■王恩普 高兆梅

歷年來的江蘇卷很注重對考生綜合能力的考查,2019 年高考數(shù)學(xué)第12 題更是體現(xiàn)了這一特點,下面具體分析。

1.試題呈現(xiàn)

圖1

如圖1所示,在△ABC中,D是BC的中點,點E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點O。若的值是_____。

2.思路分析

本題中所求為AB與AC的比值,所以容易想到以AB,AC為基底,條件中的AO,EC只要能夠用AB,AC來表示即可,而EC表示很容易,所以主要的問題在于AO的表示。求解此題的思路大概有如下兩大類(鑒于本文討論的方向,只給出AO的表示)。

圖2

思路1：平面幾何。如圖2所示,過點D作EC的平 行線交AB于點F,因為D是中點,DF∥EC,則F為BE的中點,而BE=2EA,則有AF=2AE。又EO∥DF,則O是AD的中點,到此AO的表示即可解決。

思路2：共線定理。設(shè)則而E,O,C三點共線,則有,到此AO的表示亦可解決。

其實,無論是用平面幾何,還是運用共線定理,都是為了解決AO與AD之間的關(guān)系,進而把表示出來。但是上面我們也分析了,真正解決這一比例關(guān)系是這個問題的難點,下面我們用物理方法來突破這個難點。

3.解法探索

我們先來了解一下物理中的杠桿原理,杠桿平衡原理的數(shù)學(xué)表達形式為“動力×動力臂=阻力×阻力臂”。應(yīng)用杠桿平衡原理解決幾何線段比值問題,關(guān)鍵在于將圖形中的各個交點視為受力點,從而利用兩個同向平行力的法則“合力的大小等于兩個分力的和,兩分力對于以合力作用點為支點的合力矩等于零”,即如圖3 所 示,利用F=F1+F2,∑MO=0,或F1·OA=F2·OB來解題。

圖3

再回到上述提到的2019年高考數(shù)學(xué)試題中,因為BE=2AE,所以我們把E看成支點,如果在B處掛一個重為1N 的物體,根據(jù)杠桿平衡原理,則在A點掛一個重為2N 的物體,杠桿AEB就可以平衡了,此時E點所受合力為1N+2N=3N。同理,由于BD=DC,要保持杠桿BDC平衡,C處要掛一個重為1N 的物體,此時D點所受合力為1N+1N=2N。再看杠桿AOD,因為A,D兩點都掛有重為2N 的物體,所以要保持平衡,O點應(yīng)該是AD的中點,即,到此困擾我們的難點也就隨之解決了。

在解答數(shù)學(xué)問題時,若運用常規(guī)思路遇到困難時,同學(xué)們可以換個思維,站在數(shù)學(xué)學(xué)科外往往會有不一樣的發(fā)現(xiàn),如果可以運用好這一點,同學(xué)們的學(xué)習(xí)能力和解答問題的能力將會得到很大的提升。