(tài)學中用于構造模糊侵蝕算子[3-4], 在圖像處理中用于構造圖像之間的相似性度量[5], 在模糊粗糙集理論中構造上下近似算子[6-7], 在形式概念分析中導出Galois連接[8-9]等.模糊蘊涵的廣泛應用和不確定性知識表示及其邏輯推理對模糊蘊涵模型的大量需求促進了模糊蘊涵的快速發(fā)展, 其中新型模糊蘊涵模型的構造及其刻畫是其中的研究熱點之一.根據不同的構造方法, 模糊蘊涵主要分為五類: (S,N)-蘊涵、R-蘊涵、QL-蘊涵、Yager蘊涵以及序和模糊蘊涵[10-24].本文考慮模糊蘊涵的序和構造.文獻[18]給出的序和模糊蘊涵分別借助IGD(G?del蘊涵)或IRS(Rescher蘊涵)作為單位正方形區(qū)域中給定子方形的下三角上的給定一族模糊蘊涵的線性變換的補蘊涵而構造的.本文研究一般模糊蘊涵作為給定一族模糊蘊涵的線性變換的補蘊涵的充要條件, 并將現有的各類下三角上的序和蘊涵納入到統(tǒng)一框架中, 進而給出模糊蘊涵下三角序和構造的一般形式.

1 預備知識

定義1[25]若對任意的x,y,z∈[0,1],I滿足下列條件:

1) 當x≤y時,I(y,z)≤I(x,z);

2) 當y≤z時,I(x,y)≤I(x,z);

3)I(0,0)=1;

4)I(1,1)=1;

5)I(1,0)=0.

則稱二元函數I: [0,1]2→[0,1]為模糊蘊涵.

推論1[25]由定義1知, 任一模糊蘊涵I滿足下列性質, 分別稱為左邊界條件和右邊界條件:

(LB)I(0,y)=1,y∈[0,1];

(RB)I(x,1)=1,x∈[0,1].

例1[1]如下定義的二元函數I0,I1分別是點式序下最小與最大的模糊蘊涵:

表1列出了其他幾種常見的模糊蘊涵.

表1 常用的模糊蘊涵

定義2[25-27]設I是模糊蘊涵.

1) 若對任意的y∈[0,1],I(1,y)=y, 則稱I滿足左單位元性質(簡稱(NP));

2) 若對任意的x,y∈[0,1],I(x,I(y,z))=I(y,I(x,z)), 則稱I滿足置換性質(簡稱(EP));

3) 若對任意的x∈[0,1],I(x,x)=1, 則稱I滿足恒等性(簡稱(IP));

4) 若對任意的x,y∈[0,1],I(x,y)=1當且僅當x≤y, 則稱I滿足序性質(簡稱(OP));

7) 若對任意的x,y∈[0,1],I(x,y)≥y, 則稱I滿足后件邊界條件(簡稱(CB));

注1設I是模糊蘊涵, 則下列性質等價：

1)I滿足(CB);

2)I滿足(CB′), 即?y∈[0,1],I(1,y)≥y.

例2[23]定義二元函數Ic: [0,1]2→[0,1]為

其中c∈[0,1].易驗證Ic是模糊蘊涵; 當c=0時,I0=IRS; 當c=1時,I1=IGD.

下面介紹文獻[13,18]中給出的幾種下三角序和蘊涵, 其中|aα,bα|表示區(qū)間(aα,bα),(aα,bα],[aα,bα),[aα,bα]中的任意一個.關于模糊蘊涵的其他序和構造方法可參見文獻[23].

定理1[13]設{Iα}α∈A是一族模糊蘊涵, {[aα,bα]}α∈A是[0,1]的一族互不相交的閉子區(qū)間,aα

1) 按下式定義的二元函數I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊涵:

(1)

2) 按下式定義的二元函數I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊涵:

(2)

定理2[18]設{Iα}α∈A是一族模糊蘊涵, {|aα,bα|}α∈A是[0,1]的一族互不相交的子區(qū)間, 且aα

1) 按下式定義的二元函數I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊涵的當且僅當1?|aα,bα|,α∈A時,Iα滿足(CB):

(3)

2) 按下式定義的二元函數I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊涵:

(4)

2 主要結果

定義3設I*是任一模糊蘊涵, {Iα}α∈A是一族模糊蘊涵, {[aα,bα]}α∈A是(0,1)的一族互不相交的閉子區(qū)間, {[cα,dα]}α∈A是[0,1]一族閉子區(qū)間, 且aα

(5)

稱I是{Iα}α∈A的序和, 記I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,≥,I*)α∈A.

定理3式(5)定義的二元函數I是模糊蘊涵當且僅當I*滿足下列條件：

證明: 必要性.假設I是一個模糊蘊涵,α∈A.

1) ?y∈[aα,bα]及?x

因此I*滿足條件1).

同理可證I*滿足條件2)～4).

充分性.假設I*滿足條件1)～4), 則需證明I滿足定義1中條件1)～5).

① 設x1,x2,y∈[0,1]且x1

(i) 若?α∈A,y?[aα,bα], 由I*的單調性可得,I(x1,y)=I*(x1,y)≥I*(x2,y)=I(x2,y).

(ii) 若?α∈A, 使得y∈[aα,bα], 則需討論以下4種情形：

若x1

I(x1,y)=I*(x1,y)≥I*(x2,y)=I(x2,y);

若x1

若y≤x1≤bα

若y≤x1

因此I滿足定義1中條件1).

② 設x,y1,y2∈[0,1]且y1

(i) 若?α∈A,x?[aα,bα], 則由I*的單調性可得,I(x,y1)=I*(x,y1)≤I*(x,y2)=I(x,y2).

(ii) 若?α∈A, 使得x∈[aα,bα], 則需討論以下4種情形.

若x

I(x,y1)=I*(x,y1)≤I*(x,y2)=I(x,y2);

若aα≤y1

若aα≤y1≤x

若y1

因此I滿足定義1中條件2).

根據定義3, 顯然有I(0,0)=I*(0,0)=1,I(1,1)=I*(1,1)=1,I(1,0)=I*(1,0)=0, 即定義1中條件3)～5)成立.

綜上可證I是模糊蘊涵.

則

圖1 例3中I的三維圖像Fig.1 Three dimensional image of I in example 3

易驗證I*滿足定理3中的條件1)～4), 故可得I是模糊蘊涵, 其三維圖像如圖1所示.

命題1設{Iα}α∈A是一族模糊蘊涵, {[aα,bα]}α∈A是(0,1) 的一族互不相交的閉子區(qū)間, {[cα,dα]}α∈A是[0,1]一族閉子區(qū)間, 且aα

1) 按下式定義的二元函數I*: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊涵當且僅當?α∈A,aα≤cα≤dα≤bα:

(6)

2) 按下式定義的二元函數I*: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊涵當且僅當?α∈A,aα≤cα≤dα≤bα：

(7)

定理4設I是式(5)定義的二元函數, {[aα,bα]}α∈A是(0,1)的一族互不相交的閉子區(qū)間, {[cα,dα]}α∈A是[0,1]一族閉子區(qū)間, 且?α∈A,aα≤cα≤dα≤bα, 其中A是有限或可數指標集.則有:

1) 若I*是式(6)所表示的模糊蘊涵, 則I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,≥,I*)α∈A是模糊蘊涵, 即

(8)

2) 若I*是式(7)所表示的模糊蘊涵, 則I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,≥,I*)α∈A是模糊蘊涵, 即

(9)

式(8)和式(9)的結構如圖2所示.

圖2 式(8)和式(9)的結構Fig.2 Structures of formulas (8) and (9)

定理5設I是式(8)定義的二元函數.若I是模糊蘊涵, 則:

1)I不滿足(IP);

2)I既不滿足(LOP)也不滿足(OP);

3)I滿足(SBC);

4)I不滿足(SCC0);

5)I滿足(SCC1).

推論2設I是式(8)定義的二元函數.若aα=cα,bα=dα, 則:

1)I不滿足(IP);

2)I即不滿足(LOP)也不滿足(OP);

3)I滿足(SBC);

4)I不滿足(SCC0);

5)I滿足(SCC1);

6)I滿足(NP)當且僅當?α∈A,Iα滿足(NP);

7)I滿足(CB)當且僅當?α∈A,Iα滿足(CB).

證明: 這里只給出6)的證明, 其他類似.

由式(8)可得?y∈[0,1],

定理6設I是式(9)定義的二元函數.若I是模糊蘊涵, 則:

1)I不滿足(IP);

2)I即不滿足(LOP)也不滿足(OP);

3)I滿足(SBC);

4)I不滿足(SCC0);

5)I滿足(SCC1);

6)I不滿足(NP);

7)I不滿足(CB).

證明: 這里只給出6)的證明, 其他類似.

在證明定理3 的充分性時表明, 在子方形[aα,bα]對角線上的取值既可以按照Iα的線性變換取值, 也可以按照I*取值, 不影響其結果.下面按照I*取值, 并把{[aα,bα]}α∈A是(0,1)的一族互不相交的閉子區(qū)間修改為{[aα,bα]}α∈A是[0,1]的一族互不相交的閉子區(qū)間, 記此序和為

I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,>,I*)α∈A.

推論3設{Iα}α∈A是一族模糊蘊涵, {[aα,bα]}α∈A和{[cα,dα]}α∈A是[0,1]的一族互不相交的閉子區(qū)間, 且當aα=0時cα=0, 當bα=1時dα=1,α∈A, 其中A是有限或可數指標集.則有:

1) 若I*是式(6)所表示的模糊蘊涵, 則I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,>,I*)α∈A是模糊蘊涵, 其中

(10)

2) 若I*是式(7)所表示的模糊蘊涵, 則I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,>,I*)α∈A是模糊蘊涵, 其中

(11)

注21) 若推論3中1)的I*滿足(LOP)且cα=aα,dα=bα, 則推論3中1)退化為定理1中1).

2) 若推論3)中2)的I*滿足(LOP)且cα=aα,dα=bα, 則推論3中2)退化為定理1中2).

下面進一步將式(5)中的閉區(qū)間[aα,bα]放寬為|aα,bα|, 給出相應序和是模糊蘊涵的充分條件, 這些結果將推廣定理2.由于證明與前面類似, 因此這里僅列舉相應結論, 不再證明.

定理7設I*是任一模糊蘊涵, {Iα}α∈A是一族模糊蘊涵, {|aα,bα|}α∈A是[0,1]的一族互不相交的子區(qū)間, {[cα,dα]}α∈A是[0,1]一族閉子區(qū)間, 且aα,I*)α∈A, 即

(12)

若I*滿足下列條件, 則I是模糊蘊涵:

顯然IRS滿足定理7中條件1)～4), 故可得I是模糊蘊涵, 其三維圖像如圖3所示.

則

易驗證I*滿足定理7中條件1)～4), 故可得I是模糊蘊涵, 其三維圖像如圖4所示.

圖3 例4中1)的I三維圖像Fig.3 Three dimensional image of I in 1) of example 4

圖4 例4中2)的I三維圖像Fig.4 Three dimensional image of I in 2) of example 4

推論4設I*是任一模糊蘊涵, (Iα)α∈A是一族模糊蘊涵, {|aα,bα|}α∈A是[0,1]的一個互不相交的子區(qū)間族, {[cα,dα]}α∈A是[0,1]一族子區(qū)間,aα,I*)α∈A=(〈|aα,bα|,cα,dα,Iα〉,>,I*)α∈A, 即

(13)

若I*滿足下列條件, 則I是模糊蘊涵：

顯然IRS滿足推論4中條件1)～4), 故可得I是模糊蘊涵, 其三維圖像如圖5所示.

則

易驗證I*滿足推論4中條件1)～4), 故可得I是模糊蘊涵, 其三維圖像如圖6所示.

圖5 例5中1)的I三維圖像Fig.5 Three dimensional image of I in 1) of example 5

圖6 例5中2)的I三維圖像Fig.6 Three dimensional image of I in 2) of example 5

命題2I是式(12)表示的二元函數, 其中I*=Ic.若?α∈A及?y∈|aα,bα|均有cy≤cα, 則I是模糊蘊涵.

證明: 由定理7可知, 只需驗證Ic滿足定理7中條件1)～4)即可.首先證明Ic滿足定理7中條件1), 若(x,y)∈[bα,1]×|aα,bα|,α∈A, 則

因此Ic滿足定理7中條件1).同理可證Ic滿足定理7中條件2)～4).故可得I是模糊蘊涵.

易驗證I滿足命題2, 故可得I是模糊蘊涵, 其三維圖像如圖7所示.

推論5設I是式(13)表示的二元函數,I*=Ic, 則有:

1) 若?α∈A及?y∈|aα,bα|有cy≤aα, 則I是模糊蘊涵；

2) ?α∈A, 若當1?|aα,bα|時Iα滿足(CB), 則I是模糊蘊涵.

易驗證I1/2滿足推論5中1), 故可得I是模糊蘊涵, 其三維圖像如圖8所示.

圖7 例6中I的三維圖像Fig.7 Three dimensional image of I in example 6

圖8 例7中1)的I三維圖像Fig.8 Three dimensional image of I in 1) of example 7

易驗證I4/5滿足推論5中2), 故可得I是模糊蘊涵, 其三維圖像如圖9所示.

圖9 例7中3)的I三維圖像Fig.9 Three dimensional image of I in 3) of example 7

注31)I是式(12)定義的二元函數, 其中I*=Ic, 則有以下兩個結論：

① 若c=0, 則

由命題2可知I是模糊蘊涵.

② 若c=1, 則

由命題2可知, 若?α∈A,bα≤cα, 則I是模糊蘊涵.

2) 設I是式(13)定義的二元函數,I*=Ic, 則有以下兩個結論:

① 若c=0, 則

I是模糊蘊涵, 則推論5中1)即退化為定理2中2).

② 若c=1, 則

?α∈A, 若當bα<1時Iα滿足(CB), 則I是模糊蘊涵, 反之也成立, 即定理2中1).

綜上所述， 本文研究了一般模糊蘊涵作為單位正方形中給定子方形的下三角上給定一族模糊蘊涵線性變換補蘊涵的充要條件, 將已有的各類下三角序和蘊涵歸納到統(tǒng)一框架中, 并給出了模糊蘊涵下三角序和構造的一般形式.本文的序和構造方法從線性變換角度進一步推廣了文獻[21]中提出的第一種序和構造方法.