軒素玲, 周紅軍, 劉 妮
(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 西安 710119)
模糊蘊涵是模糊集理論中的一類主要邏輯連接詞, 在模糊數(shù)學(xué)的許多分支中具有重要作用, 如在模糊邏輯中作為蘊涵連接詞的語義解釋[1-2], 在模糊形態(tài)學(xué)中用于構(gòu)造模糊侵蝕算子[3-4], 在圖像處理中用于構(gòu)造圖像之間的相似性度量[5], 在模糊粗糙集理論中構(gòu)造上下近似算子[6-7], 在形式概念分析中導(dǎo)出Galois連接[8-9]等.模糊蘊涵的廣泛應(yīng)用和不確定性知識表示及其邏輯推理對模糊蘊涵模型的大量需求促進(jìn)了模糊蘊涵的快速發(fā)展, 其中新型模糊蘊涵模型的構(gòu)造及其刻畫是其中的研究熱點之一.根據(jù)不同的構(gòu)造方法, 模糊蘊涵主要分為五類: (S,N)-蘊涵、R-蘊涵、QL-蘊涵、Yager蘊涵以及序和模糊蘊涵[10-24].本文考慮模糊蘊涵的序和構(gòu)造.文獻(xiàn)[18]給出的序和模糊蘊涵分別借助IGD(G?del蘊涵)或IRS(Rescher蘊涵)作為單位正方形區(qū)域中給定子方形的下三角上的給定一族模糊蘊涵的線性變換的補(bǔ)蘊涵而構(gòu)造的.本文研究一般模糊蘊涵作為給定一族模糊蘊涵的線性變換的補(bǔ)蘊涵的充要條件, 并將現(xiàn)有的各類下三角上的序和蘊涵納入到統(tǒng)一框架中, 進(jìn)而給出模糊蘊涵下三角序和構(gòu)造的一般形式.
定義1[25]若對任意的x,y,z∈[0,1],I滿足下列條件:
1) 當(dāng)x≤y時,I(y,z)≤I(x,z);
2) 當(dāng)y≤z時,I(x,y)≤I(x,z);
3)I(0,0)=1;
4)I(1,1)=1;
5)I(1,0)=0.
則稱二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]為模糊蘊涵.
推論1[25]由定義1知, 任一模糊蘊涵I滿足下列性質(zhì), 分別稱為左邊界條件和右邊界條件:
(LB)I(0,y)=1,y∈[0,1];
(RB)I(x,1)=1,x∈[0,1].
例1[1]如下定義的二元函數(shù)I0,I1分別是點式序下最小與最大的模糊蘊涵:
表1列出了其他幾種常見的模糊蘊涵.
表1 常用的模糊蘊涵
定義2[25-27]設(shè)I是模糊蘊涵.
1) 若對任意的y∈[0,1],I(1,y)=y, 則稱I滿足左單位元性質(zhì)(簡稱(NP));
2) 若對任意的x,y∈[0,1],I(x,I(y,z))=I(y,I(x,z)), 則稱I滿足置換性質(zhì)(簡稱(EP));
3) 若對任意的x∈[0,1],I(x,x)=1, 則稱I滿足恒等性(簡稱(IP));
4) 若對任意的x,y∈[0,1],I(x,y)=1當(dāng)且僅當(dāng)x≤y, 則稱I滿足序性質(zhì)(簡稱(OP));
7) 若對任意的x,y∈[0,1],I(x,y)≥y, 則稱I滿足后件邊界條件(簡稱(CB));
注1設(shè)I是模糊蘊涵, 則下列性質(zhì)等價:
1)I滿足(CB);
2)I滿足(CB′), 即?y∈[0,1],I(1,y)≥y.
例2[23]定義二元函數(shù)Ic: [0,1]2→[0,1]為
其中c∈[0,1].易驗證Ic是模糊蘊涵; 當(dāng)c=0時,I0=IRS; 當(dāng)c=1時,I1=IGD.
下面介紹文獻(xiàn)[13,18]中給出的幾種下三角序和蘊涵, 其中|aα,bα|表示區(qū)間(aα,bα),(aα,bα],[aα,bα),[aα,bα]中的任意一個.關(guān)于模糊蘊涵的其他序和構(gòu)造方法可參見文獻(xiàn)[23].
定理1[13]設(shè){Iα}α∈A是一族模糊蘊涵, {[aα,bα]}α∈A是[0,1]的一族互不相交的閉子區(qū)間,aα
1) 按下式定義的二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊涵:
(1)
2) 按下式定義的二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊涵:
(2)
定理2[18]設(shè){Iα}α∈A是一族模糊蘊涵, {|aα,bα|}α∈A是[0,1]的一族互不相交的子區(qū)間, 且aα
1) 按下式定義的二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊涵的當(dāng)且僅當(dāng)1?|aα,bα|,α∈A時,Iα滿足(CB):
(3)
2) 按下式定義的二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊涵:
(4)
定義3設(shè)I*是任一模糊蘊涵, {Iα}α∈A是一族模糊蘊涵, {[aα,bα]}α∈A是(0,1)的一族互不相交的閉子區(qū)間, {[cα,dα]}α∈A是[0,1]一族閉子區(qū)間, 且aα
(5)
稱I是{Iα}α∈A的序和, 記I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,≥,I*)α∈A.
定理3式(5)定義的二元函數(shù)I是模糊蘊涵當(dāng)且僅當(dāng)I*滿足下列條件:
證明: 必要性.假設(shè)I是一個模糊蘊涵,α∈A.
1) ?y∈[aα,bα]及?x 因此I*滿足條件1). 同理可證I*滿足條件2)~4). 充分性.假設(shè)I*滿足條件1)~4), 則需證明I滿足定義1中條件1)~5). ① 設(shè)x1,x2,y∈[0,1]且x1 (i) 若?α∈A,y?[aα,bα], 由I*的單調(diào)性可得,I(x1,y)=I*(x1,y)≥I*(x2,y)=I(x2,y). (ii) 若?α∈A, 使得y∈[aα,bα], 則需討論以下4種情形: 若x1 I(x1,y)=I*(x1,y)≥I*(x2,y)=I(x2,y); 若x1 若y≤x1≤bα 若y≤x1 因此I滿足定義1中條件1). ② 設(shè)x,y1,y2∈[0,1]且y1 (i) 若?α∈A,x?[aα,bα], 則由I*的單調(diào)性可得,I(x,y1)=I*(x,y1)≤I*(x,y2)=I(x,y2). (ii) 若?α∈A, 使得x∈[aα,bα], 則需討論以下4種情形. 若x I(x,y1)=I*(x,y1)≤I*(x,y2)=I(x,y2); 若aα≤y1 若aα≤y1≤x