張思遠(yuǎn)，聶 宏

（1.遼寧石油化工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，遼寧撫順113001；2.遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院，遼寧撫順113001）

切換系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng)，通常是由一系列連續(xù)或離散的動態(tài)子系統(tǒng)以及一條決定子系統(tǒng)之間如何切換的切換規(guī)則(切換策略或切換律)所組成的。切換系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于航空航天，智能交通，機(jī)械制造等諸多領(lǐng)域，近些年受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。關(guān)于切換系統(tǒng)的研究已經(jīng)涌現(xiàn)出許多有價值的成果，涉及諸如穩(wěn)定性分析、故障檢測、滑?？刂?、H∞控制以及其他控制綜合問題，其中Lyapunov函數(shù)理論及其各種推廣形式是研究切換系統(tǒng)的主要工具，包括公共Lyapunov函數(shù)[1]、多Lyapunov函數(shù)[2-3]、平均駐留時間方法[4]等。關(guān)于切換策略主要有狀態(tài)依賴切換策略[5]、時間依賴切換策略[6]以及依賴概率的隨機(jī)切換策略[7]等。

隨著航空航天以及通信網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代化工業(yè)的快速發(fā)展，跟蹤控制問題極大地引起了學(xué)者們的研究興趣并取得了許多研究成果[8-11]。其中，文獻(xiàn)[8]研究了模糊時滯系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題。文獻(xiàn)[9]討論了一類具有多時變時滯系統(tǒng)的H∞輸出跟蹤控制問題，并給出了問題可解的充分條件。作為一種重要的跟蹤控制問題，模型參考輸出跟蹤控制是給定一個參考模型，代表著被控對象應(yīng)該具有的理想特性，通過對系統(tǒng)施加控制使系統(tǒng)的輸出能夠跟蹤給定的參考模型的輸出，從而達(dá)到消除誤差的目的[10]。文獻(xiàn)[12-13]分別研究了一類網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)和離散切換系統(tǒng)的模型參考輸出跟蹤控制問題。

在切換系統(tǒng)的實際運行過程中，系統(tǒng)往往需要一段時間去識別被激活的子系統(tǒng)并激活相匹配的控制器，因此造成了控制器切換常落后于子系統(tǒng)切換的現(xiàn)象，即所謂的“異步切換”現(xiàn)象[5]。正如文獻(xiàn)[14]指出的那樣，同步切換下的控制器設(shè)計方案很難保證系統(tǒng)在異步切換下的穩(wěn)定性及暫態(tài)性能。因此，分析切換系統(tǒng)在異步切換下的穩(wěn)定性及性能具有十分重要的理論價值和實際意義。文獻(xiàn)[4]利用平均駐留時間方法討論了一類離散切換系統(tǒng)在異步切換控制下的穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)[6]研究了連續(xù)時間切換時滯系統(tǒng)的異步H∞控制問題并給出了相應(yīng)控制器的設(shè)計方案。

無源性理論在切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制綜合方面扮演著重要角色[15-16]。同時，關(guān)于L2(l2)增益分析和H∞控制問題的研究也涌現(xiàn)出大量有價值的成果。文獻(xiàn)[17]針對廣義時滯系統(tǒng)提出了一種混合H∞和無源性能指標(biāo)，這種性能指標(biāo)將無源性和H∞控制結(jié)合到一起，兩種性能指標(biāo)間的切換由開關(guān)常數(shù)θ的取值決定。基于平均駐留時間方法，文獻(xiàn)[18-19]分別討論了連續(xù)切換系統(tǒng)的混合加權(quán)H∞和無源濾波、混合加權(quán)H∞和無源控制問題，然而，文獻(xiàn)[18-19]都沒有考慮時滯，且考慮的是控制器與子系統(tǒng)同步切換的情形，這顯然與異步切換經(jīng)常發(fā)生的實際情況不相符。同時，目前有關(guān)離散切換系統(tǒng)混合加權(quán)H∞和無源模型參考跟蹤控制問題的結(jié)果還未見報道，特別是在控制器與子系統(tǒng)之間存在異步切換的情形。

本文在文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上，考慮在異步切換和系統(tǒng)時滯存在的情形下，一類離散時滯系統(tǒng)混合H∞和無源模型參考跟蹤控制問題。通過使用多Lyapunov函數(shù)理論和平均駐留時間方法，以線性矩陣不等式形式給出離散時滯切換系統(tǒng)異步混合H∞和無源模型參考跟蹤控制問題可解的充分條件，并同時設(shè)計相應(yīng)的H∞跟蹤控制器。最后，以仿真例驗證所提出方法的正確性和有效性。

1 問題描述

考慮如下一類離散時滯切換系統(tǒng)：

式中，x(k)∈Rn為狀態(tài)；u(k)∈Rm為控制輸入；y(k)∈Rq為系統(tǒng)輸出；ω(k)∈Rp為屬于l2[0，∞)的擾動輸入；d為系統(tǒng)時滯的常數(shù)；σ(k):{0 ，∞ }→M={1，…，m}為切換信號；Aσ(k)、Adσ(k)、B1σ(k)、B2σ(k)、Cσ(k)、Cdσ(k)、D1σ(k)、D2σ(k)為具有適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣；φ(k)為初始狀態(tài)向量。

對應(yīng)于切換信號σ(k)的切換序列如下：

式中，x0為初始狀態(tài)；k0為初始時間；kl為切換時刻。當(dāng)k∈[kl，kl+1)，第il個子系統(tǒng)處于激活狀態(tài)。

假設(shè)參考模型為：

式中，xm(k)∈Rn為參考狀態(tài)；r(k)∈Rm為屬于l2[0，∞)有界參考輸入；ym(k)∈Rq為參考輸出；Amσ(k)、Dmσ(k)、Cmσ(k)為具有適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣。

本文定義如下輸出跟蹤誤差：

選取狀態(tài)反饋跟蹤控制器為：

考慮到控制器切換較子系統(tǒng)切換存在不可避免的時延，因此實際的控制輸入應(yīng)具有如下形式：

式中，σ′(k)為控制器的切換信號；G1σ′(k)(k)、G2σ′(k)(k)為待設(shè)計的時變的狀態(tài)反饋控制器的增益。

對應(yīng)于切換信號σ′(k)的切換序列為：

令Δl=-kl表示在區(qū)間 [kl，kl+1)上的切換時延。對于任意k＞0，當(dāng)σ′(k)=σ(k)時，表示系統(tǒng)(1)與控制器(6)為同步切換。當(dāng)σ′(k)≠σ(k)時，表示為異步切換。結(jié)合式(1)、式(3)、式(4)及式(6)可得如下增廣切換系統(tǒng)：

本文旨在設(shè)計一個切換信號和異步反饋跟蹤控制器(6)，使系統(tǒng)(8)是指數(shù)穩(wěn)定的且具有混合加權(quán)H∞和無源模型參考跟蹤性能。為此，給出以下定義。

定義1[6]若存在常數(shù)δ≥1和λ＞0，使系統(tǒng)(8)的任意解x(k)滿足：

則稱系統(tǒng)(8)在切換信號σ(k)下是指數(shù)穩(wěn)定的，其中，‖x(k0)‖c=supε∈{-d，-d+1，…0}{‖x(ε)‖，‖x(ε+1)-x(ε)‖}代表歐式范數(shù)，e-λ為衰減率。

定義2給定常數(shù)0＜α＜1，0＜ε＜ε*＜α，對于任意的w(s)∈l2[0，∞)，若系統(tǒng)(8)在零初始條件下有：

其中，0＜θ＜1，則稱系統(tǒng)(8)在切換信號σ(k)下具有混合加權(quán)H∞和無源跟蹤性能。

定義3[14]對任意切換信號σ(k)，以及K＞k＞k0，用Nσ(k，K)表示在時間段(k，K)上的切換次數(shù)。如果存在N0≥ 0，τa＞0使得：

成立，那么稱τa為平均駐留時間，N0為抖振界，本文選取N0=0。

定義4[4]在時間段[k0，k)內(nèi)，用T1(k0，k)和T2(k0，k)分別表示控制器與子系統(tǒng)同步切換和異步切換的總時間，N1(k0，k)和N1(k0，k)分別表示發(fā)生同步切換和異步切換的總次數(shù)。

在定義2中，若選取θ=1，則混合加權(quán)H∞和無源跟蹤性能將退化為加權(quán)H∞跟蹤性能；若選取θ=0，則混合加權(quán)H∞和無源跟蹤性能將退化為無源跟蹤性能。因此，本文所提出的性能指標(biāo)更具一般性，它涵蓋加權(quán)H∞跟蹤性能和無源跟蹤性能作為其特殊情形。

2 主要結(jié)果

定理1給定常數(shù)d＞0，α＞0，β＞0，0＜θ＜1，若存在矩陣Pi＞0，Qi＞0，i∈M，使得如下不等式：

成立，其中*表示矩陣中對應(yīng)位置元素的轉(zhuǎn)置。那么在平均駐留時間滿足：

在切換信號σ(k)的作用下，系統(tǒng)(8)是指數(shù)穩(wěn)定的并具有混合加權(quán)H∞和無源跟蹤性能。其中，μ≥1滿足：

進(jìn)一步，系統(tǒng)(8)的狀態(tài)估計為：

其中，a=λmin(Pi)，b=λmax(Pi)+dλmax(Qi)。

證明當(dāng)k∈[kl，kl+Δl)時，系統(tǒng)(8)運行在異步區(qū)間。此時，選取Lyapunov泛函為：

定義ΔVβ(k)=Vβ(k+1)-eβVβ(k)，性能指標(biāo)J(k)為：J(k)=γ-1θeT(k)e(k)-2(1-θ)wT(k)e(k)-γwT(k)w(k)，那么

由式(16)、式(18)和式(22)可推得：

其中，[θ=μe(α+β)d]。因此，當(dāng)k∈[kl，kl+1)時有：

進(jìn)一步，根據(jù)式(14)可知：

根據(jù)定義1可知，系統(tǒng)(8)是指數(shù)穩(wěn)定的。

接下來，討論系統(tǒng)(8)具有混合H∞和無源跟蹤性能。根據(jù)式(21)和式(25)可知：

根據(jù)定義2可知，系統(tǒng)(8)具有混合加權(quán)H∞和無源跟蹤性能。證畢。

下面將定理1轉(zhuǎn)化為易于求解的線性矩陣不等式(LMIs)形式。

定理2 給定常數(shù)d＞0、α＞0、β＞0、0＜θ＜1，若存在矩陣Pi＞0、Qi＞0，i∈M，使得：

成立，那么在滿足式(12)和式(13)的切換信號的作用下，系統(tǒng)(8)是指數(shù)穩(wěn)定的且具有混合加權(quán)H∞和無源跟蹤性能。系統(tǒng)(8)的狀態(tài)衰減估計為：

其中，a=λmin(Pi)，b=λmax(Pi)+dλmax(Qi)，i=1，2。

證明由于≥0，進(jìn)一步可得，進(jìn)而可以由式(32)和式(33)推出式(12)和式(13)成立。證畢。

3 仿真算例

考慮系統(tǒng)(1)和參考模型(3)，其中的參數(shù)如下：

u(k)=0時系統(tǒng)(1)狀態(tài)軌跡如圖1所示。從圖1可以看出，當(dāng)控制器u(k)=0時，系統(tǒng)(1)是不穩(wěn)定的。選取初始狀態(tài)x(0)=[2.5，-3.5]T，xm(0)=[-2.5，3.5]T。令d=2，α=0.2，β=0.5，μ=1.05，γ=0.4。選取ε*=0.07∈(0，α)，ε=0.02∈(0，ε*)，由式(14)可得=10.79。

圖1 u(k)=0時系統(tǒng)(1)狀態(tài)軌跡

輸出跟蹤誤差的軌跡如圖2所示。切換信號如圖3所示。混合H∞和無源性能指標(biāo)如圖4所示。圖5是誤差系統(tǒng)(8)在模型參考異步跟蹤控制器(6)作用下的狀態(tài)響應(yīng)曲線。從圖4可以看出，系統(tǒng)(8)滿足混合H∞和無源性能指標(biāo)。從圖5可以看出，誤差系統(tǒng)(8)是漸近穩(wěn)定的，表明系統(tǒng)(1)可以漸近跟蹤參考模型(3)。

圖2 輸出跟蹤誤差

圖3 切換信號

圖4 混合H∞和無源性能指標(biāo)

圖5 系統(tǒng)(8)在異步跟蹤控制器下的狀態(tài)軌跡

4 結(jié) 論

主要研究了一類離散時滯切換系統(tǒng)在異步切換情形下的混合H∞和無源模型參考跟蹤控制問題。通過采用多Lyapunov函數(shù)方法和平均駐留時間方法，給出了問題可解的異步反饋跟蹤控制器的設(shè)計方案，在所設(shè)計的異步控制方案下，增廣誤差系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的且具有混合加權(quán)H∞和無源跟蹤性能。最后，以一個仿真例子驗證了所提出方法的有效性。