高慧明

1.已知集合A={1， 2， 3}，B={x | （x+1）（x-2）≤0}，則A∩B 等于（）

A.{1}

B.{1， 2}

C.{0， 1， 2， 3}

D.{-1， 0， 1， 2， 3}

2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（1， -2），i為虛數(shù)單位，則■=（）

A. -1-iB. 1+iC. 1-■iD. 1+■i

3.命題“？坌x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）

A. 不存在x0∈R，x03-x02+1≤0

B. ？堝x0∈R，x03-x02+1≥0

C. ？堝x0∈R，x03-x02+1>0

D. ？坌x∈R，x3-x2+1>0

4.已知向量■=（4， -1），■=（-5， 2），且（■+■）∥（m■-■），則實(shí)數(shù)m=（）

A. 1B. -1 C. ■D. -■

5.已知a=21.2，b=（■）-0.8，c=2log52，則a， b， c的大小關(guān)系為（）

A. c

6.數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長四尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等. 如圖，是源于其思想的一個(gè)程序框圖. 若輸入的a，b分別為8，2，則輸出的 n=（）

A. 2B. 3

C. 4D. 5

7.在△ABC中，角A， B， C的對(duì)邊分別為a， b， c，若A=30°，b2=2ac，則■=（）

A. 1B. 2

C. ■? D. ■

8.在區(qū)間[-■，■]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則sin2x的值介于0到■之間的概率為（）

A. ■? B. ■C. ■D. ■

9. 已知直線y=kx（k≠0）與雙曲線■-■=1（a>0，b>0）交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F，若△ABF的面積為4a2，則雙曲線的離心率為（）

A. ■ B. ■C. 2 D. ■

10. 設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D，如果存在正實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意x∈D，都有f（x+m）>f（x），則稱f（x）為D上的“m型增函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x-a-a（a∈R）. 若f（x）為R上的“20型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A. a>0 B. a<5 C. a<10 D. a<20

11. 已知過球面上三點(diǎn)A， B， C的截面到球心距離等于球半徑的一半，且AC=BC=6，AB=4，則球面面積為（）

A. 42？仔 B. 48？仔C. 54？仔D. 60？仔

12. 已知直線l ∶ y=-2x-m（m>0）與圓C ∶x2+y2-2x-2y-23=0，直線l與圓C相交于不同兩點(diǎn)M，N. 若■≤2■+■，則m的取值范圍是（）

A.[■， 5 ） B.[2， 5■-3）

C.（5， 5■） D.（■， 2）

13. 函數(shù)y=■的圖像在x=1處的切線方程是_________.

14. 已知x， y滿足不等式組x≥1，x-2y+3≥0，y≥x，則z=x+y的最小值等于__________.

15. 若f（x）=lgx，x>0ax+b，x≤0 f（0）=2，f（-1）=4，則f（f（-2））=___________.

16. 如圖所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ABC=120°，四邊形BCC1B1為正方形，且AB=BC=2，則異面直線BC1與AC所成角的余弦值為__________.

17. 已知{an}是等差數(shù)列， {bn}是等比數(shù)列，且b2=2，b5=16，a1=2b1，a3=b4 .

（1）求{bn}的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

18. 已知某單位全體員工年齡頻率分布表為：

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，該單位35歲以下的青年職工中，男職工和女職工人數(shù)相等，且男職工的年齡頻率分布直方圖和如下：

（1）求a;

（2）求該單位男女職工的比例;

（3）若從年齡在[25， 30）歲的職工中隨機(jī)抽取兩人參加某項(xiàng)活動(dòng)，求恰好抽取一名男職工和一名女職工的概率.

19. 三棱柱ABC-A1B1C1被平面A1B1C截去一部分后得到如圖所示幾何體，BB1⊥平面ABC，∠ABC=90°，BC=BB1，E為棱B1C上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），平面ABE交A1C于點(diǎn)F.

（1）求證：AB⊥平面B1BC;

（2）求證：EF∥AB;

（3）試問是否存在點(diǎn)E，使得平面ABE⊥平面A1B1C，并說明理由.

20. 已知點(diǎn)M（x0， y0）為橢圓C ∶■+y2=1上任意一點(diǎn)，直線l ∶? x0x+2y0y=2與圓（x-1）2+y2=6交于A， B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn).

（1）求橢圓C的離心率及左焦點(diǎn)F的坐標(biāo);

（2）求證：直線l與橢圓C相切;

（3）判斷∠AFB是否為定值，并說明理由.

21. 已知函數(shù)f（x）=2xlnx-x-■+2.

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程;

（2）求證：（x-1）f（x）≥0.

22. [選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=2+■t，y=2■+■t（t為參數(shù)）. 曲線C的方程為x2-2x+y2=0. 以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求直線l的普通方程與曲線C的極坐標(biāo)方程;

（2）直線m ∶? x-y+2■-2=0與直線l交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是曲線C上一點(diǎn)，求△AOB面積的最大值.

23. 已知函數(shù)f（x）=x-2+x+a，a∈R.

（1）若a=1，解不等式f（x）+x>0;

（2）對(duì)任意x∈R，f（x）≤3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

1. 答案及解析：

答案：B

解析：∵集合A={1， 2， 3}，B={x│（x+1）（x-2）≤0}={x│-1≤x≤2}，

∴ A∩B={1， 2}. 故選B.

2. 答案及解析：

答案：D

解析：■=■=1+■i，故選D.

3. 答案及解析：

答案：C

解析：由全稱命題的否定是特稱命題可得命題？坌x∈R，x3-x2+1≤0的否定是“？堝x0∈R，x03-x02+1>0”，故選C.

4. 答案及解析：

答案：B

解析：易知■+■=（-1，1），m■-■=m（4，-1）-（-5，2）=（4m+5，-m-2），因?yàn)椋ā?■）∥（m■-■），所以（-1）×（-m-2）-1×（4m+5）=0，解得：m=-1，故選B.

5. 答案及解析：

答案：A

解析：∵ a=21.2>2，b=（■）-0.8=20.8<21=2，c=log 5 4

∴ c

6. 答案及解析：

答案：D

解析：輸入的a， b分別為8， 2， n=1，

第一次執(zhí)行循環(huán)體后a=12，b=4不滿足退出循環(huán)的條件，

第二次執(zhí)行循環(huán)體后n=2， a=18， b=8，不滿足退出循環(huán)的條件，

第三次執(zhí)行循環(huán)體后n=3， a=27， b=16，不滿足退出循環(huán)的條件，

第四次執(zhí)行循環(huán)體后n=4， a=■， b=32，不滿足退出循環(huán)的條件，

第五次執(zhí)行循環(huán)體后n=5， a=■， b=64，滿足退出循環(huán)的條件，

故輸出的n=5，故選D.

7. 答案及解析：

答案：A

解析：因?yàn)閎2=2ac，由正弦定理，得sin2B=2sinAsinC=2sin30°sinC=sinC，所以■=■=1，

故選A.

8. 答案及解析：

答案：D

解析：所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長度為■-（-■）=■，由0≤sin2x≤■，解得：0≤2x≤■，則0≤x≤■，所以由幾何概型的概率公式得sin2x的值介于0到■之間的概率為P=■=■，

故選：D.

9. 答案及解析：

答案：D

解析：由題意可得圖像如圖所示：F′為雙曲線的左焦點(diǎn).

∵ AB為圓的直徑，

∴∠AFB=90°.

根據(jù)雙曲線、圓的對(duì)稱性可知：四邊形AFBF′為矩形，

∴ S△ABF =■SAFBF ′=S△FBF ′.

又S△FBF ′=■=b2=4a2，可得：c2=5a2.

∴ e2=5？圯e=■. 故選D.

10. 答案及解析：

答案：B

解析：若a≤0：當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x-a-a=x= x，

又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（x）=x，符合題意;

若a>0，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x-a-a=-x， 0

又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，根據(jù)題意可知f（x+20）>f（x）對(duì)于任意x∈R恒成立，∴問題等價(jià)于將f（x）的圖像向左平移20個(gè)單位后得到的新的函數(shù)f（x+20）圖像恒在f（x）圖像上方，可知4a<20，即0

11. 答案及解析：

答案：C

解析：如圖，設(shè)球的半徑為R，O′是△ABC的外心，外接圓半徑為r，則OO′⊥面ABC. 在Rt△ACD中，cosA=■，則sinA=■.

在△ABC中，由正弦定理得■=2r，r=■■，△ABC外接圓的半徑r=■=■R？圯R2=■，S=4？仔R2=54？仔. 故選：C.

12. 答案及解析：

答案：B

解析：圓C方程可化為：（x-1）2+（y-1）2=25？圯C（1，1），圓C半徑r=5.

■≤2■+■=■2≤4■+■2，

即■2≤4■2+4■2+8■·■.

∴■2≤100+100+8■·■cos∠MCN

？圯■2≤100+100+200×■？圯■≤4■.

設(shè)圓心C到直線y=-2x-m的距離為d，

則2■=2■≤4■？圯m≥2.

又直線y=-2x-m與圓C相交，可得d

即■<5？圯m<5■-3.

綜上所述：m∈[2， 5■-3）.

故選B.

13. 答案及解析：

答案：x-y-1=0

解析：y′=■，所以y′│x=1=1，又當(dāng)x=1時(shí)，y=0，所以切線方程為y=x-1，

故答案為：x-y-1=0.

14. 答案及解析：

答案：2

解析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=x+y，得y=-x+z，

平移直線y=-x+z，由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-x+z的截距最小，

此時(shí)，z最小，

由x=1，y=x，得x=1，y=1，即A（1， 1），

此時(shí)，z=1+1=2，

故答案為：2.

15答案及解析：

答案：1

解析：f（0）=2，f（-1）=4？圯a0+b=2，a-1+b=4，解得a=■，b=1.

∴當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=（■）x+1.

∴f（-2）=（■）-2+1=10？圯f（f（-2））=f（10）=lg10=1.

本題正確結(jié)果：1

16. 答案及解析：

答案：■

解析：由題目中的位置關(guān)系，可將原圖補(bǔ)為如圖所示的直四棱柱：

∵ BC1∥AD，

異面直線BC1與AC所成角即為直線AD與AC所成角∠DAC.

由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=4+4-8cos120°=12.

∴ AC=2■，又AD=CD=■=2■.

∴ cos∠DAC=■=■=■.

本題正確結(jié)果：■.

17. 答案及解析：

答案：

（1）設(shè){bn}的公比為q.

因?yàn)閎2=2，b5=16，所以q3=■=■=8，

所以q=2. b1=■=1，

所以bn=b1qn-1=2n-1（n=1， 2， 3，…）.

（2）由（1）知bn=2n-1，所以b1=1，b4=8.

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

因?yàn)閍1=2b1，a3=b4

所以a1=2，a3=a1+2d=8.

所以d=3.

所以an=3n-1.

因此cn=an+bn=3n-1+2n-1.

從而數(shù)列{an}的前項(xiàng)和：

Sn=2+5+…+（3n-1）+1+2+…+2n-1.

Cn=■+■

=■n2+■n+2n-1

18. 答案及解析：

答案：（1）由男職工的年齡頻率分布直方圖可得：

（a+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025）×5=1.

所以a=0.02.

（2）該單位[25，35）歲職工共24人，由于[25，35）歲男女職工人數(shù)相等，所以[25，35）歲的男職工共12人.

由（1）知，男職工年齡在[25，35）歲的頻率為0.15，

所以男職工共有■=80人，

所以女職工有140-80=60人，

所以男女比例為4 ∶ 3.

（3）由男職工的年齡頻率分布直方圖可得：男職工年齡在[25，30）歲的頻率為0.05.

由（2）知，男職工共有80人，所以男職工年齡在[25，30）歲的有4人，分別記為A1， A2， A3， A4.

又全體員工年齡在[25，30）歲的有6人，所以女職工年齡在[25，30）歲的有2人，分別記為B1， B2.

從年齡在25～30歲的職工中隨機(jī)抽取兩人的結(jié)果共有（A1， A2），（A1， A3），（A1， A4），（A1， B1），（A1， B2），（A2， A3），（A2， A4），（A2， B1），（A2， B2），（A3， A4），（A3， B1），（A3， B2），（A4， B1），（A4， B2），（B1， B2）15種情況，

其中一男一女的有（A1， B1），（A1， B2），（A2， B1），（A2， B2），（A3， B1），（A3， B2），（A4， B1），（A4， B2） 8種情況，

所以恰好抽取一名男職工和一名女職工的概率為■.

19. 答案及解析：

答案：（1）因?yàn)锽B1⊥平面ABC，AB？奐平面ABC，

所以BB1⊥AB.

因?yàn)椤螦BC=90°，

所以BC⊥AB.

因?yàn)锽B1∩BC=B，B1B？奐平面B1BC，BC？奐平面B1BC，

所以AB⊥平面B1BC.

（2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.

因?yàn)锳B？埭平面A1B1C，A1B1？奐平面A1B1C，

所以AB∥平面A1B1C.

因?yàn)锳B？奐平面ABEF，平面ABEF∩平面A1B1C=EF，

所以EF∥AB.

（3）AB⊥BE.

因?yàn)锳B∥A1B1，

所以BE⊥A1B1.

因?yàn)锳1B1∩B1C=B1，

所以BE⊥平面A1B1C.

因?yàn)锽E？奐平面ABE，

所以平面ABE⊥平面A1B1C.

20. 答案及解析：

答案：

（1）由題意a=■，b=1，c=■=1，

所以離心率e=■=■，左焦點(diǎn)F（-1，0）.

（2）由題知，■+y20=1，即x20+2y20=2.

當(dāng)y0=0時(shí)直線l方程為x=■或x=-■，直線l與橢圓C相切.

當(dāng)y0≠0時(shí)，由■+y2=1，x0 x+2y0 y=2，得（2y20+x20）x2-4x0 x+4-4y20=0，

即x2-2x0 x+2-2y20=0.

所以△=（-2x0）2-4（2-2y20）=4x20+8y20-8=0.

故直線l與橢圓C相切.

（3）設(shè)A（x1， y1），B（x2， y2），

當(dāng)y0=0時(shí)，x1=x2，y1=-y2，x1=±■，

■·■=（x1+1）2-y21=（x1+1）2-6+（x1-1）2=2x21-4=0，

所以■⊥■，即∠AFB=90°.

當(dāng)y0≠0時(shí)，由（x-1）2+y2=6，x0 x+2y0 y=2，得（y20+1）x2-2（2y20+x0）x+2-10y20=0，

則x1+x2=■，x1x2=■，

y1y2=■x1x2-■（x1+x2）+■=■.

因?yàn)椤觥ぁ?（x1+1，y1）·（x2+1，y2）

=x1x2+x1+x2+1+y1y2

=■+■

=■=0.

所以■⊥■，∠AFB=90°.

故∠AFB為定值90°.

21. 答案及解析：

答案：（1）f（x）定義域?yàn)椋?， +∞），f（1）=0.

f′（x）=2（1+lnx）-1+■=1+■+2lnx. f′（1）=2.

所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1）.

即y= 2x-2.

（2）記g（x）=1+■+2lnx.

g ′（x）=■-■=■.

由g ′（x）=0解得x=1.

g（x）與g ′（x）在區(qū)間（0， +∞）上的情況如下：

所以g（x）在x=1時(shí)取得最小值g（1）=2.

所以g（x）=1+■+2lnx≥2>0. 所以f ′（x）>0.

所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

又由f（1）=0知：

當(dāng)00;

當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>0，x-1>0，所以（x-1）f （x）>0.

所以（x-1）f （x）≥0.

22. 答案及解析：

答案：（1）由x=2+■t得t=■（x-2）

代入y=2■+■t整理得：x-■y+4=0.

∴直線l的普通方程為x-■y+4=0.

又x= ？籽cos？茲，y= ？籽sin？茲，

曲線C的極坐標(biāo)方程為？籽=2cos？茲.

（2）由x-y+2■-2=0，x-■y+4=0，得x=2，y=2■，

∴? A（2， 2■）.

設(shè)B（？籽，？茲），則？籽=2cos？茲.

∴△AOB的面積S=■OAOBsin∠AOB

=■4？籽sin（■-？茲）=4cos？茲sin（■-？茲）=2cos（2？茲+■）+■.

Smax=2+■.

23. 答案及解析：

答案：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）+x=x-2-x+1+x，

①當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）+ x = -x-2+x+1+x=-x+3>0，解得x>-3，

所以-3

②當(dāng)-10，解得x<1，

所以-1

③當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）+x=（x-2）-（x+1）+x=x-3>0，解得x>3，

所以x>3.

所以不等式f（x）+x>0的解集為（-3，1）∪（3，+∞）.

（2）因?yàn)閒（x）=x-2-x+a≤（x-2）-（x+a）=a+2，

所以f（x）max=a+2.

因?yàn)閷?duì)任意x∈R，f（x）≤3恒成立，

所以a+2≤3，

所以-3≤a+2≤3，

所以-5≤a≤1.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為[-5，1] .

責(zé)任編輯徐國堅(jiān)