張光輝

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽宿州，234000

數(shù)值積分是應(yīng)用積分理論解決實際問題的重要方法和途徑[1]，關(guān)于數(shù)值積分的經(jīng)典方法已有很多成熟的公式和理論結(jié)論。但是相同的數(shù)值積分公式在處理不同問題時的計算效率與實際問題所得模型的復(fù)雜程度、被積函數(shù)的光滑度等因素有相對復(fù)雜的關(guān)系，且理論收斂階和數(shù)值收斂階也有差別，本文主要針對此類問題進行分析和模擬。

1 預(yù)備知識

定義3Riemann-Liouville 定義的α階導(dǎo)數(shù)[3]：

2 主要結(jié)果

2.1 模型函數(shù)分析

為考查數(shù)值方法本身，將數(shù)值方法應(yīng)用于模型函數(shù)y=f(x)=xα,α∈(0,4]進行數(shù)值模擬，計算復(fù)合梯形公式和復(fù)核辛普森公式的數(shù)值收斂階，分析公式的數(shù)值收斂階與光滑性之間的關(guān)系，即數(shù)值收斂階與α之間的函數(shù)關(guān)系。

表1 復(fù)合梯形公式h與誤差Err實驗數(shù)據(jù)

選擇Err=Chs函數(shù)作為數(shù)據(jù)(hi,Erri)(i=1,2,…,8)的擬合曲線，兩邊取對數(shù)得:

表2 冪指數(shù)α與數(shù)值收斂階s對應(yīng)實驗數(shù)據(jù)

被積函數(shù)f(x)=xα的冪指數(shù)α的大小決定其光滑程度，為分析復(fù)合梯形公式的數(shù)值收斂階與光滑性之間的關(guān)系，用表2數(shù)據(jù)對α與s的函數(shù)關(guān)系進行最小二乘擬合，得到

實驗結(jié)果分析：由定理1知，當(dāng)被積函數(shù)有至少二階光滑性時，復(fù)合梯形公式的理論收斂階為2，對模型函數(shù)的數(shù)值模擬結(jié)果顯示2≤α≤4時，數(shù)值收斂階與理論收斂幾乎無差別，數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果相符。1≤α≤2時數(shù)據(jù)結(jié)果表明，雖然y=xα(1≤α<2)不具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，但數(shù)值積分結(jié)果顯示收斂階仍近似為2。由實驗數(shù)據(jù)結(jié)合梯形公式的漸進展開式[4]可得下面結(jié)果。

結(jié)果2復(fù)合梯形公式的理論收斂階要求被積函數(shù)二階連續(xù)可導(dǎo)，此條件較強，實際只需被積函數(shù)一階連續(xù)可導(dǎo)，公式即可達到二階精度。

類似于復(fù)合梯形公式的計算過程，用MATLAB軟件編程，用復(fù)合辛普森公式對y=f(x)=xα,α∈(0,4]積分，求得α與s的對應(yīng)實驗數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 冪指數(shù)α與數(shù)值收斂階s對應(yīng)實驗數(shù)據(jù)

用表3數(shù)據(jù)對α與s的函數(shù)關(guān)系進行最小二乘擬合，得到分段函數(shù)關(guān)系:

實驗結(jié)果分析：由定理1知，當(dāng)被積函數(shù)有至少四階光滑性時，復(fù)合辛普森公式的理論收斂階為4，對模型函數(shù)的數(shù)值模擬結(jié)果顯示α=4時，數(shù)值收斂階與理論收斂幾乎無差別，數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果相一致。0<α<3時的數(shù)據(jù)結(jié)果表明，y=xα光滑度未達到理論要求，實際計算積分結(jié)果達不到應(yīng)有的精度，數(shù)值收斂階近似為1+α。表明被積函數(shù)的光滑度對收斂階呈近似線性關(guān)系。

2.2 算例函數(shù)分析

表4 復(fù)合梯形公式h與誤差Err實驗數(shù)據(jù)

由最小二乘法擬合，得到h與Err滿足Err=1.167h1.498，即數(shù)值收斂階為1.498。類似地，可驗證復(fù)合辛普森公式的h與Err滿足Err=0.157 8h1.504，數(shù)值收斂階為1.504，均低于理論收斂階。

結(jié)果3若f(x)為α階可導(dǎo)函數(shù)，若0<α<1,則復(fù)合梯形公式和復(fù)核辛普森公式的數(shù)值收斂階均為1+α。

即實際計算α(0<α<1)階可導(dǎo)函數(shù)的積分時，復(fù)合梯形和復(fù)合辛普森公式均達不到應(yīng)用的精度，故被積函數(shù)的光滑度對積分精確度的影響不容忽視。

實驗結(jié)果分析：被積函數(shù)在積分區(qū)間上足夠光滑無奇性，計算精度不受影響，實際計算時積分公式達到了應(yīng)用的精度。

表5 復(fù)合梯形公式h與誤差Err實驗數(shù)據(jù)

表6 復(fù)合辛普森公式h與誤差Err實驗數(shù)據(jù)

表7 復(fù)合梯形公式h與誤差Err實驗數(shù)據(jù)

表8 復(fù)合辛普森公式h與誤差Err實驗數(shù)據(jù)

實驗結(jié)果分析：數(shù)值積分為奇異積分時，復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式數(shù)值收斂階均達不到理論值，理論精度高的辛普森公式的實際計算效果比復(fù)合梯形公式知識稍好一些，與理論結(jié)果相差很多，可見奇異積分對數(shù)值積分的理論效果影響嚴重。

3 結(jié) 語

通過對復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式計算效率的數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，當(dāng)被積函數(shù)達到理論收斂階所要求的相應(yīng)光滑性時，兩公式實際計算時積分都能達到應(yīng)有的精度。但當(dāng)被積函數(shù)存在奇性或光滑度不夠時，兩個公式的收斂效果均會受到影響，且收斂階和公式的代數(shù)精度、被積函數(shù)的光滑程度關(guān)系緊密，在一定范圍內(nèi)存在函數(shù)關(guān)系。因此在數(shù)值分析的學(xué)習(xí)中，加強上機實習(xí)，通過上機實驗發(fā)現(xiàn)新的問題，并用理論進行解釋，對深刻理解數(shù)值積分公式收斂問題用重要的意義。