學馬進

一、不等式復習預測

不等式是中學數(shù)學的基礎和重要部分，是高等數(shù)學的重要工具，它可以滲透到中學數(shù)學的很多章節(jié)，加之它在實際生活中的廣泛應用，決定了它將是永不衰退的高考熱點.

主要內容有線性規(guī)劃、基本不等式、不等式的性質、不等式的證明、不等式的解法、含絕對值的不等式以及不等式的應用，考查的基本數(shù)學方法和數(shù)學思想主要有：比較法、分析法、綜合法和等價轉化、分類討論的數(shù)學思想.

在題型方面選擇題、填空題和解答題均有可能，選擇題、填空題中?？疾椴坏仁降男再|、比較大小、解簡單的不等式及不等式的簡單應用;在解答題中，主要考查：解不等式（特別是對含參數(shù)的不等式進行分類討論）、不等式在實際生活中的應用、用不等式研究函數(shù)性質、方程根的討論.從難度上看，基礎題、中檔題、高檔題均有可能在考題中出現(xiàn).

在考查基礎知識的同時，將會考查考生的數(shù)學能力，特別是邏輯推理能力.命題時往往將不等式與集合、函數(shù)等綜合出題，這類問題立意新穎，抽象程度高，能很好地考查考生的輯推理能力和數(shù)學運算能力.

從高考內容上來看，不等關系、不等式的性質及應用、一元二次不等式的解法及三個二次間的關系問題、求二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的面積問題、求目標函數(shù)的最值及簡單的線性規(guī)劃實際應用問題、利用基本不等式求最值問題是命題的熱點.

著重突出考查對不等式性質的靈活運用、二次不等式的解法、平面區(qū)域的畫法及目標函數(shù)最值.客觀題突出變形的靈活性，主觀題在考查基本運算能力的同時又著重考查數(shù)形結合思想、化歸轉化思想、分類討論思想的應用，有時與充要性的判斷交匯命題.

二、不等式預測題解析

題型一：不等式與集合

例1.已知集合A={ x|1≤2x<8}，B={ x | ■

A.（-1， 3）????? B. [0， 3）????? C. [0， 2]????? D.（-1， 2]

【分析】本題主要考查集合的運算、解對數(shù)不等式、指數(shù)不等式，考查考生化歸與轉化能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.

【解析】由1≤2x<8，得0≤x<3，所以A={ x|0≤x<3}.

又■

所以A∩B = [0， 2]，故選C.

【變式】已知集合A={ x| x2-2x-3<0}，B={ x | ■≤1 }，則A∩（CR B）=________.

【解析】由x2-2x-3<0，得 -1

又■≤1，得x≥4或x<0，所以B={ x | x≥4或x<0}，

所以A∩（CR B）=（0， 3].

【點評】解決此類題的關鍵一是化簡集合，如本題中通過解一元二次不等式、分式不等式、對數(shù)不等式和指數(shù)不等式達到化簡集合的目的;二是借形解題，有關集合之間的補集、交集、并集問題，需對集合相關概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，通過觀察集合之間的關系，借助數(shù)軸尋找元素之間的關系，使問題直觀準確地得到解決.

題型二：線性規(guī)劃

例2.設z=2y-2x，式中x，y滿足條件0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，求z的最大值和最小值.

【分析】本題主要考查線性規(guī)劃問題，考查考生的運算求解能力以及數(shù)形結合能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算、直觀想象.

【解析】作出滿足條件的可行域.作直線l：y=x+■（如圖）.

當直線l過點A（0， 2）時，z取得最大值;當直線l過點B（1， 1）時，z取得最小值;∴ zmax=2×2-2×0=4;zmin=2×1-2×1=0.

【變式】已知實數(shù)x，y滿足0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，若不等式（a-1） x- y+a-1≥0恒成立，則實數(shù)a的最小值是_________.

【解析】不等式（a-1）x-y+a-1≥0恒成立，即a≥■+1恒成立 .

由圖可知，■≤■≤1，所以a≥2，

所以要使得不等式（a-1）x-y+a-1≥0恒成立，實數(shù)a的最小值是2.

【點評】作二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的方法：直線定邊界，分清虛實;選點定區(qū)域（常選坐標原點）.求線性目標函數(shù)的最值的一般步驟：一畫、二移、三求，關鍵是準確作出可行域，準確理解目標函數(shù)的幾何意義.

題型三：不等式選講

例3.已知關于x的不等式 | 2x-1| + |3x-8|≤6的解集為

{ x|m≤x≤n}.

（1）求m+n的值;

（2）求■+■的最大值.

【分析】本題考查絕對值不等式的解法、不等式恒成立問題、基本不等式，考查運算求解能力、分類討論思想等，考察的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算等

【解析】當x <■時，不等式即為 -（2x-1）-（3x-8）≤6，解得x≥■，矛盾;

當■≤x ≤■時，不等式即為（2x-1）-（3x-8）≤6，解得x≥1，所以1≤x ≤■;

當x >■時，不等式即為（2x-1）+（3x-8）≤6，解得x≤3，所以■≤x ≤3.

所以，實數(shù)x的取值范圍是1≤x ≤3，即m+n的值為4 .

（2）由（1）知，m=1，n=3，

所以■+■=■+■≤2■=2■，

當且僅當12-3t=3t，即t=2時，取“=”，

綜上，■+■的最大值為2■.

【變式】對任意實數(shù)m，不等式 | m-3 | + | 2m+1|≥ | 2x-1 | +

| x+2 |? 恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

【解析】設f（m）= | m-3| + |2m+1|，即f（m）=

-3m+2， m<-■m+4， -■≤m≤33m-2，? m>3

所以f（m）的最小值為■，所以 | 2x-1| + | 3x-8 |≤■.

當x<-2時，不等式即為 -（2x-1）-（x+2）≤■，解得x ≥ -■，矛盾;

當 -2≤x≤■時，不等式即為 -（2x-1）+（x+2）≤■，解得x ≥-■，所以 -■≤x≤■;

當x >■時，不等式即為（2x-1）+（x+2）≤■，解得x ≤■，所以■

綜上，實數(shù)x 的取值范圍是 -■

【點評】利用零點分段法解含絕對值不等式以及不等式恒成問恒成立問題的轉化，利用基本不等式求函數(shù)的最值.

線性規(guī)劃、解一元二次不等式、指對數(shù)不等式、分式不等式、絕對值不等式及恒成立問題是高考的熱點.備考時應熟練掌握用圖象法求解一元二次不等式的步驟，理解分式不等式轉化為一元二次不等式的等價過程，能利用函數(shù)單調性解指對數(shù)不等式，會利用分離變量法來處理恒成立問題，熟練掌握分類討論的思想解決含絕對值的不等式.

責任編輯 徐國堅