劉浩　黨尹澤　宋杰　陳劍飛　宋超俊

摘 要：隨著科學(xué)技術(shù)和國(guó)內(nèi)外航模比賽的發(fā)展，紙飛機(jī)運(yùn)動(dòng)模型因其可運(yùn)用到各類小型飛行器中而得到越來(lái)越多的關(guān)注，針對(duì) Suzanne 折法的紙飛機(jī)，基于紙飛機(jī)的空氣動(dòng)力學(xué)， 運(yùn)用微分分析方法對(duì)無(wú)動(dòng)力滑翔的最佳投擲角度進(jìn)行了研究。

紙飛機(jī)整體飛行階段為周期震蕩衰減過(guò)程，在確定紙飛機(jī)重心的基礎(chǔ)上分階段進(jìn)行受力分析，基于能量守恒定律和微分分析得到其不同階段的運(yùn)動(dòng)路徑分析公式，建立了其爬升、俯沖和滑翔軌跡的仿真模型。在仿真模型下，基于紙飛機(jī)受力分析與運(yùn)動(dòng)方程，建立了紙飛機(jī)重心調(diào)整后的二維動(dòng)力學(xué)模型。用 MATLAB 模擬了在不同拋射角度下的紙飛機(jī)的飛行軌跡，根據(jù)軌跡趨勢(shì)利用單向?qū)?yōu)搜素法得出紙飛機(jī)在，飛行距離最長(zhǎng)。

最后在模型拓展部分，我們通過(guò)加膠帶等改變飛機(jī)重心，研究了重心位置對(duì)阻力系數(shù)的影響，在仿真模型下調(diào)整紙飛機(jī)重心，基于紙飛機(jī)受力分析與運(yùn)動(dòng)方程，建立了紙飛機(jī)重心調(diào)整后的三自由度動(dòng)力學(xué)模型。用MATLAB模擬了在不同重心位置和拋射角度下的紙飛機(jī)的飛行軌跡，根據(jù)軌跡趨勢(shì)利用單向?qū)?yōu)搜素法得出：紙飛機(jī)在原來(lái)的重心基礎(chǔ)上向x和y方向偏1mm，在投擲角度為20.8°時(shí)，紙飛機(jī)的飛行距離最遠(yuǎn);在22.4°時(shí)，紙飛機(jī)的滯空時(shí)間最長(zhǎng)。

紙飛機(jī)飛行距離的影響因素：

（1）質(zhì)量因素：

1、熟練掌握折疊方法，力求每個(gè)折痕一次成功。

2、保持手指干凈、干燥。

3、按照折痕折疊。

4、折好的邊角和舵沒(méi)有翹起。通過(guò)多次飛行練習(xí)實(shí)驗(yàn)我發(fā)現(xiàn)在紙飛機(jī)折疊的質(zhì)量比較好而且新的時(shí)候飛得遠(yuǎn)，在紙飛機(jī)用了一段時(shí)間后，它飛的就沒(méi)以前飛得遠(yuǎn)，飛得好了。因此紙飛機(jī)質(zhì)量也決定著紙飛機(jī)的飛行距離。如果你想讓你的紙飛機(jī)的飛行距離會(huì)比較遠(yuǎn)，那么你首先要做的就是折疊的一架質(zhì)量比較好紙飛機(jī)，并學(xué)會(huì)保養(yǎng)并修理它的方法。

（2）人為因素：

影響紙飛機(jī)飛的遠(yuǎn)近還有人為因素，也就是紙飛機(jī)飛的距離遠(yuǎn)近，取絕于人用力大小等因素，通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)探究我總結(jié)出投擲紙飛機(jī)的時(shí)候一定要注意以下幾點(diǎn)。

1.用力適中：理論上投擲力量越大，飛得越遠(yuǎn)，但是實(shí)際上力量越大，越不容易做到“水平投擲”和“直線加力”。而且用力過(guò)大的話，還容易損壞紙飛機(jī)。現(xiàn)場(chǎng)試飛應(yīng)該逐漸加力投擲，摸索出一個(gè)保證投擲技術(shù)前提下的最佳投擲力度。

2.放飛高度：站在不同高度放飛紙飛機(jī)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)放飛高度也會(huì)在一定程度上影響紙飛機(jī)飛行距離。

我總結(jié)的影響紙飛機(jī)飛行距離的因素就以上兩大因素：一、質(zhì)量因素;二、人為因素。

MATLAB仿真建模：對(duì)紙飛機(jī)進(jìn)行受力分析，飛機(jī)受重力、空氣阻力、以及向上的升力。

空氣阻力的計(jì)算：根據(jù)空氣阻力的公式：F=（1/2）CρSV^2 計(jì)算.式中：C為空氣阻力系數(shù);ρ為空氣密度;S物體迎風(fēng)面積;V為物體與空氣的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度.由上式可知，正常情況下空氣阻力的大小與空氣阻力系數(shù)及迎風(fēng)面積成正比，與速度平方成正比。

飛機(jī)升力計(jì)算：伯努利原理（又稱伯努利定律或柏努利定律）是流體力學(xué)中的一個(gè)定律，由瑞士流體物理學(xué)家丹尼爾·伯努利于1738年出版他的理論《Hydrodynamica》，描述流體沿著一條穩(wěn)定、非黏性、不可壓縮的流線移動(dòng)行為。 伯努利原理往往被表述為p+1/2ρv2+ρgh=C，這個(gè)式子被稱為伯努利方程。式中p為流體中某點(diǎn)的壓強(qiáng)，v為流體該點(diǎn)的流速，ρ為流體密度，g為重力加速度，h為該點(diǎn)所在高度，C是一個(gè)常量。它也可以被表述為 ：? p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。

由滿足庫(kù)塔條件所產(chǎn)生的繞翼環(huán)量導(dǎo)致了機(jī)翼上表面氣流向后加速，由伯努利定理可推導(dǎo)出壓力差并計(jì)算出升力，這一環(huán)量最終產(chǎn)生的升力大小亦可由庫(kù)塔-茹可夫斯基方程計(jì)算：

L（升力）=ρVΓ（氣體密度×流速×環(huán)量值）

根據(jù)海姆霍茲旋渦守恒定律，對(duì)于理想不可壓縮流體在有勢(shì)力的作用下翼型周圍也會(huì)存在一個(gè)與起動(dòng)渦強(qiáng)度相等方向相反的渦，叫做環(huán)流，或是繞翼環(huán)量。

受力分析過(guò)后，飛機(jī)形狀、大小等對(duì)飛機(jī)飛行的影響都已知曉，就可以把飛機(jī)簡(jiǎn)化成質(zhì)點(diǎn)，求出軌跡公式;水平方向飛機(jī)受阻力，豎直方向飛機(jī)受重力和升力。

由假設(shè)得：（1）飛機(jī)左右受力平衡，所以可以簡(jiǎn)化為二維模型。（2）每次投擲的力相同，所以每次投擲的初速度v0相同，則：

vx0=v0*cosθ;（1）

vy0=v0*sinθ;（2）

由阻力公式：F=（1/2）CρSV^2、升力公式：L=ρVΓ、重力加速度g、牛頓第二定理F=ma，求出速度、位移公式：

vx=vx0+at;（3）

vy=vy+bt;（4）

x=vx0t+1/2at^2;（5）

y=vy0t+1/2bt^2。（6）

模型：

（1）將投擲角度θ∈[0°，90°]平均劃分為6個(gè)區(qū)間，從每個(gè)區(qū)間內(nèi)取出一個(gè)角度，導(dǎo)入MATLAB，仿真得出最大位移對(duì)應(yīng)的投擲角度區(qū)間。

（2）將上面得出的投擲角度區(qū)間再劃分為6個(gè)區(qū)間，從每個(gè)區(qū)間內(nèi)取出一個(gè)角度，導(dǎo)入MATLAB，仿真得出最大位移對(duì)應(yīng)的投擲角度區(qū)間。

（3）以此類推……直至得出最遠(yuǎn)位移，得到最佳投擲角度。

6、模型求解

下圖為投擲角度θ=0°、45°、90°的仿真圖（其余角度僅進(jìn)行仿真對(duì)比）：

（1）進(jìn)行模型仿真得出最大位移區(qū)間為[25°，45°]，

（2）以此類推進(jìn)行多次仿真，得出最大位移的投擲角度為29°。最大位移所得的仿真圖

（3）綜合以上優(yōu)化結(jié)果，可得到此題的答案：在高度和初速度一致的情況下，當(dāng)投擲角度為29°時(shí)，紙飛機(jī)的飛行距離最遠(yuǎn)約為65.5m.

7、模型優(yōu)缺點(diǎn)分析

優(yōu)點(diǎn)：運(yùn)用仿真，可以排除外界環(huán)境干擾，精確求值。

缺點(diǎn)：過(guò)程繁瑣。