■蔣慶富

已知兩個非零向量a，b，那么|a||b|·cosθ(θ是a與b的夾角)叫作向量a與b的數(shù)量積或內積，記作a·b。若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2。

一、求向量的數(shù)量積

例1 設△A B C的外接圓的圓心為P，半徑為3，若( )。

解：由的外接圓的圓心為P，半徑為3，可知兩向量的。由向量加法的平行四邊形法則可和向量的模是3。易得知 ，的夾角為120°，所以應選A。

評析：正確理解的意義是解答本題的關鍵。

例2 如圖1所示，正六邊形A B C D E F的邊長為1，則

圖1

評析：解題時要注意向量與的夾角是60°，而不是120°。

二、求向量的模

例3 如圖2所示，在△A B C中，O為B C的中點，若A B=1，A C=3，與的夾角為60°，則

圖2

評析：利用向量之間的關系構造是解答本題的關鍵。

三、判斷三角形的形狀

例4 若O為△A B C所在平面內任一點，且滿足=0，則△A B C的形狀為( )。

表3方案側重于對現(xiàn)有各類設備的數(shù)量而不是可用生產時間進行拆分和最優(yōu)分配，相較于表1和表2方案，避免了生產流程的頻繁切換，大大簡化了對設備的管理和調度．

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.正三角形

D.等腰直角三角形

解：由，可得

評析：兩個向量相減時，其差向量的方向是指向被減向量的終點。

四、求面積問題

例5 在四邊形A B C D中則該四邊形的面積為( )。

解：因為，所以對角線A C，B D互相垂直，所以該四邊形的面積S=應選C。

評析：由得到對角線A C，B D互相垂直是解題的關鍵。

例6 已知，且，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為( )。

解：因為，所以，所以所求的平行四邊形的面積為應選A。

評析：由題設條件求出是解答本題的關鍵。

五、求向量的夾角

例7 已知向量a·(a+2b)=0，|a|=2，|b|=2，則向量a與b的夾角為( )。

解：設θ是a與b的夾角。由a·(a+2b)=0，可得|a|2+2a·b=0。根據(jù)向量數(shù)量積的定義及已知條件可得22+2×2×2×cosθ=0，所以。又因為θ∈[0，π]，所以應選B。

評析：利用可求兩向量的夾角，但要注意夾角θ∈[0，π]。

六、求參數(shù)的值

例8 已知菱形A B C D的邊長為6，∠A B D=30°，點E，F(xiàn)分別在邊B C，D C上，B C=2B E，C D=λ C F。若則λ的值為( )。

A.2 B.3

C.4 D.5

評析：把向量用基底向量和表示是解題的關鍵，但要注意作為基底的兩個向量必須是不共線的。

七、求取值范圍問題

例9 已知向量a，b，c共面，a，b，c均為單位向量，且a·b=0，則|a+b-c|的取值范圍是( )。

解：設向量=α，=β。

因為a·b=0，所以a⊥b，則或α，于是可得|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3-2 cosα

評析：求解本題要注意兩點：一是角α與β之間的關系；二是正確運用兩角和的余弦公式求最值。