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        從“形”觀“數(shù)(shù)”,從“數(shù)(shǔ)”現(xiàn)“律”

        2020-05-28 02:28:54張玉平
        教育信息化論壇 2020年3期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)學(xué)生

        張玉平

        一、課前思考

        (一)從乘法的意義來看

        乘法的意義即“求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算”。 課改前,“5+5+5”必須寫成“5×3”,而“3+3+3+3+3”必須寫成“3×5”,遵循“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”。課改后,為降低教和學(xué)的難度而淡化了這部分要求,導(dǎo)致學(xué)生對乘法的意義理解模糊,“3×5”既可以表示5個3相加的和,也可以表示3個5相加的和。不講任何道理,違背學(xué)生認(rèn)識的常識,這樣的“模糊”以至于乘法交換律的教學(xué)顯得多余。教學(xué)中,我們還是應(yīng)對學(xué)生說明,這兩個算式表示不同的過程,但結(jié)果一樣。這樣也有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘和整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義:前者是整數(shù)思維,后者是分?jǐn)?shù)思維。如果當(dāng)學(xué)生對 ? ×3和3× ? 的意義尚且不清楚時,就輕易地說 ? ×3也可以寫成3× ? ,是不是太武斷了?

        乘法是加法的簡便運算,所以,加法有的運算律乘法自然也有。這需要我們在教學(xué)中打通加法運算定律和乘法運算定律之間的聯(lián)系:一是觀察上的相同,二是形式上的相同,三是敘述上的相同。此外,還要打通乘法交換律與結(jié)合律之間的聯(lián)系。如果把乘法結(jié)合律中先算的兩個數(shù)的積看作是一個新數(shù)的話,那么其本質(zhì)就是乘法交換律了。說得更明白點,就是:a×b×c=a×(b×c)。如果把b做標(biāo)準(zhǔn),它可以先與a乘,也可以先與c乘,這事實上就是a與c進行交換;同樣,a可以先與b乘,也可以先與c乘,這就是a與c交換;另外,c可以與b相乘,也可以先與a相乘,那么就是a與b進行了交換。

        (二)從學(xué)習(xí)心理學(xué)來看

        根據(jù)現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究,學(xué)生對加法、乘法的意義及其運算定律的理解,其本源在于“數(shù)數(shù)”的操作活動。因為運算定律不是“寫出來的”,也不是“算出來的”。非常遺憾的是,現(xiàn)在教材中提到交換律、結(jié)合律,就是讓學(xué)生用兩個數(shù)來驗證一下,然后要學(xué)生分組舉很多例子去歸納出規(guī)律成立,至于為什么可以交換,沒有從本源上說清道理?!皵?shù)數(shù)”這樣的基本數(shù)學(xué)活動要成為學(xué)生理解自然數(shù)運算規(guī)律的一把鑰匙。數(shù)形結(jié)合,主要是指數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來,通過抽象思維和形象思維的融合,使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的,讓思維可視。如,教學(xué)乘法交換律時,教師可以讓學(xué)生經(jīng)歷這樣四個過程:直觀表征→半直觀半抽象表征→模式表征→抽象表征。

        首先是用“數(shù)數(shù)”的操作活動,以及“豎著數(shù)”“橫著數(shù)”這樣的生活語言,說明“3×5=5×3”等式成立的合理性。另外,從這兩個算式的計算方法上看,我們用同樣的一句口訣“三五十五”,也就是說,我們以前歸納乘法口訣時已經(jīng)用上了乘法交換律。更為奇妙的是,我們觀察算式“3×5=5×3”,從前往后讀與從后往前讀是完全一樣的!接著,利用“面積模型”建構(gòu)等式:3×5=5×3,最后抽象為字母表達:a×b=b×a。

        這樣學(xué)生的認(rèn)識就是一個由淺入深的過程,也是一個不斷抵達數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程。因為運算律是運算的主要性質(zhì),反映了運算的規(guī)律性。學(xué)習(xí)運算律不僅是為了計算簡便,更為重要的是發(fā)展學(xué)生對于數(shù)與運算意義的理解,培養(yǎng)數(shù)學(xué)計算與學(xué)習(xí)的能力。小學(xué)數(shù)學(xué)運算律的教學(xué),應(yīng)基于數(shù)學(xué)本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生在“數(shù)數(shù)”的基本活動中體驗數(shù)學(xué)方法、感悟數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識體系的建構(gòu)。

        二、課堂實踐

        (一)談話導(dǎo)入

        1. 回憶:上節(jié)課學(xué)的加法定律,用字母表示。

        加法交換律:兩個數(shù)相加,交換加數(shù)位置,和不變,即a+b=b+a.

        加法結(jié)合律:三個數(shù)相加,先加前面兩個數(shù)或先加后兩個數(shù),和不變,即a+b+c=a+(b+c).

        2.猜想:既然乘法是加法的簡便運算,那么在乘法中是否也會存在如此的運算定律?這是我們今天學(xué)習(xí)的課題:乘法交換律、乘法結(jié)合律。

        (二)重點突破

        同學(xué)們分成3組踢毽子,每組5人,一共有多少人在踢毽子?

        1.如果孩子們是在操場上排隊進行比賽,你能用圖表示出來嗎?

        2.引導(dǎo)學(xué)生畫出長方形圖。

        兩種不同的“數(shù)數(shù)”方法:

        豎著數(shù)有5個3,是3×5=15

        橫著數(shù)有3個5,是5×3=15

        乘法口訣都是“三五十五”

        說明:“數(shù)數(shù)”的方法與過程不同,但是結(jié)果是相同的。

        3.觀察上面的兩個算式:都是兩個數(shù)相乘,而積卻不變,變化的是什么?由此我們可以得到什么等式?

        兩個數(shù)相乘,交換乘數(shù)的位置,積不變,3×5=5×3。

        4.轉(zhuǎn)化為用長方形面積的模型及字母表示乘法交換律。

        5.比較加法交換律與乘法交換律,然后猜想乘法結(jié)合律。

        加法交換律:兩個數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,和不變,即a+b=b+a.

        乘法交換律:兩個數(shù)相乘,交換乘數(shù)的位置,積不變,即a×b=b×a.

        引導(dǎo)推想:

        加法結(jié)合律:三個數(shù)相加,先加前兩個數(shù)或先加后兩個數(shù),和不變,即a+b+c=a+(b+c).

        乘法結(jié)合律:三個數(shù)相乘,先乘前兩個數(shù)或先乘后兩個數(shù),積不變,即a×b×c=a×(b×c).

        (三)自主探究

        華豐小學(xué)舉行跳繩比賽,規(guī)定每個班選派4人參加,四、五、六年級分別有5個班,四、五、六年級一共要選派多少人參加比賽?

        1.把題中的條件填在方格圖中。(教師分步畫,然后讓學(xué)生思考每一步表示什么意思)

        2.列出兩個綜合算式并計算。

        3.根據(jù)結(jié)果寫出等式。

        4.比較兩個算式計算的簡便性。

        (四)求通求聯(lián)

        乘法交換律和乘法結(jié)合律的聯(lián)系:

        如果把第二個數(shù)b做標(biāo)準(zhǔn),它既可以先乘a,也可以先乘c,積不變,那它的實質(zhì)就是a與c兩個乘數(shù)交換了位置,即a×b×c=c×b×a。其他也都可以這么思考。如,從積不變的規(guī)律的角度思考: 如果把兩個數(shù)相乘的積看作一個數(shù)的話,那么相乘的數(shù)一定相同(如右圖)。還可以辨析思考:減法和除法會有以上的運算定律嗎?

        (責(zé)任編輯:奚春皓)

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