王新剛

摘要：數(shù)學(xué)不只是理性的抽象思維，也需要“感性的能動(dòng)實(shí)踐”，使數(shù)學(xué)邏輯與認(rèn)知機(jī)理得以融通，彼此契合與關(guān)照。以數(shù)學(xué)的審美承載、導(dǎo)引、觀照教學(xué)的變革，不僅可以讓數(shù)學(xué)本然的審美屬性得以彰顯，更可以豐滿教學(xué)的進(jìn)程，使數(shù)學(xué)教學(xué)得以完善、完整與完美，讓數(shù)學(xué)教學(xué)具有審美的靈魂，煥發(fā)積極的形態(tài)。數(shù)學(xué)的審美實(shí)踐增強(qiáng)了學(xué)生的感官體驗(yàn)，有利于他們理解的深刻、精神的愉悅、靈動(dòng)的創(chuàng)造、思維的進(jìn)化。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)審美;教學(xué)重構(gòu);數(shù)學(xué)品質(zhì)

“數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、對(duì)稱性、簡(jiǎn)潔性以及在證明過(guò)程中的想象和直覺(jué)都給創(chuàng)造者提供了高度的美學(xué)上的滿足”[1]，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要使命。數(shù)學(xué)的本質(zhì)不止于“真”，也蘊(yùn)含著豐富的審美內(nèi)涵，需要“理性的感性顯現(xiàn)”。無(wú)論是數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，還是人的本能天性，都有著唯美本性[2]。如果將數(shù)學(xué)的理性絕對(duì)化，就會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)理性統(tǒng)治學(xué)習(xí)，人的本質(zhì)力量就無(wú)法舒展，思維就會(huì)固化、僵化、鈍化。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓數(shù)學(xué)的理性得以審美化的呈現(xiàn)，使學(xué)生以愉悅的方式理解數(shù)學(xué)的深刻性。通過(guò)這樣的路徑，改變數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)于知識(shí)化的傾向，從數(shù)學(xué)教學(xué)走向數(shù)學(xué)教育。

一、注重發(fā)掘、彰顯數(shù)學(xué)的審美品質(zhì)

數(shù)學(xué)豐富而多元的審美元素，賦予其獨(dú)特的氣質(zhì)魅力。審美不是數(shù)學(xué)的附屬品，而是數(shù)學(xué)的本然品性和本質(zhì)內(nèi)涵。它既能提升數(shù)學(xué)認(rèn)知的美感，更能促進(jìn)數(shù)學(xué)理解、思維與應(yīng)用能力的發(fā)展。因此，要注重對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容審美元素的發(fā)掘、呈現(xiàn)、利用、體驗(yàn)、鑒賞，充實(shí)知識(shí)內(nèi)容，豐富表現(xiàn)形式。

（一）挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的形式之美

數(shù)學(xué)是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)形式使得數(shù)學(xué)具有鮮明而獨(dú)特、豐富而顯著的審美基因，彰顯出數(shù)學(xué)特有的知識(shí)之美。比如，等差數(shù)列、等積變形等數(shù)學(xué)的形式之美，數(shù)學(xué)公式、規(guī)律規(guī)則、運(yùn)算定律的簡(jiǎn)潔之美，軸對(duì)稱圖形、等式與方程中的對(duì)稱之美，黃金分割原理中的和諧之美，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的創(chuàng)造之美、生活之美……這些都可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心、探究欲，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力;促進(jìn)學(xué)生準(zhǔn)確凝練地表達(dá)，合乎邏輯地思考;發(fā)展學(xué)生的抽象概括意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的簡(jiǎn)約性、條理性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)感、空間感、美感的發(fā)展。

（二）挖掘策略方法的藝術(shù)之美

數(shù)學(xué)的策略與方法，可以化抽象為生動(dòng)形象，變深?yuàn)W為通俗易懂，給人以形象的視覺(jué)美感。比如，數(shù)形結(jié)合、列表整理、畫(huà)圖策略，呈現(xiàn)出知識(shí)的直觀形象;概念、定理、公式中的趣味情境、數(shù)量關(guān)系、內(nèi)在規(guī)律，能賦予數(shù)學(xué)知識(shí)以故事情節(jié)，營(yíng)造出畫(huà)面感，產(chǎn)生一種愉悅的認(rèn)知心理。此外，教師可以針對(duì)數(shù)與代數(shù)、幾何與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率等不同板塊知識(shí)的特點(diǎn)，研究呈現(xiàn)方式的審美化，創(chuàng)造出多樣的美感形式。如借助直觀形象、生動(dòng)有趣的繪本，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的故事性;擇機(jī)利用游戲的真實(shí)體驗(yàn)、活動(dòng)趣味，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的體驗(yàn)感;科學(xué)使用思維導(dǎo)圖的路徑導(dǎo)引，呈現(xiàn)思維的邏輯性;等等。由此，讓學(xué)生深刻理解數(shù)量關(guān)系、空間形式，感受?chē)?yán)絲合縫，洞察變化奧妙，體會(huì)妙趣橫生，領(lǐng)略數(shù)學(xué)知識(shí)的環(huán)環(huán)相扣，抽象梯度的層層遞進(jìn)。

（三）挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)的價(jià)值之美

符號(hào)化、形式化的數(shù)學(xué)表達(dá)，除了可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔清晰、準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)、秩序井然，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的重要價(jià)值之外，還能不斷地從不自覺(jué)地進(jìn)行概括化的心理過(guò)程發(fā)展到自覺(jué)地進(jìn)行概括化[3]，促發(fā)直覺(jué)與頓悟，不斷提升抽象思維能力，孕育數(shù)學(xué)思想方法，從而學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的思考”。尤為重要的是，無(wú)論是數(shù)學(xué)本身，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，一旦達(dá)到了一定高度，就要依靠數(shù)學(xué)的抽象來(lái)實(shí)現(xiàn)突破與發(fā)展，這是更為本質(zhì)、更具價(jià)值的數(shù)學(xué)之美。比如，有了“極限”“無(wú)窮”“無(wú)限”這些理想化概念才得以解釋數(shù)學(xué)上的悖論，消除數(shù)學(xué)上的危機(jī)[4]。諸如“整體可以等于其部分”“長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形”“線段的長(zhǎng)是點(diǎn)的集合”“面是沒(méi)有厚度的”等疑難，也就能抽象理解了。

（四）挖掘數(shù)學(xué)經(jīng)典的文化之美

數(shù)學(xué)伴隨著人類(lèi)歷史而發(fā)展，形成了濃郁的數(shù)學(xué)文化，積淀了經(jīng)典的數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)事件、數(shù)學(xué)名人故事，以及蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)智慧、數(shù)學(xué)精神等，這些也理應(yīng)是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教師一要利用經(jīng)典名題，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)成就，追溯知識(shí)的本源。比如，通過(guò)圓周率的計(jì)算、《周髀算經(jīng)》中的“周三徑一”等數(shù)學(xué)經(jīng)典，讓學(xué)生體會(huì)我國(guó)悠久的數(shù)學(xué)歷史、深厚的文化底蘊(yùn)。二要結(jié)合數(shù)學(xué)的發(fā)展史，讓學(xué)生“知其然并知其所以然”。比如，在圓面積計(jì)算推導(dǎo)過(guò)程中，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生了解中外數(shù)學(xué)家運(yùn)用圓內(nèi)接正多邊形、無(wú)窮分割法的研究，使其感受數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的歷程之美。三要在教學(xué)中穿插不同領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)應(yīng)用成果，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。比如，結(jié)合馬路上的窨井蓋為什么是圓形的，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展三角形、正方形、圓形的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，從而促進(jìn)他們對(duì)圓形特征的深刻認(rèn)識(shí)，體會(huì)實(shí)用功能與審美價(jià)值的和諧統(tǒng)一。四要倡導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)經(jīng)典語(yǔ)錄，感受古人名家的思想成果、人文精神，涵養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科精神，讓人文教育在理性的數(shù)學(xué)土壤中生根開(kāi)花。比如通過(guò)“一切平面圖形中圓是最美的”數(shù)學(xué)經(jīng)典語(yǔ)錄，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)圖形之美，激發(fā)他們對(duì)圓的學(xué)習(xí)興趣。

二、科學(xué)融通，呼應(yīng)數(shù)學(xué)理性的審美觀照

數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)眾多學(xué)科領(lǐng)域產(chǎn)生了重大影響，同時(shí)，數(shù)學(xué)又與其他學(xué)科領(lǐng)域互鑒互學(xué)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的深入發(fā)展。此外，數(shù)學(xué)邏輯與認(rèn)知機(jī)理之間也是需要不斷交融的，既有“同化”，也有“順應(yīng)”。由此可見(jiàn)，無(wú)論是數(shù)學(xué)的發(fā)展，還是數(shù)學(xué)認(rèn)知的發(fā)展，都需要科學(xué)地融通，這種融通正是一種審美的觀照。

（一）呼應(yīng)整體，實(shí)現(xiàn)學(xué)科互鑒

數(shù)學(xué)，有著悠久的發(fā)展史，古希臘學(xué)者視其為哲學(xué)之起點(diǎn)，在中國(guó)古代是“六藝”之一。同時(shí)，數(shù)學(xué)又廣泛應(yīng)用于科學(xué)、醫(yī)學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，被稱之為應(yīng)用數(shù)學(xué)，因而數(shù)學(xué)從未脫離其他科學(xué)而獨(dú)立存在，緊密地聯(lián)系著其他學(xué)科領(lǐng)域。此外，從一個(gè)完整的人的培養(yǎng)角度，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該局限于知識(shí)的學(xué)習(xí)，還應(yīng)該滲透一些諸如哲學(xué)、美學(xué)、建筑學(xué)、工程學(xué)等方面的知識(shí)、方法與思想，這樣，人的思維方式和知識(shí)結(jié)構(gòu)才是完整的、科學(xué)的。如教師可以結(jié)合建筑設(shè)計(jì)美學(xué)，以天壇等圓形建筑引入圓的認(rèn)識(shí)，結(jié)合三角形的建筑設(shè)計(jì)來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)三角形等，引發(fā)課堂的哲學(xué)思考，開(kāi)展審美鑒賞，發(fā)展學(xué)生的辯證思維，使其感受世界的奧妙、生活的美好及人類(lèi)智慧的光芒。

（二）呼應(yīng)兒童，融入生命映照

數(shù)學(xué)教學(xué)要依據(jù)兒童的特點(diǎn)與需求，科學(xué)合理地運(yùn)用兒童元素，呼應(yīng)兒童的認(rèn)知方式與學(xué)習(xí)情緒，提升數(shù)學(xué)教學(xué)的童趣性、形象性與理解性。一是利用兒童元素來(lái)表征知識(shí)，如用5個(gè)氣球來(lái)表示加數(shù)5，將兩行玩具進(jìn)行移多補(bǔ)少，等等，使得教學(xué)更貼近學(xué)生生活，有效促進(jìn)學(xué)生的理解與思考。二是可用猜謎、游戲、實(shí)驗(yàn)等兒童喜聞樂(lè)見(jiàn)的活動(dòng)方式來(lái)開(kāi)展認(rèn)知教學(xué)。如在教學(xué)可能性時(shí)，采用擲骰子的游戲化教學(xué)方式，讓學(xué)生迅速投入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，引發(fā)學(xué)生對(duì)可能性的思考。三是利用兒童心理培養(yǎng)學(xué)習(xí)情緒，降低因數(shù)學(xué)抽象帶給學(xué)生的壓迫感。如圓形會(huì)讓兒童產(chǎn)生圓滿美好的感覺(jué)，波浪線使兒童感到歡快愉悅，圖文并茂能避免密集數(shù)字產(chǎn)生的煩躁情緒等。

（三）呼應(yīng)倫理，契合數(shù)理人情

客觀的數(shù)學(xué)知識(shí)，有了入心的觀照，自然就能形成有效的認(rèn)知建構(gòu)，數(shù)學(xué)才會(huì)有課程的生命形態(tài)與美的靈魂，否則只是一種物的存在，這是數(shù)學(xué)的一種倫理。呼應(yīng)了這種數(shù)學(xué)倫理，才能實(shí)現(xiàn)情與知的融合、數(shù)理與人性的吻合，才能有體驗(yàn)的真實(shí)、切己與美感。教師在教學(xué)中要遵循知識(shí)梯度與學(xué)習(xí)層次的契合原則，以“分?jǐn)?shù)的意義”為例，從“把一個(gè)物體（平面圖形）平均分”，到“把一個(gè)整體平均分”，再到“把單位‘1平均分抽象出分?jǐn)?shù)的意義”，三個(gè)層級(jí)梯度，吻合了學(xué)生抽象思維發(fā)展的三個(gè)層次，從簡(jiǎn)約化到符號(hào)化再到普適化，反映出一種層次結(jié)構(gòu)之美。以最典型的“數(shù)形結(jié)合”為例，時(shí)而以數(shù)解形，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，時(shí)而以形助數(shù)，使抽象問(wèn)題具體化。既要反復(fù)回到具體形象，又要不斷超越形象進(jìn)行抽象概括，二者不斷交織，雙向流淌，折射出一種對(duì)立統(tǒng)一之美。

三、走向重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的審美創(chuàng)造

數(shù)學(xué)并非只是一個(gè)靜止的、固化的知識(shí)堆砌、符號(hào)集結(jié)與邏輯體系，而是一個(gè)不斷加工重構(gòu)，充滿靈動(dòng)創(chuàng)造的生命形態(tài)。這種靈動(dòng)生命形態(tài)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)自身地不斷發(fā)展，人的思維方式地不斷進(jìn)化，還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)文化的不斷積淀、升華，這既是一種審美創(chuàng)造，也是一種科學(xué)重構(gòu)。

（一）數(shù)學(xué)知識(shí)的重構(gòu)

教師要傳授知識(shí)，首先要自身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行再學(xué)習(xí)、再加工，深刻理解、精準(zhǔn)把握。這既是數(shù)學(xué)知識(shí)生本化的改造過(guò)程，也是重新建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。如此，才能正確導(dǎo)引學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知。教師在教學(xué)中可以重構(gòu)例題加強(qiáng)知識(shí)的整合，重構(gòu)情境賦予知識(shí)以表征形式，重構(gòu)閱讀強(qiáng)化學(xué)生的自主解讀，重構(gòu)作業(yè)提高適切性與實(shí)效性。

“重構(gòu)例題”，是指抓住關(guān)聯(lián)度高、抽象度強(qiáng)的核心知識(shí)，從一道例題的學(xué)習(xí)拓展到一類(lèi)問(wèn)題、一個(gè)單元的學(xué)習(xí)，觸類(lèi)旁通，使例題具有單元結(jié)構(gòu)的張力。同時(shí)，以例題串聯(lián)各相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用“問(wèn)題群”將舊知與新知關(guān)聯(lián)，深刻理解知識(shí)的內(nèi)涵與外延，不斷建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，以簡(jiǎn)馭博，彰顯出數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔化、結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)狀化的本質(zhì)。“重構(gòu)情境”通過(guò)綜合知識(shí)的本源背景、發(fā)展軌跡、故事場(chǎng)景重構(gòu)學(xué)習(xí)情境，促進(jìn)教學(xué)組織方式的變革，綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法、策略，使教學(xué)更加多元、多樣，具有審美韻味?！爸貥?gòu)閱讀”以數(shù)學(xué)閱讀豐富學(xué)生感知、拓寬視野，突破課堂教學(xué)的局限性，促使學(xué)生主動(dòng)去收集信息與數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題，這樣可以在數(shù)學(xué)知識(shí)中融入學(xué)生的觀念、情感、發(fā)現(xiàn)、想象與創(chuàng)造，使得數(shù)學(xué)知識(shí)不再是一種生硬的符號(hào)形式，具有了趣味、情感與美感，正如克乃夫·貝爾提出的“有意味的形式”[5]?！爸貥?gòu)作業(yè)”，則需打破數(shù)學(xué)理性統(tǒng)治，確立數(shù)學(xué)理性、數(shù)學(xué)審美、兒童呼應(yīng)“三合一”的作業(yè)設(shè)計(jì)理念，提升作業(yè)的童趣性、形象性與理解性，改變作業(yè)就是做題的固有思維。倡導(dǎo)“題不止于題”，突破知識(shí)層面，注重解決策略、辯證思維、想象創(chuàng)造，融入審美鑒賞、哲理分析等，以作業(yè)為載體開(kāi)展無(wú)邊界學(xué)習(xí)，讓作業(yè)成為梳理知識(shí)、活化知識(shí)、鑒賞數(shù)學(xué)美的載體。

（二）數(shù)學(xué)文化的重構(gòu)

不同人的數(shù)學(xué)理解和審美體驗(yàn)是不同的，不同的時(shí)期，人們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和審美體驗(yàn)也不盡相同。這些不同的理解與美感，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美、美“人”之美，也造就了數(shù)學(xué)發(fā)展的豐富性與多元化。但這些“各美其美”中，又總能找到“美美與共”，傳承經(jīng)典，創(chuàng)新發(fā)展，這就數(shù)學(xué)文化的魅力。無(wú)論是數(shù)學(xué)教學(xué)，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，只有走向文化，才能成為真正的數(shù)學(xué)教育。具體體現(xiàn)為：一是通過(guò)數(shù)學(xué)目標(biāo)內(nèi)容、知識(shí)結(jié)構(gòu)及應(yīng)用價(jià)值的審美創(chuàng)造，不斷完善、促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想價(jià)值的體系化，并以此指導(dǎo)、促進(jìn)數(shù)學(xué)教與學(xué)行為方式的改進(jìn)，創(chuàng)造出更加豐富的數(shù)學(xué)成果。二是借鑒、運(yùn)用數(shù)學(xué)的理論指導(dǎo)與思維方法，將數(shù)學(xué)與生產(chǎn)生活相結(jié)合，廣泛開(kāi)展各領(lǐng)域的數(shù)學(xué)應(yīng)用，不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用與發(fā)展，不斷深化數(shù)學(xué)的研究與創(chuàng)造，提高生產(chǎn)力，提升生活品質(zhì)。三是傳承經(jīng)典，弘揚(yáng)學(xué)術(shù)精神、人文品格，汲取精神營(yíng)養(yǎng)與數(shù)學(xué)智慧，導(dǎo)引自身的客觀實(shí)踐、精神世界、思維方式與理想追求，不斷提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，豐滿精神世界，確立正確的世界觀、人生觀與價(jià)值觀，推動(dòng)數(shù)學(xué)的人文化進(jìn)程。

數(shù)學(xué)與審美，既有互以為用的哲思理學(xué)，也有動(dòng)靜相宜、虛實(shí)相生的道家智慧。這種本然的契合與彼此的觀照，讓教育避免了極端的功利性，回歸教育的本真，彰顯出人性之美、教育之美，讓數(shù)學(xué)教學(xué)走向數(shù)學(xué)教育。從某種意義上來(lái)說(shuō)，這正是一種教育的至善。

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責(zé)任編輯：顏瑩