■張文偉

題型1：平面向量的基本概念

與平面向量的概念有關(guān)命題真假的判定問(wèn)題，其關(guān)鍵在于理解平面向量的概念，還應(yīng)注意零向量的特殊性以及兩個(gè)向量相等必須滿足：①模相等，②方向相同。平面向量有關(guān)概念的核心：①向量定義的核心是方向和長(zhǎng)度，②非零共線向量的核心是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制，③相等向量的核心是方向相同且長(zhǎng)度相等，④單位向量的核心是方向沒(méi)有限制，但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，⑤零向量的核心是方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線，⑥向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量不能比較大小，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小。

例1 下列說(shuō)法正確的是( )。

A.方向相同的向量叫作相等向量

B.共線向量是在同一條直線上的向量

C.零向量的長(zhǎng)度等于0

解：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫作相等向量，A不正確。方向相同或相反的非零向量叫作共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，B不正確。顯然，C正確。當(dāng)時(shí)，所在的直線與所在的直線可能重合，D不正確。應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練1：有下列命題：①若|a|=|b|，則a=b；②若，則四邊形A B C D是平行四邊形；③若m=n，n=k，則m=k；④若a∥b，b∥c，則a∥c。

其中假命題的個(gè)數(shù)是( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

提示：對(duì)于①，|a|=|b|，a，b的方向不確定，則a，b不一定相等，①錯(cuò)誤。對(duì)于②，若模相等，即則向量的方向不一定相同，所以四邊形A B C D不一定是平行四邊形，②錯(cuò)誤。對(duì)于③，若m=n，n=k，則m=k，③正確。對(duì)于④，若a∥b，b∥c，則當(dāng)b=0時(shí)，a∥c不一定成立，④錯(cuò)誤。假命題是①②④。應(yīng)選C。

題型2：平面向量的線性運(yùn)算

用已知向量表示另外一些向量，要利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，還要利用平面幾何的一些定理。在求向量時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解。

例2 如圖1，在△A B C中，點(diǎn)M為A C的中點(diǎn)，點(diǎn)N在A B上，點(diǎn)P在線段

圖1

解：由向量運(yùn)算法則，可得應(yīng)選D。

跟蹤訓(xùn)練2：如圖2，在△A B C中，點(diǎn)D在B C邊上且C D=2D B，點(diǎn)E在A D上且A D=3A E，試用表示

圖2

提示：由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)，可得

題型3：共線向量定理及其應(yīng)用

利用共線向量定理可以證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值。若a，b不共線，則λ a+μb=0的充要條件是λ=μ=0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛。證明三點(diǎn)共線：若，則A，B，C三點(diǎn)共線。

例3 已知a，b是不共線向量，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ，μ的關(guān)系一定成立的是( )。

A.λμ=1 B.λμ=-1

C.λ-μ=-1 D.λ+μ=2

解：若A，B，C_三點(diǎn)共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得，即λ a+b=t a+μt b。因?yàn)閍，b是不共線向量，所以消去參，數(shù)t可得λμ=1。應(yīng)選A。

跟蹤訓(xùn)練3：設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量，向量3e1-2k e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為_(kāi)___。

提示：由題意可知A，B，D三點(diǎn)共線，故必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得又(k e1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2，所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2。由e1與e2不共線，可得解得k=

題型4：平面向量基本定理的應(yīng)用

應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算。用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題。

例4 如圖3，在直角梯形A B C D中，A B=2A D=2D C，E為B C邊上一點(diǎn)為A E的中點(diǎn)，則

圖3

解：取A B的中點(diǎn)為G，連接D G，C G。易知四邊形D C B G為平行四邊形，所以由此可得

跟蹤訓(xùn)練4：如圖4所示，在△A B C中，

點(diǎn)P是A B上一點(diǎn)，且點(diǎn)Q是B C的中點(diǎn)，A Q與C P的交點(diǎn)為M，又，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)______。

圖4

提示：因 為所以，所 以 2可知P為線段A B的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn))。由A，M，Q三點(diǎn)共線，可設(shè)因?yàn)橛纱私獾胻故t的值是

題型5：平面向量的數(shù)量積問(wèn)題

已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數(shù)量叫作向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b=，規(guī)定a·0=0。

例5 如圖5，在等腰直角△A B C中，∠A B C=90°，A B=B C=2，M，N(不與A，C重合)為A C邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍為( )。0＜a＜1，N(a+1，1-a)，可得

圖5

解：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，B C所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系x B y，則B(0，0)，直線A C的方程為x+y=2。設(shè)M(a，2-a)，則，所以a(a+1)+(2-a)(1-a)=2a2-2a+2=。由0＜a＜1，可知當(dāng)時(shí)取得最小值為即易得，故的取值范圍為應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練5：在△A B C中，B C邊上的中線A D的長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是△A B C_所在平面上的任一點(diǎn)，則的最小值為( )。

A.1 B.2

C.-2 D.-1

提示：建立如圖6所示的平面直角坐標(biāo)系x D y，使得點(diǎn)D在坐標(biāo)原點(diǎn)處，點(diǎn)A在y軸上，則A(0，2)。

圖6

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則所以2≥-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0，y=1時(shí)等號(hào)成立。

故P的最小值為-2。應(yīng)選C。

題型6：向量的投影問(wèn)題

已知兩個(gè)非零向量a與b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ(或|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(或b在a方向上)的投影。

例6 已 知 點(diǎn)A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影是____。

解：依題意可得，因此向量在方向上的投影是

跟蹤訓(xùn)練6：已知兩個(gè)單位向量a和b的夾角為60°，則向量a-b在向量a方向上的投影是____。

提示：由兩個(gè)單位向量a和b的夾角為60°，可得，所以向量a-b在向量a方向上的投影為

題型7：與向量有關(guān)的面積問(wèn)題

解答這類(lèi)問(wèn)題要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用以及對(duì)數(shù)學(xué)式子的幾何意義的挖掘。

例7 如圖7所示，設(shè)O是△A B C內(nèi)部一點(diǎn)，且，求△A B C與△A O C的面積之比。

圖7

解：取A C的中點(diǎn)為D，連接_O D，則，由此可得，所以O(shè)是A C邊上的中線B D的中點(diǎn)，可知S△A B C=2S△A O C，即△A B C與△A O C的面積之比為2∶1。

_跟蹤訓(xùn)練7：已知O是△A B C內(nèi)部一點(diǎn)，且∠B A C=60°，則△O B C的面積是____。

提示：由O，可得所以O(shè)為三角形的重心，所以△O B C的面積為△A B C面積的。由2。由∠B A C=60°，可得因?yàn)椤鰽 B C的面積為，所以△O B C的面積為

題型8：向量在解析幾何中的應(yīng)用

向量在解析幾何問(wèn)題中的出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算，脫去“向量外衣”。利用向量a⊥b?a·b=0，向量a∥b?a=λ b(b≠0)，可解決垂直，平行問(wèn)題。

例8 已知A B為圓C：(x-1)2+y2=1的直徑，點(diǎn)P為直線x-y+1=0上任一點(diǎn)，則的最小值為( )。

解：由題意可設(shè)點(diǎn)A(1+cosθ，sinθ)，點(diǎn)P(x，x+1)，則點(diǎn)B(1-cosθ，-sinθ)，可得(1-cosθ-x，-sinθ-x-1)，所以(sinθ-x-1)(-sinθ-x-1)=(1-x)2-cos2θ+(-x-1)2-sin2θ=2x2+1≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立。應(yīng)選A。

跟蹤訓(xùn)練8：已知圓C：x2+y2-2x-，點(diǎn)A(0，m)(m＞0)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)。若圓C上存在點(diǎn)M，使得，則當(dāng)m取得最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是( )。

提示：由題意可得圓的方程為(x-1)2+，點(diǎn)B(0，-m)。

設(shè)M(x，y)。由于，所以(x，y-m)·(x，y+m)=0，可得x2+y2-m2=0，即m2=x2+y2。因?yàn)閤2+y2表示圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，所以連接O C，并延長(zhǎng)和圓C相交，交點(diǎn)即為M(圖略)，此時(shí)m2最大，m也最大。容易求得|OM|=3，∠MO x=60°，所以xM=3×。應(yīng)選C。

題型9：向量在平面幾何中的應(yīng)用

利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，可建立平面直角坐標(biāo)系，這樣可以使向量的運(yùn)算更簡(jiǎn)便一些。在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，共線向量定理和平面向量基本定理起主導(dǎo)作用。

例9 如圖8，在四邊形A B C D中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊A D，B C的中點(diǎn)，設(shè)。若則( )。

圖8

A.2m-n=1 B.2m-2n=1

C.m-2n=1D.2n-2m=1

解：由 題 意 可 得因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊A D，B C的中點(diǎn)，所以上述兩式相加可得，兩邊平方可得所 以，即由此可得，所以，即2n-2m=1。應(yīng)選D。

跟蹤訓(xùn)練9：已知是非零向量，且滿足，則△A B C的形狀為( )。

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

提示：由，可得可得，可得A=60°。由上可知△A B C為等邊三角形。應(yīng)選C。

題型10：向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題

這類(lèi)問(wèn)題可應(yīng)用向量共線，垂直或等式成立，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，再利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性求解。

例10 在△A B C中，設(shè)A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m=(cosA，sinA)，n=，且|m+n|=2。

(1)求角A的大小。

解：(1)由可 得|m+n|=積。

由|m+n|=2，可得由0＜A＜π，可得所以A-，即

故S△A B C=16。

跟蹤訓(xùn)練10：在平面直角坐標(biāo)系x O y中，已知向量

(1)若m⊥n，求tanx的值。

(2)若m與n的夾角為，求x的值。

提示：(1)因?yàn)閙⊥n，所以m·n=0，即

(2)因?yàn)閨m|=|n|=1，所以m·n=，即，所以

題型11：向量與三角形的“四心”問(wèn)題

例11 在 △A B C中，點(diǎn)G是△A B C的重心，則的最小值是( )。

解：設(shè)B C的中點(diǎn)為D。因?yàn)辄c(diǎn)G是△A B C的重心，所以

跟蹤訓(xùn)練11：如圖9，已知△A B C外接圓的圓心為O，A為鈍角，M是B C邊的中點(diǎn)，則等于( )。

圖9

A.3 B.4

C.5 D.6

提示：由M是B C邊的中點(diǎn)，可得由O是△A B C外接圓的圓心，可得同理可得，。故。應(yīng)選C。

題型12：與向量有關(guān)的軌跡問(wèn)題

與向量有關(guān)的軌跡問(wèn)題主要涉及三角形的“四心”問(wèn)題、直線與圓問(wèn)題等。

例12 已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)定點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△A B C的( )。

A.內(nèi)心 B.外心

C.重心 D.垂心

解：由題意可得即根據(jù)平行四邊形法則，可知(D為B C的中點(diǎn))，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)△A B C的重心。應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練12：已知過(guò)點(diǎn)(0，1)的直線與圓x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為( )。

提示：設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，過(guò)點(diǎn)(0，1)的直線方程為y=k x+1。由，可得(x，y)=(x1+x2，y1+y2)。把y=k x+1代入x2+y2=4，可得(1+k2)x2+2k x-3=0，則x1+x2=。同理可得。故x=所以x2+(y-1)2=1。應(yīng)選B。