廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

2019年高考全國(guó)卷理科第21題,題型結(jié)構(gòu)常見(jiàn),三個(gè)問(wèn)題按梯度層層遞進(jìn),難度步步提升,很好地考查考生的推理論證能力與運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)試題的區(qū)分功能與選拔功能.這就需要我們探究時(shí)仔細(xì)品味欣賞,進(jìn)一步去揭示問(wèn)題的本質(zhì)特征,挖掘其潛在的價(jià)值和功能.本文對(duì)其進(jìn)行多種解法解答與分析,通過(guò)與教材習(xí)題對(duì)比、與往年高考試題對(duì)比,力求找到命制此題的素材,希望通過(guò)加強(qiáng)對(duì)高考命題的研究,為師生復(fù)習(xí)備考指明方向,提高教學(xué)質(zhì)量.

一、試題展示與評(píng)析

題目(2019年高考全國(guó)卷理科第21題)已知點(diǎn)A(?2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率乘積為記M的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線?

(Ⅱ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連接QE并延長(zhǎng)C交于點(diǎn)G.

(i)證明:?PGQ是直角三角形;

(ii)求?PGQ面積的最大值.

評(píng)析此題主要考查軌跡方程的求法,直線和橢圓的位置問(wèn)題以及最值問(wèn)題,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,考查方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),檢驗(yàn)了學(xué)生運(yùn)算求解、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.試題解法靈活,內(nèi)涵豐富,綜合性強(qiáng),為不同學(xué)生搭建了施展才能的舞臺(tái),是一道有價(jià)值的試題.

二、解法探究

圖1

圖2

圖3

二、教材尋根

高考題的命題有些是來(lái)源于教材,但往往又高于教材,因而我們的課堂教學(xué)需要回歸教材,扎根教材,根深才能葉茂,源遠(yuǎn)方能流長(zhǎng).2019年高考全國(guó)卷理科第21題第一問(wèn)來(lái)源于新課標(biāo)人教A版選修2-1第41頁(yè)例3題.教材是命制高考試題的一個(gè)源頭,這也符合“源于教材,高于教材”的命題理念,這就要求我們了解高考試題的來(lái)龍去脈,領(lǐng)悟教材和高考試題的功能,這對(duì)跳出題海,正確把握高考復(fù)習(xí)方向,有著重要的意義和作用.

題目(新課標(biāo)人教A版選修2-1第41頁(yè)例3)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(?5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是求M點(diǎn)的軌跡方程.

教材中的例題和習(xí)題具有典型性與代表性,能有效檢查學(xué)生對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的掌握及靈活應(yīng)用的程度.分析歷年的高考試題,可以發(fā)現(xiàn),很多高考試題的原型都來(lái)自于課本教材,適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行一些改編和創(chuàng)新.高考的命題指導(dǎo)思想中也指出,要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的掌握程度和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力.因此,對(duì)教材例、習(xí)題的探究是高三備考復(fù)習(xí)的重要方式之一.

三、性質(zhì)研究

圖4

結(jié)論二如圖4所示,已知橢圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交曲線C于P,Q兩點(diǎn),設(shè)P在第一象限,過(guò)P作x軸或y軸的垂線,垂足為E,連接QE交曲線C于點(diǎn)G.則有

四、真題回顧

由以上結(jié)論不難發(fā)現(xiàn),歷年高考題也均考查以上圓錐曲線的定值和最值問(wèn)題,體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?推陳出新”的理念,在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí),靈活運(yùn)用上面的性質(zhì),不僅比較容易找到解題的突破口,而且往往會(huì)獲得簡(jiǎn)潔、明快的解題方法和途徑.下面略舉幾例說(shuō)明上述結(jié)論的應(yīng)用.

圖5

例1(2011年高考江蘇卷第18題)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M,N分別是橢圓的頂點(diǎn),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,A兩點(diǎn),其中P在第一象限,過(guò)P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B,設(shè)直線PA的斜率為k.

(Ⅰ)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí),求k的值;

(Ⅱ)當(dāng)k=2時(shí),求點(diǎn)P到直線AB的距離;

(Ⅲ)對(duì)任意k＞0,求證:PA⊥PB.

點(diǎn)評(píng)例1與2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第21題的已知條件非常相似,區(qū)別在:例1中曲線方程直接給出,而全國(guó)Ⅱ卷的試題則把曲線方程設(shè)置為第(Ⅰ)問(wèn)進(jìn)行求解,兩道試題考查的難點(diǎn)都是”垂直”問(wèn)題.此外,例1的第(Ⅰ)問(wèn)和第(Ⅱ)問(wèn)設(shè)置比較基本,面對(duì)大部分考生,難度比全國(guó)Ⅱ卷試題低;全國(guó)Ⅱ卷試題第(Ⅰ)問(wèn)利用斜率定義求解曲線方程,屬于概念題型,大部分考生能夠完成,但從第(Ⅱ)問(wèn)題開(kāi)始難度提高.整體上看,兩道試題考查的目標(biāo)與解題思路一致,都是考查曲線軌跡知識(shí)與解析幾何相關(guān)知識(shí),考查考生數(shù)學(xué)閱讀水平,數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

例2(2012年高考湖北卷理科第21題)設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn),l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)M在直線l上,且滿足|DM|=m|DA|(m＞0且1).當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo);

(Ⅱ)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交C于P、Q兩點(diǎn),其中點(diǎn)P在第一象限,它在y軸上的射影為N,直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H.是否存在m,使對(duì)任意的k＞0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖6

點(diǎn)評(píng)例2引入?yún)?shù)m,討論軌跡方程,考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)知識(shí),考查考生分類討論思想和運(yùn)算求解能力.如圖6,第(Ⅱ)問(wèn)在第(Ⅰ)問(wèn)的基礎(chǔ)上,探究PQ⊥PH成立所需的m值,雖然已知條件把x軸換成y軸,但是解題思路與全國(guó)Ⅱ卷和江蘇卷試題一脈相承,解題方法殊途同歸.考查直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí),考查考生數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,同時(shí)例2與全國(guó)Ⅱ卷第21題在試卷中的定位類似,都是作為壓軸題,體現(xiàn)試題的區(qū)分功能與選拔功能.

五、備考建議

G·波利亞有句名言:“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題,如果我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)中,能對(duì)課本例習(xí)題作深入的研究,一題多解,一題多變,多題一法進(jìn)行變式教學(xué),立根課本,必定能取得豐碩的成果”.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們要善于挖掘教材的潛在教學(xué)功能.教材中有一些典型性題目,它們或者是重要的結(jié)論,或者體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想方法,或者是某個(gè)一般數(shù)學(xué)命題的具體形式,它的延伸、轉(zhuǎn)化和拓廣,可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容.我們必須充分重視課本典型例題、習(xí)題的探究,這是”用教材教”之根本,也是教師專業(yè)成長(zhǎng)的必有之路.

隨著新一輪高中課程改革的實(shí)施,教師對(duì)解析幾何的教學(xué)應(yīng)由傳統(tǒng)的“結(jié)果性教學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)樗仞B(yǎng)立意的“過(guò)程性教學(xué)”,這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中,不僅要讓學(xué)生知其然,更要知其所以然,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生了解甚至主動(dòng)去探究解析幾何問(wèn)題的本“源”,學(xué)會(huì)舉一反三,而不是就題解題,機(jī)械模仿.一方面,教師探尋解析幾何問(wèn)題的本“源”,追溯數(shù)學(xué)思維發(fā)展的源泉,可以提升教師自身數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)和專業(yè)化水平;另一方面,教師把握解析幾何問(wèn)題的“流”[4],可以培養(yǎng)學(xué)生多維度思考問(wèn)題的習(xí)慣,登高望遠(yuǎn),拓展視野,如全國(guó)Ⅱ卷的第(Ⅱ)問(wèn),能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,挖掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能.