■季靈慶

作者單位：江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣曹甸高級(jí)中學(xué)

平面向量的數(shù)量積的定義是a·b=，其幾何意義是a的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影的乘積。若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2。因此，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算通常有兩種方法：一是依據(jù)模與夾角來(lái)計(jì)算，這時(shí)要借助于數(shù)量積的幾何意義；二是依據(jù)坐標(biāo)來(lái)計(jì)算。

一、利用向量的數(shù)量積求夾角

例1 已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量a與b的夾角。

解：設(shè)向量a與b的夾角為θ。

已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，由此可得方程組化簡(jiǎn)整理可得解得b2=2a·b，a2=2a·b。由此易得a2=b2，所以|a|=|b|。因?yàn)樗怨氏蛄縜與b的夾角為

評(píng)析：本題要求向量a與b的夾角，首先要求出a與b的夾角的余弦值，即要求出|a|，|b|及a·b，而題中很難求出|a|，|b|及a·b，但由公式可知，若能把a(bǔ)·b，|a|及|b|中的兩個(gè)用另一個(gè)表示出來(lái)，即可求出余弦值，從而可求得a與b的夾角θ。

練習(xí)1：在平面凸四邊形A B C D中，，點(diǎn)E滿足，且A E=B E=2。若的值為_(kāi)___。

提示：如圖1所示，易知 ∠A E B=90°，α+β=90°，，所以，則，可得sinα=

圖1

二、依據(jù)坐標(biāo)研究向量的數(shù)量積

例2 已知向量a=(2 cosα，2sinα)，b=(cosα-sinα，cosα+sinα)。

(1)求向量a與b的夾角。

(2)若(λ b-a)⊥a，求實(shí)數(shù)λ的值。

解：(1)設(shè)向量a與b的夾角為θ。易得。所以

考慮到0≤θ≤π，因此可得向量a與b的夾角為

(2)若(λ b-a)⊥a，則(λ b-a)·a=0，即λ b·a-a2=0。

因?yàn)閎·a=2，a2=4，所以2λ-4=0，解得λ=2。

練習(xí)2：在平面直角坐標(biāo)系x O y中，已知點(diǎn)A，B在圓x2+y2=4上，且，點(diǎn)，設(shè)A B的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，則x0的所有值為_(kāi)___。

提示：設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)。因?yàn)辄c(diǎn)A，B在圓x2+y2=4上，且，所以∠A O B=90°，所以，所以

由①②聯(lián)立解得x0=1或

三、建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求數(shù)量積

例3 如圖2，在△A B C中，∠B A C=120°，A B=2，A C=1，D是邊B C上一點(diǎn)

圖2

解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A B為x軸，過(guò)點(diǎn)A作A B的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系x A y，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)所以故

評(píng)析：本題是利用坐標(biāo)運(yùn)算求解數(shù)量積的。本題也可以借助向量的拆分求數(shù)量積。由，可 得，即可得

練習(xí)3：在△A B C中，已知A B=2，A C=1，∠B A C=90°，D，E分別為B C，A D的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線交A B于點(diǎn)P，交A C于點(diǎn)Q，則的最大值為_(kāi)________。

提示：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A C為x軸，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系x A y，則點(diǎn)B(0，2)，

圖3

設(shè)直線P Q的方程為b＞0)，所以點(diǎn)Q(a，0)，P(0，b)。由點(diǎn)E在直線P Q上，可得

四、借助于數(shù)量積的幾何意義求最值

例4 求函數(shù)y=3sinα+4 cosα的最大值。

解：由題意可令a=(3，4)，b=(sinα，cosα)。

評(píng)析：向量的數(shù)量積cosθ，因?yàn)?≤cosθ≤1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線時(shí)取等號(hào)。形如y=msinα+ncosα的最值問(wèn)題，可構(gòu)造向量a=(m，n)，向量b=(sinα，cosα)，然后利用求得。

練習(xí)4：求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3 cos2x的最值。

提示：將函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)，注意向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的特征，構(gòu)建不等式求出最值。原函數(shù)降次變形為y-2=sin2x+cos 2x。構(gòu)造向量則a·b=y-2。利用及向量的坐標(biāo)表示，可得，所以故此函數(shù)的最大值為最小值為