陳政權(quán)韓 路侯彥東

(1.河南大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,河南開封 475004;2.河南大學(xué)邁阿密學(xué)院,河南開封 475004;3.河南大學(xué)河南省大數(shù)據(jù)分析與處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河南開封 475004)

1 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)化水平的迅速發(fā)展,工業(yè)設(shè)備及系統(tǒng)復(fù)雜度和自動(dòng)化程度不斷提高.如何提高系統(tǒng)的安全性和可靠性,減少生產(chǎn)過程中的財(cái)產(chǎn)損失和人員傷亡,成為現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)中的重大問題[1-4].故障診斷技術(shù)就是通過對(duì)設(shè)備運(yùn)行過程中信息進(jìn)行監(jiān)測(cè)、判別和分析與決策,從而提高系統(tǒng)運(yùn)行效率和可靠性.因此,故障檢測(cè)與診斷具有非常重要的研究意義,故障診斷技術(shù)包括3個(gè)基本任務(wù):故障檢測(cè)、故障隔離以及故障分析或辨識(shí).利用各種檢查和測(cè)試方法,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)和設(shè)備是否存在故障的過程是故障檢測(cè),而進(jìn)一步確定故障所在大致部位的過程是故障隔離,測(cè)定故障的類型、規(guī)模和故障的原因稱為故障分析或辨識(shí).故障診斷方法主要有:1)基于模型的方法,包括等價(jià)空間法、狀態(tài)估計(jì)法、參數(shù)估計(jì)法和頻域法等;2)基于信號(hào)處理的方法,包括頻譜分析法和小波分析法等;3)基于人工智能的方法,包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、知識(shí)推理法、故障特征樹搜索法和模糊隸屬度法等.故障診斷性能評(píng)價(jià)指標(biāo)包括:1)故障檢測(cè)及時(shí)性(速度);2)檢測(cè)敏感性和魯棒性;3)誤報(bào)率、錯(cuò)報(bào)率、漏報(bào)率和確診率;4)診斷全面性.

近年來,對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)故障診斷的研究已經(jīng)成為當(dāng)今的熱點(diǎn)問題,其中非線性系統(tǒng)的故障診斷研究取得了一定的理論成果.復(fù)雜系統(tǒng)的故障診斷中,如果模型已知,則基于模型的故障診斷方法能夠較為準(zhǔn)確地檢測(cè)出故障[5-6].閉環(huán)系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的故障診斷是當(dāng)前研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)[7-9].隨著控制系統(tǒng)復(fù)雜性的增加,非線性系統(tǒng)的故障診斷成為工業(yè)過程控制中迫切需要解決的難點(diǎn)問題之一.因此,研究非線性系統(tǒng)的故障診斷問題具有重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值.現(xiàn)有非線性系統(tǒng)的故障診斷方法大多是基于觀測(cè)器的狀態(tài)估計(jì)方法,其中最主要的方法主要有兩類:對(duì)結(jié)構(gòu)化未知擾動(dòng)解耦的方法和自適應(yīng)學(xué)習(xí)的方法[10-12].

當(dāng)前故障估計(jì)的研究取得了一系列的成果,基于模型的故障估計(jì)的方法主要包括如下:1)基于自適應(yīng)故障估計(jì)觀測(cè)器方法,其核心思想是將故障估計(jì)算法中的比例項(xiàng)提高收斂速度,該方法不要求故障先驗(yàn)信息,對(duì)干擾可使用H∞的方法進(jìn)行抑制,設(shè)計(jì)較為簡(jiǎn)單且實(shí)用性強(qiáng);2)基于迭代學(xué)習(xí)故障估計(jì)觀測(cè)器方法,其主要針對(duì)重復(fù)性或周期性運(yùn)動(dòng)的被控系統(tǒng),具有較好的追蹤能力;3)基于滑模觀測(cè)器方法,該方法主要利用了滑模觀測(cè)器的有限時(shí)間快速收斂性,但需要已知故障信號(hào)的上界;基于未知輸入觀測(cè)器方法[13],該觀測(cè)器是一種有限時(shí)間觀測(cè)器,但其設(shè)計(jì)復(fù)雜,對(duì)輸出噪聲比較敏感.基于優(yōu)化的故障估計(jì)方法主要包括如下:1)模型不確定性系統(tǒng)的故障估計(jì),該方法通過抑制模型不確定對(duì)故障估計(jì)的影響,因此可準(zhǔn)確地估計(jì)出故障的幅值,但需要已知系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu);2)基于系統(tǒng)參數(shù)變化故障估計(jì),其主要是通過檢測(cè)模型變化進(jìn)行參數(shù)的修正;3)非線性系統(tǒng)的故障估計(jì)[14],通常將非線性項(xiàng)進(jìn)行處理再進(jìn)行故障估計(jì).

迭代學(xué)習(xí)的方法很早被提出,自從Arimoto等人提出迭代學(xué)習(xí)控制以來,已有大量相關(guān)研究成果在控制領(lǐng)域發(fā)表[15].迭代學(xué)習(xí)控制作為處理重復(fù)或周期運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)最經(jīng)典、最有效的控制方法之一,可以利用之前的迭代學(xué)習(xí)信息不斷改善系統(tǒng)控制效果,能夠有效地解決控制系統(tǒng)跟蹤控制問題或干擾抑制問題,從而提高了系統(tǒng)的性能.針對(duì)一類具有切換模態(tài)的線性分布參數(shù)系統(tǒng)故障估計(jì)問題,文獻(xiàn)[16]基于閉環(huán)P型故障估計(jì)算法調(diào)節(jié)虛擬故障,使虛擬故障逐漸逼近真實(shí)故障.文獻(xiàn)[17]研究了連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的故障估計(jì)問題,該方法不需要故障的先驗(yàn)知識(shí),只需要很少一部分系統(tǒng)運(yùn)行的歷史數(shù)據(jù)即可估計(jì)出系統(tǒng)中發(fā)生的故障,可以實(shí)時(shí)在線地進(jìn)行檢測(cè)和估計(jì)系統(tǒng)中的故障,具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義.而目前所研究的大多數(shù)自適應(yīng)故障估計(jì)算法能夠有效地對(duì)故障進(jìn)行估計(jì),但精確性不高[18].因此,本文所提出了自適應(yīng)與迭代學(xué)習(xí)相結(jié)合方法.

本文將自適應(yīng)與迭代學(xué)習(xí)方法相結(jié)合,解決了一類滿足Lipschitz條件的非線性系統(tǒng)故障檢測(cè)與估計(jì)問題,并通過幾種典型故障的數(shù)值仿真,驗(yàn)證了所提算法的有效性.

2 問題描述與算法簡(jiǎn)介

考慮如下非線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng):

其中:x(t)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài),u(t)∈Rm是控制輸入,y(t)∈Rp是系統(tǒng)的輸出,f(t)∈Rq是故障信號(hào);A,B,C和E是適維矩陣.g(t,x(t))為連續(xù)非線性向量函數(shù),在此處假設(shè)g(t,x(t))滿足Lipschitz條件.存在Lipschitz常數(shù)Lg使得

龍格庫塔算法:采用四階龍格庫塔算法對(duì)非線性狀態(tài)微分方程和故障微分方程進(jìn)行求解,此算法能夠有效提高估計(jì)故障精度,減小誤差.算法如下:

則對(duì)于該微分方程的四階龍格庫塔算法由如下方程給出:

本文采用比例積分微分(proportional integral derivative,PID)型開環(huán)迭代學(xué)習(xí)算法,其學(xué)習(xí)律為

其中:α1,α2,α3為學(xué)習(xí)增益矩陣,r(t)為誤差項(xiàng),k為迭代次數(shù).

自適應(yīng)算法控制律為

其中:Γ是自適應(yīng)控制學(xué)習(xí)率,R1為適維矩陣.

3 故障檢測(cè)與估計(jì)

假設(shè)1(A,C)可觀測(cè).

假設(shè)2系統(tǒng)某一時(shí)刻只有一個(gè)故障發(fā)生.

假設(shè)3系統(tǒng)(1)的初值x(0),y(0)已知.

假設(shè)4真實(shí)故障關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是范數(shù)有界,即

3.1 故障檢測(cè)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

為了檢測(cè)故障,建立如下觀測(cè)器:

定理1根據(jù)系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)如系統(tǒng)(8)故障檢測(cè)觀測(cè)器.在上述假設(shè)成立的條件下,當(dāng)故障不發(fā)生時(shí)(f=0)則下式成立[19]:

根據(jù)定理1,觀測(cè)器收斂后,即可進(jìn)行下列故障檢測(cè):

1)rk(t)=0時(shí)故障不發(fā)生;

2)rk(t)≠0時(shí)故障發(fā)生.

在上述假設(shè)成立的前提下,式(8)所給出的觀測(cè)器,是系統(tǒng)(1)的故障檢測(cè)觀測(cè)器.

3.2 故障估計(jì)算法收斂性分析

為了估計(jì)故障,設(shè)計(jì)故障估計(jì)觀測(cè)器如下:

為了提高觀測(cè)系統(tǒng)式(12)的穩(wěn)定性與精確性,應(yīng)用四階龍格-庫塔算法求解觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)微分方程,實(shí)現(xiàn)觀測(cè)器系統(tǒng)(12)更加精確地追蹤實(shí)際系統(tǒng)(1),從而提高故障估計(jì)算法的精確性.

定義第k次迭代學(xué)習(xí)運(yùn)算的系統(tǒng)狀態(tài)誤差和輸出估計(jì)誤差:

故障估計(jì)算法:

故障估計(jì)觀測(cè)器啟動(dòng)條件:

為了證明故障估計(jì)觀測(cè)器收斂性,給出如下定義.

定義1λ范數(shù)向量函數(shù):

引理1x(t),y(t)滿足連續(xù)的實(shí)有理函數(shù),且c2≥0.若

成立,可得出

其中c1,c2,c3是常數(shù).

定理2當(dāng)自適應(yīng)故障估計(jì)值=0時(shí),在優(yōu)化區(qū)域[0,tn]時(shí)間內(nèi),優(yōu)化長(zhǎng)度為N;迭代學(xué)習(xí)故障估計(jì)算法進(jìn)行收斂性分析.假設(shè)系統(tǒng)(1)初值已知,xk(0)=,yk(0)=,k=1,2,3,···.選取參數(shù)α1,α2,α3滿足ρ2<1,

當(dāng)k →∞時(shí)可使得故障估計(jì)觀測(cè)器輸出值追蹤系統(tǒng)輸出值yk(t)即

證由式(9)得

將式(28)-(29)代入式((27)得

由式(2)可得

由引理1可得

兩邊同時(shí)取二范數(shù)并化簡(jiǎn)得

將式(38)兩邊同時(shí)乘以e?λt,λ>0,并根據(jù)定義1得

根據(jù)已知條件

當(dāng)λ →∞時(shí),可使得ψ <1,并根據(jù)式(41)可得

滿足式(25)成立. 證畢.

其中

假設(shè)5存在正定矩陣P1使線性矩陣不等式成立:

引理2若存在矩陣P1∈Rn×n,M ∈Rr×r為正定矩陣;矩陣Y ∈Rn×q,R1∈Rr×q為實(shí)矩陣,使下面線性矩陣不等式成立:

其中:

能夠?qū)崿F(xiàn)ex(t),ef(t)最終一致有界[19].即系統(tǒng)穩(wěn)定,ex(t),ef(t)收斂到某個(gè)很小的鄰域內(nèi).

定理3當(dāng)?shù)鷮W(xué)習(xí)算法故障估計(jì)值=0,且t →∞,自適應(yīng)故障估計(jì)值無限逼近故障真實(shí)值f(t),即

證由引理2可證明定理3成立,即

證畢.

由于

可得到

因此證明了所設(shè)計(jì)的故障估計(jì)觀測(cè)器及估計(jì)故障算法的有效性.

3.3 學(xué)習(xí)增益矩陣設(shè)計(jì)

本文利用H∞的方法,根據(jù)有界實(shí)引理,對(duì)故障變化率的影響設(shè)計(jì)約束不等式,抑制了故障變化率對(duì)故障估計(jì)的影響.最終,利用MATLAB線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)工具箱,求解學(xué)習(xí)增益參數(shù)矩陣.令

由式(19)得

這里限于文章篇幅,便于計(jì)算,不妨設(shè)α3=0.由式(52)(54)得

由式(58)(60)可得增廣系統(tǒng)為

令E1=那么可以看出E1為非奇異陣,將上式兩邊同時(shí)乘以得

由式(57)拆分變換可得

為了后續(xù)研究,引入連續(xù)系統(tǒng)有界實(shí)引理3和引理4.

引理3(有界實(shí)引理)對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間(A,B,C,D)以下條件等價(jià):

1)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A漸近穩(wěn)定(具有負(fù)實(shí)部特征值),‖G(s)‖∞<γ1成立.

2)存在正定矩陣P3,滿足

引理4存在矩陣X,Y和給定的任意正數(shù)δ使得下面不等式成立[20]:

定理4系統(tǒng)(1)在滿足假設(shè)1和假設(shè)4的前提下,給定抑制性能指標(biāo)γ2和任意正標(biāo)量γ3,若存在對(duì)稱正定矩陣P4,P5和矩陣α1,α2滿足

則誤差動(dòng)態(tài)方程(57)漸近穩(wěn)定,且滿足H∞性能指標(biāo)

證對(duì)于系統(tǒng)(58),使用代替引理3 中的P3,可以得到式(61)成立,系統(tǒng)(58)漸近穩(wěn)定.對(duì)于系統(tǒng)(59)使用代替引理3中的P3,且根據(jù)式(2)和引理4可得式(62)成立,系統(tǒng)(59)漸近穩(wěn)定.由于系統(tǒng)(58)和系統(tǒng)(59)漸近穩(wěn)定,可得誤差動(dòng)態(tài)方程(57)漸近穩(wěn)定. 證畢.

4 仿真模型及仿真分析

本文采用如圖1所示的機(jī)械臂模型,該機(jī)械臂由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng).詳述動(dòng)力學(xué)模型如下:假設(shè)該機(jī)械臂具有n關(guān)節(jié),q1=(q2q4··· q2i)T表示連桿轉(zhuǎn)動(dòng)角位置向量,表示連桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度向量,q2=(q1q3··· q2i?1)T表示電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角位置向量,表示電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度向量.假設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)能為

其中:D(q1)為剛性機(jī)器人慣性,計(jì)算式由轉(zhuǎn)子質(zhì)量和組成;J為對(duì)角陣,其對(duì)角線元素由主軸旋轉(zhuǎn)的電機(jī)慣性乘以相應(yīng)傳動(dòng)比的平方組成.

圖1 彈性關(guān)節(jié)機(jī)械手臂Fig.1 Elastic joint robotic arm

系統(tǒng)總勢(shì)能為

其中:Pv1(q1)為剛性機(jī)器人標(biāo)準(zhǔn)勢(shì)能,Pv2是彈性勢(shì)能.計(jì)算式為

動(dòng)力系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)v=Kv?Pv,

由歐拉-拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程得出

其中c(q1,)表示離心力和哥氏力且

通過上式可得

建立彈性關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型,狀態(tài)向量由電動(dòng)機(jī)的角速度和角位置組成,可示為

那么其狀態(tài)空間模型如下所示[21]:

其中:連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1=9.3×10?3kg·m2,電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jm=3.7×10?3kg·m2;θm為電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)角度,θ1為連桿旋轉(zhuǎn)角度;ωm為電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度,ω1為連桿旋轉(zhuǎn)角速度;m=0.21 kg,系統(tǒng)參數(shù)為Kτ=8×10?2N·m·V?1,g為萬有引力常數(shù),h為高度,參數(shù)B1=4.6×10?2m,f為執(zhí)行器故障信號(hào),ξ=12.5為故障參數(shù);系統(tǒng)輸出為θm,ωm,由式(17)整理得

設(shè)計(jì)增益矩陣L使其滿足上述假設(shè)條件:

假設(shè)故障信號(hào)分別為脈沖函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)和周期函數(shù),函數(shù)表達(dá)形式如下:

4.1 故障檢測(cè)仿真分析

當(dāng)故障檢測(cè)觀測(cè)器(8)初值與系統(tǒng)(1)初值不同時(shí),狀態(tài)誤差如圖2所示.仿真結(jié)果可得出觀測(cè)器具有較好的收斂速度,并且觀測(cè)器系統(tǒng)(8)可準(zhǔn)確追蹤系統(tǒng)(1),同時(shí)也驗(yàn)證了定理1.

圖2 狀態(tài)誤差仿真曲線Fig.2 State error simulation curve

針對(duì)其中一種脈沖函數(shù)故障進(jìn)行故障檢測(cè),假設(shè)在10～40 s時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障,故障幅值為5,故障脈沖函數(shù)及檢測(cè)結(jié)果仿真圖如下:

此時(shí),觀測(cè)器(8)作為故障檢測(cè)觀測(cè)器,通過式(9)殘差觀測(cè)器,觀測(cè)殘差輸出變化,判斷故障的發(fā)生.圖3為執(zhí)行器故障的檢測(cè)圖;圖中可以看出,設(shè)計(jì)的非線性系統(tǒng)故障檢測(cè)觀測(cè)器能夠較為準(zhǔn)確地檢測(cè)出故障及故障發(fā)生的時(shí)間.

圖3 故障檢測(cè)仿真曲線Fig.3 Fault detection simulation curve

4.2 故障估計(jì)對(duì)比仿真分析

針對(duì)其中一種故障,采取3種不同的故障估計(jì)算法進(jìn)行仿真對(duì)比分析,假設(shè)在10～40 s時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障,故障幅值為5,故障脈沖函數(shù)為

圖4(a)為迭代學(xué)習(xí)故障估計(jì)仿真圖,圖4(b)為自適應(yīng)故障估計(jì)仿真圖,圖4(c)改進(jìn)后的算法即自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)故障估計(jì)仿真圖.由圖4能夠直觀地看出改進(jìn)后的算法無論是收斂性還是精確性均優(yōu)于迭代學(xué)習(xí)算法,而自適應(yīng)算法優(yōu)于迭代學(xué)習(xí)算法.改進(jìn)后算法的故障估計(jì)值更加接近故障真實(shí)值,而自適應(yīng)算法的收斂性優(yōu)于迭代學(xué)習(xí)算法和改進(jìn)后的算法.

圖4(a) 迭代學(xué)習(xí)故障估計(jì)仿真曲線Fig.4(a) Iterative learning fault estimation simulation curve

圖4(b) 自適應(yīng)故障估計(jì)仿真曲線Fig.4(b) Adaptive fault estimation simulation curve

圖4(c) 自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)故障估計(jì)仿真曲線Fig.4(c) Adaptive iterative learning fault estimation simulation curve

表1 3種算法數(shù)值對(duì)比Table 1 Comparison of three algorithms

表1為3種算法對(duì)比的數(shù)值表,以下為3種算法性能對(duì)比分析:

1)精確性.

根據(jù)表1的數(shù)值,得出迭代學(xué)習(xí)算法故障估計(jì)值與真實(shí)故障的均值誤差為0.0044,改進(jìn)算法故障估計(jì)值與真實(shí)故障的均值誤差為0.00010,自適應(yīng)算法故障估計(jì)值與真實(shí)故障的均值誤差為0.00012.通過均值誤差的對(duì)比,可得出改進(jìn)算法的均值誤差更小一些,精確性更高些.

2)穩(wěn)定性.

迭代學(xué)習(xí)算法的故障估計(jì)最大值為7.29,最小值為2.25;自適應(yīng)算法的故障估計(jì)最大值為5.20,最小值為0.20;改進(jìn)算法的故障估計(jì)值為5.029,最小值為0.029,通過最值對(duì)比,迭代學(xué)習(xí)算法故障估計(jì)值波動(dòng)最大,故障估計(jì)的穩(wěn)定性最低,其次是自適應(yīng)算法故障估計(jì),波動(dòng)最小穩(wěn)定性最高的是改進(jìn)后故障估計(jì)算法.

3)快速性.

迭代學(xué)習(xí)算法第1次收斂時(shí)間為6.61 s,第2次收斂時(shí)間為6.23 s;自適應(yīng)算法第1次收斂時(shí)間為3.40 s,第2次收斂時(shí)間為3.38 s;改進(jìn)算法的第1次收斂時(shí)間為3.57 s,第2次收斂時(shí)間為3.55 s.3種算法收斂時(shí)間對(duì)比分析,可得出自適應(yīng)故障估計(jì)算法收斂時(shí)間最短,其次是改進(jìn)后故障估計(jì)算法,最后是迭代學(xué)習(xí)算法.因此,自適應(yīng)故障估計(jì)算法快速性性優(yōu)于改進(jìn)后故障估計(jì)算法,改進(jìn)后故障估計(jì)算法快速性優(yōu)于迭代學(xué)習(xí)故障估計(jì)算法.

4.3 不同類型故障估計(jì)仿真圖

3種常見故障分別為指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、周期函數(shù),假設(shè)在10～40 s時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障,3種故障函數(shù)的仿真曲線如圖5-7所示.

指數(shù)函數(shù)仿真圖如圖5所示.

圖5 指數(shù)函數(shù)仿真曲線Fig.5 Exponential function simulation curve

正弦函數(shù)仿真圖如圖6所示.

周期函數(shù)仿真圖如圖7所示.

圖7 周期函數(shù)仿真曲線Fig.7 Periodic function simulation curve

圖5-7可以看出自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)故障估計(jì)算法對(duì)3種不同的故障形式,均能達(dá)到故障估計(jì)目的,且對(duì)故障具有較好的跟蹤效果.從3個(gè)不同種故障仿真來看,指數(shù)型故障和正弦型故障的估計(jì)的準(zhǔn)確性均好于周期型故障,而指數(shù)型故障估計(jì)的準(zhǔn)確性要優(yōu)于正弦型故障.因此,可以得出故障函數(shù)越是簡(jiǎn)單估計(jì)的準(zhǔn)確性越好.

5 結(jié)論

針對(duì)非線性系統(tǒng),本文設(shè)計(jì)了一種龍格庫塔觀測(cè)器的自適應(yīng)與迭代學(xué)習(xí)相結(jié)合的故障估計(jì)算法,能夠有效地檢測(cè)非線性系統(tǒng)中的故障,對(duì)多種常見的故障能夠精確快速地估計(jì).通過與迭代學(xué)習(xí)故障估計(jì)算法、自適應(yīng)故障估計(jì)算法對(duì)比仿真分析,得出本文所提出算法的故障估計(jì)性能均優(yōu)于其他兩種算法.